1、教教 案案教学基本信息课题随机事件与概率（第四课时）学科数学学段： 高中年级高一教材书名： 普通高中教科书数学必修第二册（A 版）出版社：人民教育出版社出版日期： 2019 年 6 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学实施者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学指导者康舒真北京教育学院丰台分院课件制作者宛宇红北京市首都师范大学附属丽泽中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：教学目标：1理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；2通过类比函数的性质，揭示事件的关系与运算，研究概率的性质，培养学生的类比与归纳的数学思想，提升从特殊到一般的分析问题的能
2、力；3用实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思维，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养教学重点：教学重点：概率的性质教学难点：教学难点：概率的性质与运用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入一般而言， 给出了一个数学对象的定义， 就可以从定义出发研究这个数学对象的性质 例如， 在给出指数函数的定义后， 我们从定义出发研究了指数函数的定义域、 值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用介绍本节课的研究方法：从定义出发，研究概率的基本性质类似的， 在给出概率的定义后， 我们来研究概率的基本性质新课思考 1：从概率的定
3、义出发，可以研究概率的哪些性质？由概率的定义可知，( )( )()kn AP Ann因为( )0(n An ，所以：任何事件的概率都是非负的；即( )0P A 性质性质 1 对任意事件 A，都有( )0P A 在每次实验中， 必然事件一定发生， 不可能事件一定不会发生得到特殊事件的概率：性质性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即()1P ，()0P 在“事件的运算和关系”中，我们研究过事件的某些关系， 具有这些关系的事件， 它们的概率之间会有什么关系呢？思考思考 2 设事件 A 与事件 B 互斥，和事件AB的概率与事件 A，B 的概率之间具有怎样的关系？为了同学们方便完成这
4、个探究问题， 请大家看我们已经做过的一个题目：一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球， 其中 2 个红球（标号为 1 和 2） ，2 个绿球（标号为 3 和 4）从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球求下列事件的概率：（1）事件 R=“两次都摸到红球” ；（2）事件 G=“两次都摸到绿球” ，（3）事件RG=“两次摸到的球颜色相同” 分析：用数组(x,y)表示摸球的结果，x 是第一次摸到的球的标号，y 是第二次摸到的球的标号，则样本空间=(1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)， (2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)n()=
5、12解： （1）事件 R=“两次都摸到红球” ，所以 R=(1,2)，(2,1)，n(R)=2，n()=12，所以，21( )126P R （2）事件 G=“两次都摸到绿球” ，说明本节课的研究内容及研究方法概率的取值范围特殊事件的概率所以 G=(3,4)，(4,3)，n(G)=2，n()=12，所以，21( )126P G （3）事件RG=“两次摸到的球颜色相同” ，所以(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)RG ，n(RG)=4，n()=12，所以，41()123P RG 回顾解题过程：事件 R 与事件 G 是互斥事件，所以，事件 R 与 G 的和事件包含的样本点恰好是事件 R 包
6、含的样本点和和事件 G 包含的样本点；所以，4=()( )( )n RGn Rn G=2+2，将上式的每一项都除以 n()：()( )( )22( )( )()()12()()n RGn Rn Gn Rn Gnnnn由概率的定义，可得：()( )( )P RGP RP G因此，从特殊到一般，如果 A、B 是一个随机试验中的两个互斥事件，那么 A 与 B 不含有相同的样本点，所以()( )( )n ABn An B，这等价于()( )( )P ABP AP B，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和所以，我们有互斥事件的概率加法公式：性质性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么
7、()( )( )P ABP AP B互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况如果事件12,mA AA两两互斥，那么事件12mAAA发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率值和，即1212()()()()mmP AAAP AP AP A回到刚才的问题：一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球， 其中 2 个红以古典概型概率的定义为出发点， 采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性质性质3-互斥关系的事件概率间的关系球（标号为 1 和 2） ，2 个绿球（标号为 3 和 4）从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球事件 N=“两个球颜色不相同” ，求 P(N)解：事件 N 是两个球颜色不相同，所以
8、 N=(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，n(N)=8，n()=12，所以，82()123P N 还可以用其他方法求事件 N 的概率吗？事件 M 与事件 N 互为对立事件，所以，MN，MN 所以，1()()()P MNP MP N所以，12()1()=133P NP M 如果 A、B 是一个随机试验中的两个对立事件，用同样的方法可以证明：( )( )1P AP B由此得到：性质性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么( )1( )P BP A ，( )1( )P AP B 例例 从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取
9、一张， 设事件 A=“抽到红心” ，事件 B=“抽到方片” 求（1）C=“抽到红花色” ，求 P(C)；（2）D=“抽到黑花色” ，求 P(D)分析： （1）一副不包含大小王的扑克牌，有红心，方片，黑桃，梅花四种花色，事件 C 是抽到红花色，即抽到红心或方片，所以CAB，因为随机抽取一张扑克牌， 抽到红心和方片是不可能同时发生的，所以事件 A 与事件 B 是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，即可得到( )( )( )P CP AP B事件 A=“抽到红心” ，红心从 A 到 k 共有 13 张，由概率的定义，可知131( )524P A ，同理，131( )524P B 利用性质 3 推出
10、性质 4-对立关系的事件概率间的关系所以，111( )( )( )442P CP AP B解： （1）因为CAB，且 A 与 B 不会同时发生，所以 A 与 B 是互斥事件根据互斥事件的概率加法公式，得111( )( )( )442P CP AP B分析： （2）事件 D 抽到黑花色，与事件 C 抽到红花色，是不可能同时发生的，而且从一副扑克牌中随机抽取一张，不是黑花色就是红花色，也必然发生其中之一，所以事件 C 与事件 D 互为对立事件由对立事件的概率公式，可得()1( )P DP C 由（1）知，1( )2P C ，所以，11()1( )122P DP C 解： （2）因为 C 与 D 互
11、斥，又因为 CD 是必然事件，所以 C 与 D 互为对立事件因此11()1( )122P DP C 思考思考 3 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中 2个红球（标号为 1 和 2） ，2 个绿球（标号为 3 和 4）从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球事件 R1=“第一次摸到红球” ，事件 R=“两次都摸到红球” ，事件 R1与事件 R 有什么关系？他们的概率又具有怎样的关系？分析：事件 R1=第一次摸到红球，所以 R1=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，1()6n R，事件 R=两次都摸到红球，所以 R=(1,2)，(2,1)，( )2n R
12、，所以，对于事件 R 与 R1，1RR，即事件 R 发生，则事件 R1一定发生，且1( )()n Rn R，于是1()( )26( )12( )12n Rn Rnn，想要正确的运用我们学习的这两个公式， 需要分析清楚事件之间的基本关系，明确公式成立的条件， 才能利用相应的性质， 使问题迎刃而解利用定义推导具有包含关系的事件之间概率关系由概率的定义，得到：1( )()P RP R所以，对于一个随机试验中的两个事件 A、B，如果AB，即事件 A 发生，则事件 B 一定发生，那么事件A 发生的概率不超过事件 B 发生的概率 于是我们有概率的单调性：性质性质 5 如果AB，那么( )( )P AP B
13、由性质 5 可得：对于任意事件 A，因为A ，所以0( )1P A思考思考 4：一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中 2个红球（标号为 1 和 2） ，2 个绿球（标号为 3 和 4）从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球事件 R1=“第一次摸到红球” ，事件 R2=“第二次摸到红球” ，那么12()P RR与12()()P RP R之间有什么关系？分析：事件 R1=第一次摸到红球，所以 R1=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，1()6n R，所以，16()12P R事件 R2=第二次摸到红球，所以 R2=(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1
14、)，(3,2)，(4,2)，2()6n R，所以，26()12P R和事件 R1R2=“两个球中有红球” ，所以 R1R2=(1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)， (2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，12()10n RR，所以，1210()12P RR通过计算我们发现：12()P RR12()()P RP R为什么不相等呢？因为，12RR=(1,2)，(2,1)，所以事件 R1与事件 R2不是互斥事件，性质性质 5-包含关系的事件概率间的关系，完善概率的取值范围不能用互斥事件的概率加法公式计算和事件的概率那么如何计算12()P RR呢？对三
15、类事件的样本点进行分析，可以发现：1()6n R，2()6n R，12()10n RR，因为12RR=(1,2)，(2,1)，12()2n RR，所以：121212()()()()n RRn Rn Rn RR将上式的每一项都除以 n()：121212()()()()()()()()n RRn Rn Rn RRnnnn由概率的定义，可得：121212()()()()P RRP RP RP RR于是， 我们得到， 一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式：性质性质 6 设 A、B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P ABP AP BP AB显然，性质3是性质6的特殊情况由具体
16、实例出发研究， 一个随机试验中两个不互斥的事件，它们的和事件发生的概率公式由特殊到一般得到性质 6，一个随机试验中的两个事件概率的关系例题例、例、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动： 将 6 罐这种饮料装一箱， 每箱中都放置 2 罐能够中奖的饮料， 若从一箱中随机抽出 2 罐， 能中奖的概率为多少？分析：从一箱中随机抽出 2 罐饮料，共有 4 种情况：第一种情况：两罐都中奖；第二种情况：第一罐中奖，第二罐不中奖；第三种情况：第一罐不中奖，第二罐中奖；第四种情况：两罐都不中奖在一次试验中， 有一种情况发生， 则另外三种情况不可能同时发生从一箱中随机抽出 2 罐能够中奖的饮料，
17、包含前三种情况解：我们不妨用事件 A=“中奖” ，事件1=A“第一罐中奖” ，事件2=A“第二罐中奖” ，那么事件12A A=“两罐都中奖” ，事件12A A=“第一罐中奖，第二罐不中奖” ，利用互斥事件、 对立事件概率公式解决问题事件12A A=“第一罐不中奖，第二罐中奖” ，且121212AA AA AA A因为121212,A A A A A A两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得212121( )()()()P AP A AP A AP A A借助树状图，来求相应事件的样本点数样本空间包含的样本点总个数()6530n，每个样本点都是等可能的，是古典概型问题因为121212()
18、2, ()8, ()8n A An A An A A，所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：288183( )303030305P A 所以， 从一箱中随机抽出 2 罐， 能中奖的概率等于35上述解法需要分若干种情况计算概率， 有没有更简便的方法呢？对于这个问题也可以这样进行思考：分析：事件 A=“中奖”的对立事件是“不中奖” ，即“两罐都不中奖” ，所以只要求出两罐都不中奖的概率，这样就可以利用对立事件的概率公式来求事件 A=“中奖”发生的概率另解：事件12A A=“两罐都不中奖” ，通过树状图，可得：12()4 312n A A ，由概率的定义，可得12122()305P A A，因此，利
19、用对立事件的概率公式，可得1223( )1()155P AP A A 遇到一个较复杂的概率问题， 首先要不重不漏地将试验结果分类， 用简单事件表示复杂事件， 分析清楚事件的关系和运算， 再利用概率的性质， 运用公式进行计算所以， 从一箱中随机抽出 2 罐， 能中奖的概率等于35总结以古典概型为具体的实例支撑， 由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范围； 特殊事件的概率； 事件有某些特殊关系（互斥、对立、包含）时，它们的概率之间的关系，得到概率的 6 条性质，利用概率的性质，可以简化概率的计算作业1. 已知( )0.5,( )0.3P AP B（1） 如果BA， 那么()P AB ，()P A
20、B （2） 如果,A B互斥， 那么()P AB ，()P AB 2. 指出下列表述中的错误：（1） 某地区明天下雨的概率为 0.4， 明天不下雨的概率是0.5；（2）如果事件 A 与事件 B 互斥，那么一定有( )( )1P AP B3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男） ，F（女） ）及年级（G1（高一） 、G2（高二） 、G3（高三） ）分类统计的人数如下表：G1G2G3M182014F17247若从这 100 名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M ，()P F ，()P MF ，()P MF ，1()P G，2()P MG，3()P FG具有特殊关系的事件， 和事件与积事件发生的概率求解概率性质的辨析进一步深化巩固概率性质的运用
