1、复数的几何意义高一年级 数学北京实验学校 复习回顾我们引入新数 ，规定2i1 i复数的代数形式：复数的代数形式：复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部虚数单位复 数+i ( ,R)zaba b 复数的代数形式：实部 虚部虚数单位复 数+i ( ,R)zaba b 复数集C+ i( ,R)z z a ba b( =0)i(0)(=0)babba()实 数复 数虚 数当时 为 纯 虚 数复数的几何意义问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 都可以由一个有序
2、实数对 唯一确定；反之也对，由此你能想到复数的几何表示方法吗？iza b ( , )a b复平面开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课资源QQ群865257936 期待你的加入与分享如图，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. :iZ a bxOyZabiza b ( , )Z a bxy如图，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. :iZ a bxaOyZabiza b ( , )Z a bxy如图
3、，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. :iZ a bxaObyZabiza b ( , )Z a bxy如图，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. :iZ a bxaObyZabiza b ( , )Z a bxy实轴 如图，点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 可用点 来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴. :iZ a bxaObyZabiza b ( , )Z a
4、 bxy实轴 虚轴 在复平面内，描出表示下列复数的点：（1） O11xy12+3iz在复平面内，描出表示下列复数的点：（1） O11xy12+3iz(2,3)在复平面内，描出表示下列复数的点：（1） O11xy12+3iz1(2,3)Z(2,3)在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2） O11xy12+3iz23+iz1(2,3)Z(2,3)在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2） O11xy12+3iz23+iz1(2,3)Z(2,3)( 3,1)在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2） O11xy12+3iz23+iz1(2,3)Z2( 3,1)Z (2,3)( 3,1)
5、在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）O11xy12+3iz34z23+iz1(2,3)Z2( 3,1)Z (2,3)( 3,1)在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）O11xy12+3iz23+iz1(2,3)Z2( 3,1)Z (2,3)( 3,1)(4,0)34z在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）O11xy12+3iz23+iz1(2,3)Z2( 3,1)Z 3(4,0)Z(2,3)( 3,1)(4,0)34z在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）（4）O11xy12+3iz23+iz43iz1(2,3)Z2( 3,1)Z 3(
6、4,0)Z(2,3)( 3,1)(4,0)34z在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）（4）O11xy12+3iz23+iz43iz1(2,3)Z2( 3,1)Z 3(4,0)Z(2,3)( 3,1)(4,0)(0, 3)34z在复平面内，描出表示下列复数的点：（1）（2）（3）（4）12+3izO11xy23+iz43iz4(0, 3)Z1(2,3)Z2( 3,1)Z 3(4,0)Z(2,3)( 3,1)(4,0)(0, 3)34z复数iza b 复数iza b 有序实数对( , )a b复数iza b 有序实数对( , )a b复平面内的点( , )Z a b复数iza b
7、有序实数对( , )a b对应复平面内的点( , )Z a bO11xy 在复平面内， 原点 (0,0)O找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0) 在复平面内， 原点 (0,0)O找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0) 在复平面内， 原点 表示实数0； (0,0)O找出复平面内的点所表示的复数： 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 O11xy(0,0)(0,0)O1(2,0)Z找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0) 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 (0,0)O1(2,0)Z1(2,0)Z找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)
8、1(2,0)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； (0,0)O1(2,0)Z找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)1(2,0)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 (0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Z找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)1(2,0)Z2(0, 1)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 (0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Z找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)1(2,0)Z2(0, 1)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上
9、的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数 ； (0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Zi 找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)1(2,0)Z2(0, 1)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数 ； 点(0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Zi 3( 2,3)Z 找出复平面内的点所表示的复数：O11xy(0,0)1(2,0)Z2(0, 1)Z3( 2,3)Z 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数 ； 点(0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Zi 3( 2,3)Z 找出复平面内的点所
10、表示的复数：O11xy 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数 ； 点 表示复数 .(0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Zi 3( 2,3)Z 2+3i(0,0)1(2,0)Z2(0, 1)Z3( 2,3)Z 找出复平面内的点所表示的复数：复平面内的点( , )Z a b有序实数对( , )a b复平面内的点( , )Z a b复数iza b 有序实数对( , )a b复平面内的点( , )Z a b复数iza b 有序实数对( , )a b对应复平面内的点( , )Z a b复数iza b 复数iza b 有序实数对( , )a b复数iza
11、b 有序实数对( , )a b复平面内的点( , )Z a b复数iza b 有序实数对( , )a b一一对应复平面内的点( , )Z a b 在复平面内， 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数. (0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Z 在复平面内 原点 表示实数0； 实轴上的点 表示实数2； 虚轴上的点 表示纯虚数. (0,0)O1(2,0)Z2(0, 1)Z 实轴上的点都表示实数； 除了原点以外，虚轴上 的点都表示纯虚数.21)(21)iRzaaazZa例.已知复数，其中. 当复数 在复平面内对应的点 满足下列条件时， 求 的值（或取值范围）. (1)
12、在实轴上； (2)在第三象限.21)(21)izaa复数21)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点在实轴上21)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点纵坐标为0在实轴上21)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点在实轴上纵坐标为021)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点1221 0aa 解： (1) 在实轴上纵坐标为021)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点在第三象限？21)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点在第三象限？ 横、纵坐标同时小于021)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的
13、点21 01221 01-1,21aaaa 即(2)在第三象限？ 横、纵坐标同时小于021)(21)izaa复数2,1(21)Zaa复平面内的点问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？如图，设复平面内的点 表示复数 ，连接 ，显然向量 由点 唯一确定；反过来，点 也可以由向量 唯一确定.xaObyZZOZOZ ZOZ iza b ( , )Z a b如图，设复平面内的点 表示复数 ，连接 ，显然向量 由点 唯一确定；反过来，点 也可以由向量 唯一确定.( , )Z a bxaObyZZOZOZ ZOZ
14、iza b 因此，复数集 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数O与零向量对应），即：C复数iza b 一一对应平面向量OZ 因此，复数集 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数O与零向量对应），即：C复数的几何意义复数的几何意义复数iza b 一一对应复平面内的点( , )Z a b复数的几何意义复数iza b 一一对应复平面内的点( , )Z a b复数iza b 一一对应平面向量OZ 为了方便，我们常把复数 说成点 或说成向量 ，并且规定，相等的向量表示同一复数.izabZOZ 复数的模如图，向量 的模叫做复数 的模或绝对值.记作 或 .即
15、： 其中:iZ a bxaObyOZ izabziab22izabab,Ra b如果 ，那么 是一个实数 ，它的模就等于 （ 的绝对值）.izab0b aaa问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？实数的绝对值的几何意义： Oax实数的绝对值的几何意义： 数轴上的点到坐标原点的距离.Oax向量的模的几何意义： xAOyB向量的模的几何意义： 平面内向量的起点和终点间的距离.xAOyB:iZ a bxaOby 复数的模的几何意义： 复数的模的几何意义： 复数在复平面内对应的点到原点的距离.:iZ a bxaObyC,(1)=1(2)12.zzz
16、zZ，Z ； 例 .设在 复 平 面 内 对 应 的 点 为那 么 满 足 下 列 条 件 的 点的 集 合 是 什 么 图 形 ？=1=11zOZzZO 分析：(1)由得，向量的模 等于1，所以满足条件的点 的集合是以 原点 为圆心，以 为 半径的圆.O11xy=1=11zOZzZO 分析：(1)由得，向量的模 等于1，所以满足条件的点 的集合是以 原点 为圆心，以 为 半径的圆.O11xyO11xy12zO11xy2.121.zzz分析： 可化为不等式12zO11xy2.121.zzz分析： 可化为不等式12zO11xy2.121.zzz分析： 可化为不等式12z如果是 呢？12zO11x
17、y如果是 呢？12zO11xyO11xy3i(R),zaaz 例.如果复数 那么在复平面内，复数 对应的点应位于怎样的 图形上？O11xy3iza 3i(R),zaaz 例.如果复数 那么在复平面内，复数 对应的点应位于怎样的 图形上？O11xy3iza ( ,3)Z a3i(R),zaaz 例.如果复数 那么在复平面内，复数 对应的点应位于怎样的 图形上？O11xy3iza 3y3i(R),zaaz 例.如果复数 那么在复平面内，复数 对应的点应位于怎样的 图形上？( ,3)Z a如果是 呢？3i(0)zaa O11xy如果是 呢？3i(0)zaa O11xy12121243i,43i,(1
18、),(2),zzz zz z例 .设 复 数在 复 平 面 内 画 出 复 数对 应 的 点 和 向 量 ；求 复 数的 模 ， 并 比 较 它 们 的 模 的 大 小 .O11xy43314 3iz O11xy43314 3iz O11xy43314 3iz O11xy1(4,3)Z43314 3iz O11xy1(4,3)Z43314 3iz O11xy1(4,3)Z43314 3iz 24 3iz O11xy1(4,3)Z43314 3iz 24 3iz O11xy1(4,3)Z43314 3iz 24 3iz O11xy1(4,3)Z2(4, 3)Z43314 3iz 24 3iz O
19、11xy1(4,3)Z43314 3iz 24 3iz 2(4, 3)ZO11xy1(4,3)Z43322(2)izabab2(4, 3)ZO11xy1(4,3)Z43322(2)izabab2214 3i435.z2(4, 3)ZO11xy1(4,3)Z43322(2)izabab2214 3i435.z2(4, 3)Z2224 3i4( 3)5.z O11xy1(4,3)Z43322(2)izabab2214 3i435.z12zz2224 3i4( 3)5.z 2(4, 3)ZO11xy1(4,3)Z433点 有怎样的位置关系？12,Z Z2(4, 3)ZO11xy1(4,3)Z433点
20、 有怎样的位置关系？12,Z Z关于实轴对称2(4, 3)Z14 3iz 24 3iz 14 3iz 24 3iz 实部为4，虚部为3；14 3iz 24 3iz 实部为4，虚部为3；实部为4，虚部为-3.14 3iz 24 3iz 实部为4，虚部为3；实部为4，虚部为-3.实部相等，虚部互为相反数.一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示，zz一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示，即如果
21、 ，iza b zz一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 .iza b iza b zz若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b 若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b xOby若 为共轭复数，那么在复
22、平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b xOb1( , )Z a by若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b xaObb1( , )Z a b1( , )Z a by若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b 2( ,)Z a bxaOb1( , )Z a b1( , )Z a by若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b 2( ,)Z a bxaObb2( ,)Zab1( , )Z a
23、 b1( , )Z a by若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系呢？12,z z1iza b 2iza b 关于实轴对称.xaObyb1( , )Z a b2( ,)Z a b1( , )Z a b2( ,)Zab+i.OAOBOABBCC 例.在复平面内， 是原点，向量对应的复数是2 (1)如果点 关于实轴的对称点为点 ， 求向量对应的复数; (2)如果(1)中点 关于虚轴对称点为点 ， 求点 对应的复数.OA 向量OA 向量2 i复数(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i复数(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i复数O11xy(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i
24、复数O11xy(2,1)A(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i复数O11xy(2,1)A(2, 1)B(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i复数O11xy(2,1)A(2, 1)B(2, 1)i.OBB 解： (1)由已知可得，点 ， 对应的复数为2-(2,1)A复平面内的点OA 向量2 i复数O11xy(2,1)A(2, 1)B( 2, 1)C ( 2, 1)iCBCC (2) 点 为点 关于虚轴的对称点， 点 ， 点 对应的复数为-2- .课堂小结复数iza b 一一对应复平面内的点( , )Z a b平面向量OZ 复数的几何意义 复数的模的几何意义： 复数在复平面内对应的点到原点的
25、距离.一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示即如果 ，那么iza b iza b zz若 为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点满足以下关系：12,z z1iza b 2iza b 关于实轴对称.xaObyb2( ,)Zab1( , )Z a b2( ,)Z a b1( , )Z a b(1)25i(2)32i(3)24i(4)3i (5)5(6)7i 1.在 复 平 面 内 ， 描 出 表 示 下 列 复 数 的 点 求 出 下 列 复 数 的 模 作业12134i,2i2zz2.求复数的模, 并比较它们的模的大小.22(815)(514)immmmm3.当 实 数取 什 么 值 时 ， 复 平 面 内 表 示 复 数的 点 位 于 第 四 象 限 ？
