1、教教 案案教学基本信息课题常数与幂函数的导数学科数学学段：高中年级高二教材书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修 1-1 （B 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年 1 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者杨锦清华大学附属中学实施者杨锦清华大学附属中学指导者张晓东北京市海淀区教师进修学校课件制作者杨锦清华大学附属中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.能够用导数的定义推导常见函数yc、yx、2yx、3yx、1yx、yx的导数.2.利用公式解决简单的数学问题.教学重点：四种常见函数的倒数的推导.教学难点：利用导数的定义判断函数的导数是否存在.教学过程(表格描述)
2、教学环节主要教学活动设置意图引入通过前面课程的学习，我们已经知道了导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.对于函数( )yf x，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的提出问题，引发思考，引入新课.方法。但是，导数是用极限来定义的，求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难。为了能尽快地求出函数的导数，我们将研究简捷地求导方法。为此，今天这节课，我们将研究几个常用的基本初等函数的导数.新课（一）（一）常见函数的导数常见函数的导数1. 函数( )yf xC的导数根据导数的定义，对函数( )yf xC图象上任一点( , )x
3、y，()( )0yf xxf xCCxxxlim00 xyyx ，也可以写成0C .0y 表示函数图象上每一点处的切线斜率都为0. 若yC表示路程关于时间的函数， 则0y 可以解释成某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止状态.（配动态图）（配动态图）2. 函数( )yf xx的导数根据导数的定义，对函数( )yf xx图象上任一点( , )x y，()( )1yf xxf xxxxxxx lim01xyyx ，也可以写成1x .1y 表示函数图象每一点处的切线斜率都为 1. 若yx表示路程关于时间的教师引导学生以已知探求未知.函数， 则1y 可以解释成某物体的瞬时速度始终为 1，也即物
4、体在做瞬时速度为 1 的匀速运动.（配动态图）（配动态图）3. 函数( )2yf xx的导数根据导数的定义， 对函数( )2yf xx图象上任一点( , )x y，()( )()22222yf xxf xxxxxxxx xxxxx lim02xyyxx ，也可以写成()22xx.2yx表示函数2yx图象上的点( , )x y处的切线斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.（配动态图）（配动态图）4. 函数( )3yf xx的导数根据导数的定义， 对函数( )3yf xx图象上任一点( ,
5、 )x y，（1）联系瞬时变化率与瞬时速度的关系， 用数学语言表示导数与切线斜率之间的关系， 发展学生的数学抽象素养.（2）计算常见基本初等函数的导数是本节课的重点， 在计算中巩固加深对导数概念的理解， 突出重点，突破难点.()( )()33223223333yf xxf xxxxxxxxxx xxxxx xx lim203xyyxx ，也可以写成()323xx.23yx表示函数2yx图象上的点( , )x y处的切线斜率为23x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 若3yx表示路程关于时间的函数， 则23yx可以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为23x.（配动态图）（配动态图
6、）5. 函数( )1yf xx的导数根据导数的定义，对函数( )1yf xx图象上任一点( , )x y，()( )()()111yf xxf xxxxxxxxx xxxx xx lim2201xyyxxx ，也可以写成( )211xx 或()12xx .21yx 表示函数1yx图象上的点( , )x y处的切线斜率为21x，说明随着x的变化， 切线的斜率也在变化. 若1yx表示路程关于时间的函数，则21yx 可以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为21x.（配动态图）（配动态图）6. 函数( )yf xx的导数根据导数的定义，对函数( )yf xx图象上任一点( , )x y，()
7、()()()1yxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx lim1201122xyyxxx ，也可以写成()12xx或()112212xx.1212yx表示函数yx图象上的点( , )x y处的切线斜率为1212x， 说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 若yx表示路程关于时间的函数，则1212yx可以解释成物体在做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为1212x.（配动态图）（配动态图）（二）探究新知观察：0C ，1x ，()22xx，()323xx，()12xx ，()112212xx.归纳猜想：对任意的幂函数nyx，nQ，都有()1nnxnx.归纳猜想，总结规律.例题（一（一）熟悉公式
8、熟悉公式，应用幂函数的导数公式求应用幂函数的导数公式求导导例例 1.1.求下列函数的导数求下列函数的导数: :(1)(1)12yx；解：解：()121112yxx. .(2)(2)41yx；解：解：()()45414yxxx . .(3)(3)53yx. .通过例 1 的练习， 让学生充分熟悉幂函数的导数公式.解：解：()()325355523355yxxxx（二（二）理解概念理解概念，应用概念求曲线的切线方应用概念求曲线的切线方程程例2. 求曲线34yx在点( , )1 1处的切线方程.解：()()31344443344yxxxx，|143344 1xy，34k，所以切线方程为()3114y
9、x，化简得3144yx.（三（三）进一步理解概念进一步理解概念，理解导数的物理意理解导数的物理意义义例 3. 质点运动方程是4St，求质点运动的加速度.解：( )434Stt，令34vt，对34vt的函数图象上任一点( , )t v,()(),33223444 33vtttttt ttttt limlim()22200333xxvtt tttt ,所以质点运动的加速度为23t.通过例题的学习， 让学生体会导数公式解题的便捷.通过例 3，让学生充分理解导数的物理意义是瞬时变化率.引申探究直线的切线直线的切线1.对直线yC图象上任一点，试求该点处的切线方程.解：设图象上任一点为(,)0 x C，因
10、为0y ，根据导数的几何意义，对函数图象上任一点(,)0 x C， 该点处的切线斜率是 0， 所以切线方程为yC.（配动态图）2.对直线yx图象上任一点， 试求该点处的切线方程.解：设图象上任一点为(,)00 x x，因为1y ，根据导数的几何意义，对函数图象上任一点试求该点处的切线方程.(,)00 x x，该点处的切线斜率是 1，所以切线方程为00yxxx，也即yx.（配动态图）3. 对直线ykxb图象上任一点，试求该点处的切线方程.解：设图象上任一点为(,)00 x kxb，()()limlimlimlim000000 xxxxk xxbkxbyyxxk xkkx 根据导数的几何意义，对函
11、数图象上任一点通过对直线的切线的研究， 进一步理解切线是割线的极限位置， 理解导数的几何意义， 掌握导数公式.(,)00 x kxb， 该点处的切线斜率是k， 所以切线方程为()()00ykxbk xx，也即ykxb.（配动态图）小结：一次函数和常值函数图象都是直线，它们图象上任一点处的切线还是这条直线.练习练习.( )1f x 的导数是_.解析：常值函数的导数为 0.练习.21( )yfxx ， 则( )f x可以是下列函数的哪一个()A.1( )f xxB.1( )f xx C.3( )2f xx D.31( )2f xx 解析：函数1yx的导数是2.yx 变式.21( )yfxx，则(
12、)f x可以是下列函数的哪一个()A.1( )f xxB.1( )f xx C.3( )2f xx D.31( )2f xx 解析： 对函数1( )f xx 图象上任一点( , )x y，0()( )11()lim,()xyf xxf xxxxxxxxx xxx 通过练习， 巩固幂函数导数公式， 巩固对导数的几何意义的理解.20011limlim.()xxyxx xxx 练习. 曲线3yx在点P处切线斜率为k，3k 时的P点坐标为()A.( 2, 8)B.( 1, 1),(1,1) C.(2,8)D.11(,)28解析：函数3yx的导数23yx，233x 时，1x或1.x（配图）变式. 求曲线
13、3yx在点(0,0)P处的切线方程.解：函数3yx的导数23yx，|203 00 xy ，0k ，所以切线方程为()000yx，也即0y .练习. 点 P 在曲线2yx上，点P横坐标01 1(, )2 2x ， 则 P 点处切线的倾斜角的范围()A.0,)4B.3(,4C.30,)(, 44D.3(,)44解析：函数2yx的导数为2yx，01 1(, ),( 1,1),2 2xy ( 1,1),k 切线与直线方程联系到一起，综合应用知识，整合所学，提升能力.记切线的倾斜角为，则tan( 1,1), 30,)(, .44 （配动态图）总结1. 本节课你学到了什么？常值函数的导数、幂函数的导数、导数的几何意义、物理意义；2. 你是如何获得这些知识的？通过研究函数图象并结合代数运算.3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.我们学到了研究问题的步骤：提出问题、确定方法、实施操作、发现规律.在此过程中体会了数形结合的数学思想.这是一个重组知识的过程， .通过小结，反思学习过程， 加深对导数的几何意义的理解、 对导数公式的记忆； 领会研究问题的方法； 明确研究问题的步骤.作业1. 求函数( )f x的导数.2. 求抛物线2yx在1x与2x处的切线方程.
