1、高一年级 数学事件的相互独立性北京市第十中学1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球（标号为4 ），从袋中随机摸出1个球设事件 “摸到 红球”， “摸到绿球”， “摸到绿球或黄球”A B C 一、复习回顾样本空间为 ， 1,2,3,41,2A 3B 3,4C ， ， 因为 ，所以事件 与事件 互斥；AB AB因为，且 ，所以事件 与事件 互为对立事件ACACAC ()( )( ).P ABP AP B()( )( )().P ABP AP BP AB2.如果事件 与事件 互斥，和事件 的概率与事件， 的概率之间的关系是AB
2、ABAB3.设 ， 是一个随机试验的两个事件，和事件 的概率与事件 ， 的概率之间的关系是ABAABB4.设事件 与事件 互为对立事件，它们的概率之间的关系是AB( )1( ).P AP B ( )1( )P BP A ，试验1 甲、乙两个袋子中各装有大小和质地相同的4个球，甲袋中有2个红色球（标号1和2 ），2个绿色球（标号3和4）；乙袋中有1个红色球（标号1），3个绿色球（标号2、3和4）；从甲乙两袋中各随机摸出一个球.设 “甲袋摸到红色球”， “乙袋摸到红色球”=A=B二、学习新知问题1 事件 发生与否会影响事件 发生的概率吗？AB事件 发生与否都不会影响事件 发生的概率AB试验1 甲、
3、乙两个袋子中各装有大小和质地相同的4个球，甲袋中有2个红色球（标号1和2 ），2个绿色球（标号3和4）；乙袋中有1个红色球（标号1），3个绿色球（标号2、3和4）；从甲乙两袋中各随机摸出一个球.设 “甲袋摸到红色球”， “乙袋摸到红色球”=A=B用 表示从甲袋中摸出球的标号，用 表示从乙袋中摸出球的标号mn问题2 计算试验1中的 ( ), ( ), ()P A P B P AB问题2 计算试验1中的 ( ), ( ), ()P A P B P AB解：因为 ， =( , ),1,2,3,4m n m n()16n=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3
4、),(2,4)A， ( )8n A ， =(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)B( )4n B ， ， =(1,1),(2,1)AB()2n AB ， 所以( )1( )=()2n AP An， ( )1( )=()4n BP Bn， ()1()=()8n ABP ABn 111=248， 因为()= ( )( )P ABP A P B 所以试验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球设 “第一次摸到球的标号小于3”， “第二次摸到球的标号小于3”=A=B问题1 事件 发生与否会影响事件 发生的概率吗？AB事件 发
5、生与否都不会影响事件 发生的概率AB试验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球设 “第一次摸到球的标号小于3”， “第二次摸到球的标号小于3”=A=B用 表示第一次摸出球的标号，用 表示第二次摸出球的标号mn问题2 计算试验2中的 ( ), ( ), ()P A P B P AB问题2 计算试验2中的 ( ), ( ), ()P A P B P AB解：因为 ， =( , ),1,2,3,4m n m n()16n=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)A， ( )8
6、n A ， ( )8n B ， ， =(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)B()4n AB ， =(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)AB 所以( )1( )=()2n AP An， ( )1( )=()2n BP Bn， ()1()=()4n ABP ABn， 111=224， 因为()= ( )( )P ABP A P B 所以小结 上面两个随机试验都满足，事件 和事件 同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积AB定义 对任意两个事件 和事件 ，如果成立，则称事件 和事件 相互独立，简称独立AB()= ( )( )P ABP
7、 A P BAB必然事件 与任意一个随机事件独立；不可能事件 与任意一个随机事件独立由事件与事件相互独立的定义可知：AB例 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从袋中依次任意摸球两次.设 “第一次摸到球的标号小于3”， “第二次摸到球的标号小于3”，那么事件 与事件 是否相互独立？=A=BABmn分析：设表示第一次摸到球的标号，表示第二次摸到球的标号，mn1,2,3,4m1,2,3,4n解：因为 ，=( , ),1,2,3,4,m n m nmn()12n=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)A， ( )6n A
8、 ， ( )6n B ， ， =(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)B()2n AB ， =(1,2),(2,1)AB 所以( )1( )()2n AP An， ( )1( )()2n BP Bn， ()1()()6n ABP ABn ()( )( )P ABP A P B， 此时 因此，事件与事件不独立AB练习 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内甲、乙两地都降雨的概率 由题意知， 与 相互独立，所以AB解：设 “元旦假期甲地降雨”， “元旦假期乙地降雨”，则 “元旦假
9、期甲、乙两地都降雨”， =A=B=AB即在这段时间内甲、乙两地都降雨的概率为0.06()= ( ) ( )0.2 0.3=0.06P ABP A P B 问题3 如果事件 与事件 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？分别验证 与 ， 与 ， 与 是否独立，你有什么发现？ABABABAB分析：对于与，AB所以事件 与 相互独立 AB同理可证，事件 与 ， 与 ，也都相互独立 ABAB( )()()()( ) ( )()P BP ABABP ABP ABP A P BP AB， ()= ( )( ) ( )(1( ) ( )( ) ( )P ABP BP A P BP A P BP A P
10、 B， ABAB 所以 而且 与 互斥，=B ABAB 因为，=B B=AA结论 如果事件 与事件 相互独立，那么 与 相互独立， 与 相互独立， 与 相互独立ABABABAB例 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲乙各射击一次，假定甲和乙射中与否互不影响，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）两人都脱靶； （3）恰好有一人中靶； （4）至少有一人中靶分析： 设 “甲中靶”， “乙中靶”，则 “甲脱靶”， “乙脱靶”，B A A B BBBBAA“两人都中靶”，“甲中靶且乙脱靶”，“甲脱靶且乙中靶”，“两人都脱靶”AB AB AB AB =B
11、解：设 “甲中靶”， “乙中靶”，则 “甲脱靶”， “乙脱靶”， =A=A=B且 与 ， 与 ， 与 都相互独立ABABAB( )0.8P A ( )0.2P A 因为，所以 由于两个人射击的结果互不影响，所以 与 相互独立，AB( )0.9P B ( )0.1P B 因为，所以 （1）“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得AB（2）“两人都脱靶” ，所以=AB即两人都中靶的概率为0.72即两人都脱靶的概率为0.02()( ) ( )0.8 0.9=0.72P ABP A P B，()( ) ( )0.2 0.10.02P ABP A P B，（3）“恰好有一人中靶”()P ABAB()()P
12、 ABP AB( ) ( )( ) ( )P A P BP A P B0.8 0.1 0.2 0.9BBBBAAABABABAB即恰好有一人中靶的概率为0.26 ，且 与 互斥， 根据概率的加法公式和事件独立性定义，得=ABABABAB0.26，（4）“至少有一人中靶”()P ABABAB()()()P ABP ABP AB()()P ABP ABABBBBBAAABABABAB即至少有一人中靶的概率为0.98 ，且 ， 与两两互斥，所以=ABABABABABAB0.720.26=0.98，（4）另解：“至少有一人中靶”的对立事件是 “两人都脱靶”，根据对立事件的性质， 得事件“至少有一人中靶
13、”的概率为BBBBAAABABABAB即至少有一人中靶的概率为0.981()1 0.020.98P AB ，例 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率3423分析：用0表示“猜错”，1表示“猜对”，则甲猜两轮成语包含的基本事件为ii(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)乙猜两轮成语包含的基本事件为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)分析：两轮活动猜对3个成语甲猜对1个并且乙猜对2个甲猜对2个并且乙猜对1个分
14、析：甲猜对1个并且乙猜对2个甲乙(0,0)(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,0)(1,1)(1,1)分析：甲乙(0,0)(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,0)(1,1)(1,1)甲猜对2个并且乙猜对1个分析：设 表示甲两轮猜对1个成语的事件， 1A根据独立性假定，得131133()+44448P A 甲(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)13443144分析：设 表示甲两轮猜对2个成语的事件， 2A根据独立性假定，得2339()4416P A甲(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)3344分析：设 ， 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， 1B121124()
15、+33339P B，乙(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)乙(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)2224()339P B2B解：设 ， 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， 1A2A ， 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， 1B2B根据独立性假定，得31133()=+=44448P A1，339()=4416P A2，21124()=+=33339P B1，224()=339P B2，解：设 “两轮活动星队猜对3个成语”， 则， 因为 与 互斥， 与 ， 与 ，分别相互独立， 所以=A1221=A ABA B12AB21A B1A2B2A1B1221( )= ()()P AP
16、 ABP A B1221= () ()() ()P A P BP A P B因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是51234945=+=8916912三、课堂总结 事件的相互独立性 定义 对任意两个事件 和事件 ，如果成立，则称事件 和事件 相互独立，简称独立AB()= ( )( )P ABP A P BAB结论 如果事件 与事件 相互独立，那么 与 相互独立， 与 相互独立， 与 相互独立ABABABAB1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第1枚正面朝上”，事件 “第2枚正面朝上”，事件 “2枚硬币朝上的面相同”， ， ， 中哪两个相互独立？=A=B=CABC四、课后作业2.设样本空间 含有等可能的样本点，且 请验证 三个事件两两独立，但=a,b,c,d=, , , , Aa,b Ba c Ca d()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C, ,A B C3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概 率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有 影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都不降雨的概率； （2）至少一个地方降雨的概率4.证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立同学们，再见！
