1、教教 案案教学基本信息课题三角恒等变换的应用（第二课时）学科数学学段： 高中年级高一教材书名:普通高中教科书数学必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月姓名单位设计者罗建荣北京市房山区实验中学实施者罗建荣北京市房山区实验中学指导者刘雪明北京市房山区教师进修学校课件制作者罗建荣北京市房山区实验中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：能根据两角和（差）的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式， 感受三角恒等变换公式的推导是一种三角函数运算， 发展学生的运算能力和推理能力.教学重点、难点：积化和差与和差化积公式的推导，多角度思考问题.教学过程(表格描述
2、)教学环节主要教学活动设置意图引入温故知新：如果已知1cos()2，3cos()5，你能求出coscos以及sinsin的值吗？由和（差）角公式引出方程的思想.新课探究新知：1、积化和差公式cos()coscossinsincos()coscossinsin上面两个等式相加可得cos()cos()2coscos解方程组的思想.1coscoscos()cos()2（1）上面两个等式相减可得cos()cos()2sinsin 1sinsincos()cos()2 （2）观察（1） 、 （2）两个等式，左边是同名函数相乘，右边是两个同名函数相加或相减.公式所起作用是将积化成和或差的形式，因此称为积化
3、和差公式.同样的办法：sin()sincoscossinsin()sincoscossin上面两个等式相加可得sin()sin()2sincos1sincossin()sin()2上面两个等式相减可得sin()sin()2cossin1cossinsin()sin()2小结：积化和差公式的左边是正、余弦乘积时，右边是正弦的和、差；左边是同名积时，右边是余弦的和、差.积化和差的“和差”与“积” ，是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系.积化和差公式的推导用了解方程组的思想.2、和差化积你能借助前面所学知识求出( )cos()cos()33f xxx的最大值吗？( )cos()cos()33f
4、 xxxcos cossin sin(cos cossin sin)3333xxxx2cos cos3xcosx所以函数的最大值是 1.小结：（1）.从角方面观察：观察3x与3x恰好是x与3这两个角的和与差.（2）.从式子结构方面观察：在化简过程中发现了x与提取出积化和差公式的特点.提出和差化积的来源，由特殊到一般的数学思想.3这两个角的同名三角函数积的形式，整理后为x与3这两个角的余弦积.和差化积公式的推导cos()cos()2coscos分析：如果x，y， （换元法）则2xy，2xy（解方程组）coscos2coscos22xyxyxy两个余弦函数相加，可以写成积的形式cos()cos()
5、2sinsin coscos2sinsin22xyxyxy sin()sin()2sincossinsin2sincos22xyxyxysin()sin()2cossinsinsin2cossin22xyxyxy小结：（1）.同为正弦或余弦的两个函数的和或差可以写成积的形式，因此称作和差化积.（2）.使用了换元法推导和差化积的公式.换元法与方程组思想的再次体现.例题例 1求函数( )sin()cos3f xxx的周期和最大值.分析：我们知道只能化简成一个角的一个三角函数的一次式才可以求周期.解：1( )sin()sin()233f xxxxx1sin(2)sin233x13sin(2)234x
6、函数( )sin()cos3f xxx的周期和最大值234例 2求函数( )sin()sin()36f xxx的周期和最巩固积化和差公式.巩固和差化积公式.大值.分析：发现是同名三角函数的和，而且系数都是 1，可以运用和差化积公式.解：由和差化积公式可知()()()()3636( )2sincos22xxxxf x2sin()cos124x2sin()12x所以函数的周期为2，最大值为2.小结：在使用积化和差、和差化积公式，应注意两个角的和或差以后往往会出现特殊角，所以“和积互化”是三角函数恒等变形的一种基本手段.例 3求函数( )sin()cos()36f xxx，,2 2x 的最值.分析：
7、和差化积公式只对系数绝对值相等且同为正弦或余弦的和与差才能直接使用.利用诱导公式将其中的一个化为与另一个同名的函数.法一：( )sin()cos()36f xxx2sin()sin()33xx2sincos()2cos()266xx法二：( )cos()cos()66f xxx2cos0cos()2cos()66xx2,2 2633xx 1cos(),162x 下面的任务是由2,2 2633xx ，体会转化的思想.巩固三角函数最值的求法.和差化积公式的应用.体会诱导公式的作用.当0,6x即,6xcos()6x有最大值 1，所以( )f x的最大值是 2.法三：( )sin()cos()36f
8、xxxsin coscos sincos cossin sin3366xxxx1331sincoscossin2222xxxx132sincos22xx2(sin coscos sin)33xx2sin()3x法四：因为()362xx所以cos()cos()sin()6233xxx( )2sin()3f xx5,2 2366xx 根据正弦函数性质可知，当,32x即,6xsin()3x有最大值 1，所以( )f x的最大值是 2.小结：此题告诉我们化简的途径有很多，可以从式子结构入手，也可以从角之间关系入手都可以达到化简的目的.和（差）正余弦公式及辅助角公式的复习.观察已知角之间的关系，使用诱导公式.加强正弦型函数最值的求法.总结梳理公式的由来.方 程 思 想cos()cos()积化和差1coscoscos()cos()2和差化积coscos2coscos22作业1.已知sin()1 ，sin()0，求cossin，sin()cos的值.2.求下列各式的值sin20sin40(1)cos20cos40(2)sin20sin40sin80巩固本节课知识.
