1、教教 案案教学基本信息课题倍角公式学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 8 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者姜瀛房山中学实施者姜瀛房山中学指导者刘雪明房山区进修学校吴增广北京市房山中学教学目标1、学会推导二倍角的正弦、余弦与正切公式；2、能够灵活应用二倍角公式解决化简求值、恒等式证明与三角的综合问题等；3、帮助学生体会运算、推理在探索、发现数学结论中的作用，进一步加强运算能力和推理能力。教学过程教学环节主要教学活动设置意图引入师生活动：师生活动：带领学生回顾两角和（差）公式的推导过程：先由两角差余弦公cos( -
2、 )coscos+sinsin ，通过令= ，整体换元，得到了两角和余弦公式cos()coscossinsin，再应用诱导公式，得到两角和差正弦公sin()sincoscossin，通过“齐次化切” ，推导出两角和差正切公式tantantan()1tantan。引导学生回顾两角和（差）公式的推导过程， 启发学生类比进行过的数学探索活动， 自主寻找公式间的内在联系进行新课探索， 点明本节课的研究方向。新课一、启发学生探索“知新”师生活动师生活动： 教师引导学生进行思考， 类比之前进行的两角和 （差）公式的数学探索活动，通过合理选择前面所学过的已知公式，再次进行新的公式的推导：写出由的三角函数值来
3、求出sin2、cos2、tan2的一般公式。二、倍角公式的推导数学活动：数学活动：引导学生通过观察角，发现差异，进而找到将角特殊化的这座桥梁，帮助学生找到倍角公式与和角公式之间的内在联系。两角和的正弦公式：sin()sincoscossin；两角和的余弦公式：cos()coscossinsin；以及两角和的正切公式：tantantan()1 tantan。令= ，将角特殊化可以得出：sin()sincoscossin=2sincos。同理，我们也可分别得出cos()coscossinsin，2tantan2tantan()=1tantan1tan的公式变形。之后，经过化简就会得出2sin22s
4、incosS：、222cos2cossinC：、222tantan21tanT：，这三个公式被称为倍角公式。三、倍角公式的延展发现sin2 =？cos2 =？让学生在“温故”的同时， 寻找构架起认知的桥梁， 自然而然地从数学角度发现、 探索出今天要学的“知新” 。通过推导过程， 让学生发现其实二倍角的三角函数公式也是两角和的三角函数公式的特殊情况， 理解了这一点就可以帮助学生进行公式的记忆和掌握。鼓励学生敢于发选择选择什么什么公式公式?师生活动师生活动：1、引导学生在学习二倍角的正弦和余弦公式时，注意角的取值没有限制，但是在二倍角正切公式中，角的取值是有一定范围的，提醒学生公式都是在有意义的情
5、况下进行应用的。2、引导学生进一步观察二倍角余弦公式的式子结构特征，思考能否对它再进行变形？通过之前所学过的同角三角函数的基本关系式：22sin+cos=1， 就会得到二倍角余弦公式的另外两种变形22cos22cos112sin 。现探索， 寻找数学推理的乐趣， 通过自己一步一步地推导， 理清倍角公式与和角公式的内在关系， 以及二倍角余弦公式的三种等价形式， 能够感悟数学之间的关联， 加强自我数学思维的培养。例题例例 1 1、已知5sin()132，求sin2、cos2、tan2的值。师生活动师生活动：1、引导学生审题，学会如何进行思路分析。发现求解角2与已知角之间存在的二倍关系， 合理运用二
6、倍角公式sin2 =2sincos，2cos212sin ，再根据公式的结构，求出cos的值，通过同角三角函数的基本关系式22sin+cos=1，但是提醒学生注意在根式运算里2cos =1-sin，根号前的正负号，由所在象限确定，2 （， ）是第二象限角，因此得到的cos应为负值，这样也回归到题目的已知上。2、引导学生深入思考： （1）对于tan2既可以运用同角三角函数的基本关系式sin2tan2 =cos2进行求解，也能先求出sintan=cos的值，然后代入二倍角正切公式22tantan21tan进行求解。 （2）若本题中已知没有给出决定符号的条件，让角所在的象限不明确时，则在运用22si
7、n+cos=1开方运算的时候就需要正负两个都写， 那就需引导学生发现对于三角恒等变换中化简和求值这类题型， 要先学会观察题目中角的差异， 才能选择运用合适的公式进行求解。而且，通过例 1，学生会发现要想在数学学习中能够举一反三， 就需要先学会找到题目与题目之间的联系， 看思路分析能不能相统一， 做到透过现象看到本质。要运用分类讨论的思想。3 3、变式探究、变式探究：已知5sin()213 22，求sin、cos、tan的值。师生活动：师生活动：引导学生发现已知角和所求角之间的存在着二倍的关系，那么变式探究题就和例 1 的思路相统一。依然可以与例 1一样，先用同角三角函数的基本关系式求出cos2
8、的值，再根据象限角判断出符号，然后带入新学的倍角公式去求解，就可以得到sin、cos、tan的值。例例 2：（1）证明恒等式s si in n+ +s si in n= =t ta an nc co os s+ + s si in n+ +c co os s22222师生活动师生活动：引导学生仔细审题。观察需要证明的式子结构特征，会发现式子中存在着角的差异变化，那么就需要将其化为同角，也就是将2角化为角；同样，在证明式子中，也存在着三角函数名的差异，等式左边是角的正弦和余弦，等式右边是角的正切；因此根据找到的角和三角函数名的差异，先选择使用二倍角公式，将分子中的 sin2化为 2sincos，
9、把分母中的cos2化为22cossin，再用同角三角函数的基本关系式sintan =cos进行三角函数名的转化，并且由于左右两边的繁简程度明显不同，将繁琐的左边化简为右边更为简捷。（2）证明恒等式+ +2 2s si in nc co os s1 1+ +t ta an n= =c co os ss si in nt ta an n 2211。师生活动师生活动：对于第二道等式证明，引导学生类比第一道证明题一样用同样的思路进行分析。还是先观察需要证明的式子结构特征，再看角的差异变化，发现式子中的角都是角，在此需通过变式探究， 引导学生发现二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式，还包括是2的二倍，2是
10、4的二倍，同样还有4是2的二倍等等，这些都可以应用二倍角公式进行求解。对于三角恒等变换中恒等式证明这类题型， 引导学生要抓住解题的通式通法， 首先重在观察要证明的三角函数恒等式的结构特征， 然后根据角的变换和要注意一点， 可能在看到分母是c co os ss si in n 22时， 会直接想到22cos2 =cossin这个倍角公式，但是代入之后，会发现角反而有了差异，不利于等式证明，所以选择合适的公式的前提是观察角的变化。本题中式子里已经是同角了，可以将22sin+cos=1等量代换进去，正好能够配方得到2sin+cos，也正是因为分子的变形，才会发现分母利用平方差公式进行变形更为合适；再
11、观察三角函数名的差异，等式左边是角的正弦和余弦，等式右边是角的正切，同样运用同角三角函数的基本关系式sintan=cos进行三角函数名的转化；之后再将更加稍微繁琐的左边往右边进行化简即可得证。例例 3 3：已知函数2( )2cossin21f xxx，求函数的最小正周期和值域。师生活动：师生活动：拿到题目，引导学生还是要先进行思路分析。首先要明确解析式的化归方向，观察三角函数的式子结构，就会发现式子中存在角的差异， 需要反用二倍角公式将 x 角化为 2x 角，转化为同角的形式；之后看到式子中既有角的正弦又有角的余弦，存在着三角函数名的差异，利用辅助角公式，将解析式转化为一个三角函数名的形式，也
12、就是正弦型函数sin()yAx的 “三个一”的形式，即一个三角函数名，一个角和一次函数的形式，再利用三角函数的相关性质进行求解。变式探究：变式探究：已知2( )2cossin21f xxx，若0,2x，求 f（x）的值域。师生活动师生活动：教师引导学生发现在变式探究中，自变量的范围从 R变成了0,2x，那么要想求其对应的值域是多少就需要学生了解求值域的基本方法都有哪些。函数名的变换， 才能选择出所需要的适合的公式， 为证明等式左右两边相等搭起一座桥梁。三角函数作为一种重要的函数模型， 通常会对其性质进行研究。 在研究过程中， 往往需要根据解析式的结构特征， 利用三角函数的恒等变换， 把解析式转
13、换成正弦型函数， 从而在解析式的化求值域的最基本的方法 ：第一种方式，可以利用换元，分离常数，辅助角变形，配方等等一系列转化的方法，将复杂函数转化为基本函数，再利用其图象和性质进行求解；第二种方法，通过研究函数的单调性来进行求解。变式探究中，就是利用了换元法，将正弦型函数问题转化为正弦函数问题，并利用其图象与性质来解决问题。根据例 3可以知道解析式是( )2sin(2)4f xx，因为已知中02x，根据不等式的运算性质，可以得到52 +444x， 这时， 利用换元法令2 +4Xx.将正弦型函数( )sin(2)4f xx转化为正弦函数ysinX，借由正弦函数图象上2 +4x在5,44上的截图可
14、知，5sinsin(2)sin442x，进而得到2sin(2)124x，因此得到( ) 1, 2f x ，故所求值域为 1, 2。简过程中， 学会如何合理进行公式的选择与进行如何灵活应用的问题。一、知识总结一、知识总结1、二倍角公式：2sin22sincosS：222cos2cossinC：222tantan21tanT：引导学生总结归纳， 不仅理解公式总结2、二倍角余弦公式的三种等价形式：2222cos2cossin2cos112sin 二、题型思路总结二、题型思路总结1、三角恒等变换主要的三类题型：第一类是利用公式进行化简和求值；第二类是利用公式进行恒等式证明；第三类是有关三角问题的综合应
15、用。2、三角恒等变换解题思路：发现差异、寻找联系、灵活变化。第一，发现差异，要“三看” 。一看角的差异；二看函数名称的差异；三看式子的结构特征。第二，寻找联系，用公式。在分析差异之间的内在联系之后，就会找到相关的知识要素，进而选择运用合适的公式来解决问题。第三，灵活变换，写步骤。在灵活运用公式的基础上，合理进行知识要素之间的转化，从而实现“角” 、 “名” 、 “形”的统一。同时，也要养成解题规范的良好数学习惯。三、注意事项三、注意事项在解决三角恒等变换问题时，要时刻注意角的取值范围对公式转化的影响。间的内在联系， 同时找到三角恒等变换的解题方法，从而学会思路分析， 能够确立突破难点的方向， 学会如何合理选择运用公式进行三角问题的求解。作业1、已知5sin13，求sin2、cos2、tan2的值。2、证明恒等式：+ +2 2s si in nc co os s1 1+ +t ta an n= =c co os ss si in nt ta an n 22113、求函数2( )1 2sinsin2 f xxx的周期、最值和最值点。4、以学习小组为单位，与同学一起分工合作，依照知识之间的联系，设计制作三角的知识结构图，全班进行交流分享。帮助学生理解课上所讲的知识点的应用。
