1、20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要 的基本技能的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公平方差公式和完全平方公 式式)外，还有外，还有公式法公式法(立
2、方和、立方差公式立方和、立方差公式)、十字相、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆乘法、分组分解法、配方法、拆(添添)项法项法等等等等 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 3322 3322 ()() ()() abab aabb abab aabb 两个数的立方和两个数的立方和(差差)，等于这，等于这两个数的和两个数的和(差差)乘乘 以它们的平方和与它们积的差以它们的平方和与它们积的差(和和) 【例例1】因式分解：因式分解： 33 (1) 8 (2) 0.12527xb 3332 182242:( ) ()(
3、).xxxxx解解 33322 2 2 0 125270 530 530 50 5 33 0 530 25 1 59 ( ).()( .) .() ( .)( .). bbbbb bbb 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 【例例2】因式分解：因式分解： ( ) (2) 3476 1381a bbaab (1) 343322 :3813 (27)3 (3 )(39).a bbb abb ab aabb解解 ( ) 76663333 2222 2222 2()()() ()()()() ()()()(). aab
4、a aba abab a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 7666224224 2222222 2222 ()()() ()() ()()()(). aaba aba abaa bb a ababa b a ab ab aabbaabb 或或 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上 的多项式，如的多项式，如 既没有公式可用，也既没有公式可用，也 没有
5、公因式可以提取因此，可以先将多项式分组没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组 处理这种处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法解法分组分解法的关键在于如何分组分组分解法的关键在于如何分组 mambnanb 【例例3】因式分解：因式分解：2 105axaybybx 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试妨一试 21052
6、5552:()()()().axaybybxa xyb xyxyab解解 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 二、分组分解法二、分组分解法 【例例4】因式分解：因式分解：2 105axaybybx 【例例5】因式分解：因式分解：2 105axaybybx 22222222 2222 :()() ()() ()()()(). ab cdab cdabcabda cdb cd abca cdb cdabd ac bcadbd bcadbcadacbd 解解 222222 22 2428224 22222 :() ()() ()(). xxyyzxxyyz xyzxyzxyz
7、解解 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 三、十字相乘法三、十字相乘法 22 () ()()()() xpq xpqxpxqxpq x xpq xpxpxq 2 () ()() xpq xpq xpxq 【例例6】因式分解：因式分解： 22 176 (2)1336( )xxxx 2 (1)761616:()()()().xxxxxx 解解 2 (2)133649()().xxxx 【例例7】因式分解：因式分解： 22222 (1)6 (2)812()()xxyyxxxx 2222 (1)6632:()().xxyyxyxxyxy解解 22222 (2)81262 3221
8、 ()()()() ()()()(). xxxxxxxx xxxx 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 三、十字相乘法三、十字相乘法 【例例8】因式分解：因式分解： 222 11252 (2)568( )xxxxyy 2 1125232 41:( )()().xxxx解解 32 4 1 22 2 568254( )()().xxyyxyxy 1 2 54 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 三、十字相乘法三、十字相乘法 【例例9】因式分解：因式分解： 222 12728 (2)2155( )()()xxxxxxaxa 分析：分析：用十字相乘法分解因式
9、也要注意分解彻底，有用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合可以三、二组合. 22 :(1)(21)(28).xxxx解解原原式式 2 (2)(215)(5 ) (3)(5)(5) (5)(3). xxaxa xxa x xxa 原原式式 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 四、配方法四、配方法 【例例10】因式分解：因式分解： 222 1616 (2)44( )xxxx
10、yy 222 :(1)616(3)5(8)(2).xxxxx解解 22222 (2)44(44)8xxyyxxyyy 22 (2 )8(22 2 )(22 2 ).xyyxyyxyy 说明：说明：这种这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解公式分解 20212021年年1111月月1515日星期一日星期一 五、拆五、拆(添添)项法项法 【例例11】因式分解：因式分解： 32 34xx 3232 :34(1)(33)xxxx解解 2 (1)(1)3(1)(1)xxxxx 2 (1)(1)3(1)xxxx 22 (1)(44)(1)(2) .xxxxx 说明：说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组运用公式法或分组 分解法或其它方法分解法或其它方法(如十字相乘法如十字相乘法)来分解来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分都不能再分 解为止解为止
