1、教教 案案教学基本信息课题平面向量的加法运算学科数学学段： 高一年级高一教材书名：人教 A 版数学必修第二册出版社： 人民教育出版社出版日期：2019 年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者张玮北京市第五十四中学实施者张玮北京市第五十四中学指导者雷晓莉东城区研修中心课件制作者张玮北京市第五十四中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课类比数的运算， 借助物理中位移的合成、 力的合成等具体实例引入向量的加法运算并抽象出向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 探究向量加法运算的几何性质， 并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.发展学生数学抽象、直观想象的核心素养，在教学过程中设计了三
2、道例题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入我们知道，数可以进行运算，因为有了运算而使数威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.接下来我们就要研究平面向量的运算法则，探索向量运算的性质，体会向量运算的作用.人们从位移的合成、力的合成得到启发引进了向量的加法，本节课我们就先来学习向量的加法.帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪去.新课一、向量加法的三角形法则（一）情境与问题问题 1：如图所示，假设某人上午从点 A 到达了点 B，下午从点 B 到达了点 C.（1）分
3、别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以启发学生由位移的合成引入向量的加法.及这一天的位移；（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系呢？学生回忆位移的合成的有关知识，发现一天的位移AC是上下午两次位移AB ,BC 的和.体会位移的合成是把两个向量“合”在了一起.（二）向量加法的三角形法则问题 2：由位移的合成，你认为可以如何进行两个向量的加法运算？由位移的合成，引入向量与向量之间的一种运算向量的加法运算，并仿照位移图作两个向量的和向量的图.给出向量加法的三角形法则.问题 3：若两向量共线，将如何作它们的和向量呢？比较共线向量的加法与数的加法有什么关系？（三）,abab之间的关系问
4、题 4：,abab之间有什么关系？在向量 a 与向量 b 利用向量加法的三角形法则做加法时，形成了三角形，由三角形三边关系出发，探究了,abab之间的关系.（四）例题已知3a，4b.求ab的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时 a 与 b 的关系.二、向量加法的平行四边形法则（一）情境与问题问题 5： 我们由物理中位移的合成得到了向量加法的三角形法则，对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题.由位移的合成引入向量加法及其加法的三角形法则，并明确如何求作两个共线向量的和及其与数的加法的关系.让学生借助数形结合发现和向量的模与两向量模的关系：ababab当且仅当两向量同向时取到
5、最大值，两向量反向时取到最小值.通过例题加深对,abab之间的关系的理解.继续挖掘学生头脑中的原有认知物理中力的合成的实例，不仅帮助学生加深理解向量的加法，而ABC当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力OA 或OB 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？学生动手操作，独立思考，师生由力的合成引入向量加法的平行四边形法则.明确两向量求和向量的作图步骤.（二）辨析两种加法法则的一致性问题 6：我们学习了两种向量加法的法则，即向量加法的平行四边形法则与三角形法则，它们一致吗？学生画图探索，师生共同归纳结论.在解决问题时，关注向量的几何特征，可
6、以有选择的使用.三、向量加法的运算律问题 7：根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效的简化运算.数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？（一）探究向量加法的交换律.明确向量加法的交换律体现了平行四边形对边平行且相等的性质.感受向量的运算和运算律可以用来刻画几何对象及其性质的，是典型的数形结合的思想（二）探究向量加法的和结合律加法的运算律的成立使得在做加法运算时可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序.结果不变.（三）例题化简： （1）ABCDBC ,（2）ABFABDDEEF .OAB且可以借助力的合成的平行四边形法则
7、，引入向量加法的平行四边形法则.通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上的一致性.使学生明确研究向量加法运算律的途径，并寻找结论成立的依据，获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.加深对加法运算法则和运算律得理解.四、向量加法的应用长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h（1） 用向量表示江水速度、 船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与船实际航行的方向（用与江水速度间的夹角表
8、示，精确到 1）.作几何图形，将问题抽象为向量加法问题，并依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果.由于这是首个实际问题抽象为向量问题，引导学生阅读题意，思考与所学的向量知识的联系.体现向量加法在物理中的应用，要求学生能够把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是确定向量的大小和方向，发展学生解决实际问题的能力.总结五、课堂小结回顾本节课所学内容1.我们是如何研究向量的加法运算的？2.向量加法运算的法则是什么？3.向量加法运算的性质是什么？应用有什么？回顾本节课知识，并建立知识的结构.作业1.如图，已知向量 a，b，用两种方法求作向量 a + b.2.（1）ABBCCA ；（2）()ABMBBOOM .3.有一条东西向的小河， 一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为 15 km/h ，方向为北偏西 30，河水的速度为向东 7.5 km/h ，求小船实际航行速度的大小与方向课后作业，加深对知识的理解和掌握.
