1、两角和与差的余弦北京市良乡中学 一、温故知新 一、温故知新1.向量的数量积 一、温故知新1.向量的数量积cos cos . ，与夹角为若已知则=OPOQOP OQOP OQOP OQOP OQ12121122. ，=设=则OQOP OQx x + y yOPx yx y（1）（2） 一、温故知新2.单位圆上点的坐标 一、温故知新2.单位圆上点的坐标（1）设角的终边与单位圆交于一点P，则点P的坐标为cos sin., 一、温故知新2.单位圆上点的坐标cos sin.,（1）设角的终边与单位圆交于一点P，则点P的坐标为（2）设角的终边与单位圆交于一点Q，则点Q的坐标为cos sin., 二、探究新
2、知 二、探究新知 我们已经熟知 ， 的正弦、余弦值，那么， 能否根据这些值求出 的值呢？3045cos15 二、探究新知 我们已经熟知 ， 的正弦、余弦值，那么， 能否根据这些值求出 的值呢？3045cos1515 = 4530能否说因为 二、探究新知 我们已经熟知 ， 的正弦、余弦值，那么， 能否根据这些值求出 的值呢？3045cos1515 = 4530能否说因为=cos15cos 4530所以 二、探究新知 我们已经熟知 ， 的正弦、余弦值，那么， 能否根据这些值求出 的值呢？3045cos1515 = 4530能否说因为=cos15cos 4530所以=cos45cos30 二、探究新
3、知 我们已经熟知 ， 的正弦、余弦值，那么， 能否根据这些值求出 的值呢？3045cos1515 = 4530能否说因为=cos15cos 4530所以23=2？=cos45cos30 二、探究新知 事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对于任意与，都有 二、探究新知 事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对于任意与，都有cos() = cos cossinsin- -+ +. 二、探究新知 事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对于任意与，都有cos() = cos cossinsin- -+ +.C： 二、探究新知 证明 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，
4、的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则证明 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P(cossin )，Q 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P(cossin )，Q因此= (cossin )， OP 二、探究新知 在平面直角坐标系
5、xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P(cossin )，Q因此= (cossin )， OQ= (cossin )， OP 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P(cossin )，Q因此= (cossin ) (cossin ) ，OP OQ= (cossin )， OQ= (cossin )， OP 二、探究新知 在平面直角坐标系xoy中，设，的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则yxOQP证明(cossin )，P(cossin )，Q因此= (cossin )
6、(cossin ) ，OP OQ= (cossin )， OQ= (cossin )， OP= cos cossin sin .证明由向量数量积的定义可知证明=cos ，OP OQOP OQOP OQ由向量数量积的定义可知证明=cos ，OP OQOP OQOP OQ由向量数量积的定义可知=1OPOQ 而证明=cos ，OP OQOP OQOP OQ由向量数量积的定义可知=1OPOQ 而= cos ， OP OQOP OQ因此证明=cos ，OP OQOP OQOP OQ由向量数量积的定义可知=1OPOQ 而= cos ， OP OQOP OQ因此= cos cossin sinOP OQ 又
7、证明=cos ，OP OQOP OQOP OQ由向量数量积的定义可知=1OPOQ 而= cos ， OP OQOP OQ因此cos = cos cossin sin， OP OQ所以= cos cossin sinOP OQ 又yxOQP图（1）yxOQP+ kk图（1）yxOQPyxOQP+ kk图（1）图（2）yxOQPyxOQP+ kk 2 Z - - = =- -， OPOQ+ kk图（1）图（2）证明= - -，Z 即2 kOP OQkcos() = cos- -， 因此2 kOP OQ证明= - -，Z 即2 kOP OQkcos() = cos- -， 因此2 kOP OQ= c
8、os ， OP OQ证明= - -，Z 即2 kOP OQkcos() = cos- -， 因此2 kOP OQ= cos ， OP OQcos = cos cossin sin， 而OP OQ证明= - -，Z 即2 kOP OQkcos() = cos cossin sin- - 故 .cos() = cos- -， 因此2 kOP OQ= cos ， OP OQcos = cos cossin sin， OP OQ而证明= - -，Z 即2 kOP OQkcos15cos 4530 二、探究新知 cos15cos 4530 二、探究新知 cos45 cos30 +sin45 sin30c
9、os15cos 453023216+2+.22224 二、探究新知 cos45 cos30 +sin45 sin30 二、探究新知 或者cos15cos 6045 二、探究新知 或者cos15cos 6045cos60 cos45 +sin60 sin45 二、探究新知 或者cos15cos 6045cos60 cos45 +sin60 sin4512322 +6+.22224 二、探究新知 二、探究新知 =()+ - - - - 二、探究新知 =()+ - - - -cos= cos 二、探究新知 =()+ - - - -cos= cos = cos cossin sin 二、探究新知 =(
10、)+ - - - -cos= cos = cos cossin sin= cos cossin sin 二、探究新知 =()+ - - - -cos= cos = cos cossin sin= cos cossin sin coscos cossin sin. 二、探究新知 =()+ - - - -cos= cos = cos cossin sin= cos cossin sin C： coscos cossin sin. 二、探究新知 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 Ccoscos cossin sin：+. 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 Cc
11、oscos cossin sin： .Ccoscos cossin sin：+. 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 Ccoscos cossin sin： .Ccoscos cossin sin：+.说明： 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 Ccoscos cossin sin： .Ccoscos cossin sin：+.说明： 1.公式对于任意的角，都成立; 二、探究新知 两角和与差的余弦公式 Ccoscos cossin sin： .Ccoscos cossin sin：+.说明： 1.公式对于任意的角，都成立; 2.用口诀“余余正正，加减相反”来辅助记忆公式； 二、探究新知 二、探
12、究新知 cos= coscos +sinsin222 二、探究新知 cos= coscos +sinsin222= 0 cos +1 sin = sin . 二、探究新知 cos= coscos +sinsin222cos= cos cossin sin+= 0 cos +1 sin = sin . 二、探究新知 cos= coscos +sinsin222cos= cos cossin sin+= 0 cos +1 sin = sin .= ( 1) cos0 sin =cos+. 二、探究新知 3.和（差）角公式可以看成诱导公式的推广，诱导公 式可以看成和（差）角公式的特例.cos= co
13、scos +sinsin222cos= cos cossin sin+= 0 cos +1 sin = sin .= ( 1) cos0 sin =cos+. 二、探究新知 Ccoscos cossin sin：+.Ccoscos cossin sin： . 二、探究新知 4.公式从左往右正用可以将一些非特殊角转化为两 特殊角的和或差，从而求出非特殊角的余弦值； 公式从右往左反用，可以将满足右边特点的式子 化简为两个角的和或差的余弦.Ccoscos cossin sin：+.Ccoscos cossin sin： . 三、典例剖析 三、典例剖析 例1 三、典例剖析 例1cos105.求的值 三
14、、典例剖析 例1cos105.求的值解 三、典例剖析 例1cos105.求的值解cos105cos 60 +45 三、典例剖析 例1cos105.求的值解cos105cos 60 +45cos60 cos45sin60 sin45 三、典例剖析 例1cos105.求的值解cos105cos 60 +45cos60 cos45sin60 sin45123226.22224 三、典例剖析 三、典例剖析 例2 三、典例剖析 例2cos32 cos28sin32 sin28求的值. 三、典例剖析 例2解cos32 cos28sin32 sin28求的值. 三、典例剖析 例2解cos32 cos28si
15、n32 sin28求的值.cos32 cos28sin32 sin28 三、典例剖析 例2解cos32 cos28sin32 sin28求的值.cos32 cos28sin32 sin28cos 32 +28 三、典例剖析 例2解cos32 cos28sin32 sin28求的值.cos32 cos28sin32 sin28cos 32 +28cos60 三、典例剖析 例2解cos32 cos28sin32 sin28求的值.cos32 cos28sin32 sin28cos 32 +28cos601.2 三、典例剖析 三、典例剖析 变式1 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 si
16、n28求的值.变式1 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 sin28求的值.变式1解 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 sin28求的值.变式1cos32 cos28sin2os588c解 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 sin28求的值.变式1cos32 cos2sin8si 2832ncos32 cos28sin2os588c解 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 sin28求的值.cos 32 +28变式1cos32 cos2sin8si 2832ncos32 cos28sin2os588c解 三、典例剖析 cos32 cos28co
17、s58 sin28求的值.cos 32 +28cos60变式1cos32 cos2sin8si 2832ncos32 cos28sin2os588c解 三、典例剖析 cos32 cos28cos58 sin28求的值.cos 32 +28cos601.2变式1cos32 cos2sin8si 2832ncos32 cos28sin2os588c解 三、典例剖析 三、典例剖析 变式2 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式2 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式2解 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式222cos 32sin 32解 三、典例剖析
18、22cos 32sin 32化简.变式2cos32 cos32sin32 sin3222cos 32sin 32解 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.cos 32 +32变式2cos32 cos32sin32 sin3222cos 32sin 32解 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.cos 32 +32变式2cos32 cos32sin32 sin3222cos 32sin 32cos64 .解 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式2 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式2coscos cossin sin. 三、典例剖析 22co
19、s 32sin 32化简.变式2coscos cossin sin.当特殊地，时 三、典例剖析 22cos 32sin 32化简.变式2coscos cossin sin.当特殊地，时22cos2cossin. 三、典例剖析 三、典例剖析 例3 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值. 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.解 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.解4sin()52由，得 三、典例剖析 例345sin(,) cos52
20、13cos() 已知， 是第三象限角，求的值.解4sin()52由，得2cos1 sin 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.解4sin()52由，得2cos1 sin241()5 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.解4sin()52由，得2cos1 sin241()5 3.5 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225sin=1co s=1()1 3 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225s
21、in=1co s=1()1 31 2.1 3 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225sin=1co s=1()1 31 2.1 3 cos() = cos cossin sin 故故- - 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225sin=1co s=1()1 31 2.1 3 cos() = cos cossin sin 故故- - 35412()() +()513513- - - - 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225sin=1co s=1()1 31 2.1 3 cos() = cos cossin sin 故故- - 3541
22、2()() +()513513- - - - 1548+ ()6565- - 三、典例剖析 5cos=1 3又， 是第三象限角，得225sin=1co s=1()1 31 2.1 3 cos() = cos cossin sin 故故- - 35412()() +()513513- - - - 1548+ ()6565- - 3365- -. 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值. 三、典例剖析 例345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.()2 若将，删掉，其他条件不变，结果？思考会怎样 三、典例剖析 例
23、345sin(,) cos5213cos() 已知， 是第三象限角，求的值.()2 若将，删掉，其他条件不变，结果？思考会怎样 是第一或第二象限分类.讨论的情况 四、反思总结 四、反思总结 1.本节课我们借助单位圆和向量数量积的相关知识，推 导出了两角差的余弦公式，推导过程中渗透了数学抽 象、直观想象、逻辑推理三大核心素养；之后将加法 视为减去一个数的相反数，利用已推导出的差角公式 得到了两角和的余弦公式； 四、反思总结 1.本节课我们借助单位圆和向量数量积的相关知识，推 导出了两角差的余弦公式，推导过程中渗透了数学抽 象、直观想象、逻辑推理三大核心素养；之后将加法 视为减去一个数的相反数，利用已推导出的差角公式 得到了两角和的余弦公式；2.通过三个实例熟练了公式正向和反向的灵活应用，并 能准确书写相关的解答题. 五、课外作业 1.求下列各式的值.(1)cos( 165 )-61(3)cos ()12-7(2)cos 12(4)cos70 sin80sin70 sin102(5)cos22.5sin 22.5sincos+cos22=，( ， ) ，() ，() .3233求.已知 感谢观看！
