1、教教 案案教学基本信息课题向量数量积的运算律学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第三册出版社： 人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月教学设计参与人员姓名单位设计者王晓正北京师范大学良乡附属中学实施者王晓正北京师范大学良乡附属中学指导者刘雪明北京市房山区教师进修学校课件制作者王晓正北京师范大学良乡附属中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标： 1.通过学习体会类比猜想证明的探索性学习方法， 体会向量数量积的运算方法.2.通过探究性学习培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识.教学重点：向量数量积的运算律及应用.教学难点：向量数量积运算
2、分配律的证明.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图一、复习回顾复习回顾：复习回顾：1复习非零向量的夹角baba（1）当 a 与 b 都是非零向量时， 称0, 的AOB为向量a 与向量 b 的夹角，记作.且有 = （2）当=2时，称 a ?通过回顾反思，对向量数量积的相关知识进行梳理，为探究运算律做准备.BOA2向量数量积的定义：当 a 与 b 都是非零向量时， a b = |a| |b| cos.当 a 与 b 至少有一个是零向量时， a b = 0.3向量数量积的几何意义：两个非零向量的数量积，等于其中一个向量在另一个向量上投影的数量与另一个向量的模的乘积.coscos当 为单位
3、向量时，ea e| a | e | | a |任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.4二、探究新知，类比向量的线性运算和实数的乘法运算，探究向量数量积的运算律根据定义，我们证明了向量的线性运算具有如下运算律（）（）（）（）abbaabcabcababaaa那么你能够猜一猜，向量的数量积运算具有什么样的运算律？（）（）（）（）（）a bb aa b cab ca ba bab ca cb c下面探究这些结论是否正确.1.a bb a证明：当a和b都是非零向量时，根据定义，可得cosa b| a | b |对向量数量积的运算律进行类比猜想，然后进行严谨证明，证明过程中
4、培养学生的分析问题、解决问题的能力.=|cos,=(|cos,)|a ba ba baa bb向量的运算向量的加法向量的减法向量数量积向量的数乘向量实数猜想探究cosb a| b | a |，又因为a, bb, a所以，a bb a当a和b至少有一个是零向量时，0a bb a综上，向量数量积满足交换律.2.（）（）a b cab c分析：a b是实数，等式左边是与c共线的向量，同理，等式右边是与a共线的向量.思考，这个等式有没有有可能成立？思考，这个等式是否对任意向量恒成立？问题：当a b=b c=0 时，等式成立.问题：给出如图所示例子：2,3| a | | b | | c |=,a, b=
5、所以，a b=b c=12222，所以等式左边是 2c，等式右边是 2a，因此等式不成立.综上，等式不一定成立，不能作为向量数量积的运算律.思考：等式在什么情况下可以成立？课下完成思考.3.（）（）a ba b分析：cos（）a b|a | b |cos（）a b| a | b |a |与| a |关系，与的关系当0 时 ，|a |=| a |，a与a同 向 ，=当0 时 ，|a |=-| a |，a与a反 向 ，=- 证明：当a和b都是非零向量且0时，根据定义可得当0 时，cos（）a b|a | b |=| a |cos| b |=（）a b当0 时，cos（）a b|a | b |=co
6、s(-| a | b |=| a |cos| b |=（）a b当a和b至少与一个是零向量或0时，根据定义可得（）（）0a ba b综上，以上结论对任意向量及任意实数恒成立，可以作为运算律.4.（）ab ca cb c分析：cos（） ab c| ab | c |coscosa c| a | c |b c| b | c |、三个角之间的关系不易研究，观察到待证结论左右两侧都有| c |，于是可以将待证结论转化为coscoscos=+| ab | a | b |等式左边即为向量ab在c上射影的数量；等式右边即为向量a在c上射影的数量与b在c上射影的数量的和.取0c是与c同向的单位向量，则cosc
7、os00=（）| ab | ab |ab ccoscoscoscos00+=+| a | b | a | b |=00a cb c由向量数量积的几何意义可知任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.证明： 当a和b和c都是非零向量时， 取0=ccc， 即0c是与c同向的单位向量，设0c和点 O 都在直线 l上，设 a OA bAB,则 abOB，分别过点 A 和 B 作直线 l的垂线11，AABB，则1OA是a 在0c上投影，11 A B是b在0c上投影，1 OB是ab在0c上投影，因为1111 OBOAAB，所以000（） =ab ca cb c，左右两边同时乘以|
8、 c |，则有（）ab ca cb c成立.当a和b和c至少有一个是零向量时，等式显然成立.因为，向量数量积对加法满足分配律.小结：利用数量积的定义和几何意义，证明了如下三条运算律成立（）（）（）a bb aa ba bab ca cb c，并且可以推广出：（）（）aba b（- ）-ab ca cb c （）abca ba c四、 例题 讲解例 1求证：22（） （- ）-ababab分析：证明等式的方法：作差法，综合法，分析法等证明：22（） （- ） = （- ）（- ）-ababa abb aba aa bb ab bab通过例题巩固学生对向量数量积的定义和性质、运算律等知识的掌握.考
9、查向量数量积的分配律，交换律的应用.例 2.已知2，1，60 ，| a | b |a, b求2| ab |.分析：22（2 ） （2 ）| ab |abab22a aa bb a4b b2244aa bb代入求值即可.解：22（2 ） （2 ）| ab |abab22a aa bb a4b b2244aa bb144214122所以，22 3| ab |考查向量数量积在求模长中的应用，及向量数量积三条运算律的应用.例 3.用向量法证明菱形的对角线互相垂直.文字语言转化为数学语言：已知ABCD是菱形，其中AC和BD是对角线，求证：AC BD 分析：首先结论向量化=0 AC BD AC BD（）
10、（-）0 ADAB ADAB22-0 |ADAB= |ADAB证明：在菱形ABCD中，=， =-， AC ADAB BD ADAB AC BD=（ ） （-） ADAB ADAB =22- |ADAB因为= |ADAB，所以 AC BD=0，所以 AC BD ，故AC BD 小结：用向量法求解几何问题的三个步骤：步骤 1.用向量表示题目中的条件和结论的几何关系；步骤 2.进行向量的线性运算和数量积运算；步骤 3.将向量关系还原为几何结论；关键点：选择合适、恰当的基底向量，也是难点.五、 课堂 小结1.向量数量积的运算律及证明；2.利用向量数量积的定义和运算律解决等式证明及相关值求解的问题；3.
11、利用向量法求解几何问题.总结本节课向量数量积的运算律及利用定义和运算律解决了哪些问题。六 、作业1.2.3.求证已知向量满足求利用向量的数量积证明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.：（）. .、，,120,120a bababababa bab222122, 【作业参考答案】1.证明：因为右边2221()2abab22221(2)2aba baba b左边，所以等式成立.2解：2222-（- ）- 2abababaa bb222cos,14222()+42 aa ba bb2 33.证明：设平行四边形ABCD的对角线是AC和BD，所以2222 ACBDABBCCDCB222222 ABBCAB BCCDCBCD CB因为-, ABCD BCCB,所以 AB BCCD CB，所以222222= ACBDABBCCDCB.对本节课所学知识进行巩固练习.
