1、1 / 122021 北京朝阳高三（上）期中数学2021.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合 | 21, |0,3AxxBx xx 或，则AB A. | 20 xx B. |1,3x xx或C. | 23xx D. |0,3x xx或2.下列各组向量中，可以作为基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(3,4),(1,2)eeC.12(3,4),(6,8)eeD.124(3, 4),(1,)3ee3.设mR，则“2m
2、”是“复数(2 )(1)zmii为纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称，若2cos3，则cosA.53B.23C.23D.535.若函数2( )()21xf xaaR为奇函数，则实数a A.2B.1C.0D.16.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”后人称为“赵爽弦图”。 他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识。“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形2 / 12的面积是
3、 25，小正方形的面积是 1，则AD AE A.16B.15C.12D.97.已知函数1|( )1|,1( )2ln ,1xxf xmxx，若存在hR，使函数( )( )g xf xh恰有三个零点，则实数m的取值范围是A.10, )2B.0,)eC.1(, )2D.(,)e8.如图， 在直角梯形ABCD中，/ /,1,2,ADBC ABBC ADBCP是线段AB上的动点，则|4|PCPD 的最小值为A.3 5B.6C.2 5D.49.鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化。已知某鲜花店鲜花A在第一天的进价为 4 元/枝，售价为 10 元/枝,并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌
4、幅的50%。注:100%当日进价前日进价当日进价的涨跌幅前日进价，100%当日售价前日售价当日售价的涨跌幅前日售价每枝花的当日差价=当日售价-当日进价.鲜花A进价与售价表第一天第二天第三天第四天第五天进价（元/枝）489.64.86.72售价（元/枝）101516.5xy以下结论正确的是A.10 x B.10y C.这 5 天内鲜花A第二天的当日差价最大D. 这 5 天内鲜花A第一天的当日差价最小10.对任意非空有限数集S，我们定义其“绝对交错和”如下：设12|,|,*nSa aanN，其中12naaa，3 / 12则S的“绝对交错和”为11234|( 1)|nnaaaaa ；当|Sa时，S的
5、“绝对交错和”为|a，若数集2,0, , 5T，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为A.8( 52)B.8 5C.85（）D.8二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡上.11.函数( )lg(1)f xx的定义域是_.12.设等比数列na的前n项和为nS，公比为q，若132,14,0aSq，则q _，4a _.13.能使命题“若sin2sin2AB，则ABC!为等腰三角形”为假命题的一组,A B的值是_.14.北京 2022 年冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为28m的矩形展示区,并计
6、划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示)， 要求上下各空 0.25m， 左右各空 0.25m，相邻宣传栏之间也空 0.25m.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:2m),则S的最大值为_.15.已知函数44( )sincosf xxx.给出下列四个结论：( )f x的最小正周期为2.( )f x在区间0,2上单调递减.( )f x的最大值为 1.当()4kxkZ时，( )f x取得极值.以上正确结论的序号是_.（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16.（本小题 13 分）4 / 12在ABC!中，角, ,A B C的
7、对边分别为1, , ,4,6,cos8a b c acC.（）求sin A及b的值；（）求AB边上的高.17.（本小题 13 分）已知数列na的前n项和为,24,*nnnSSanN.（）求12,a a；（）若数列 nb是等差数列，且1153,ba ba，求数列 nb的通项公式；（）设nnbca，求12nccc.18.（本小题 14 分）已知函数2( )2cos2 3sincos(0,)f xxxxaaR.在从条件、条件、条件这三个条件中选择能确定函数( )f x解析式的两个合理条件作为已知，求：（）函数( )f x的解析式；（）函数( ),2 2f x x 的单调递增区间.条件:( )f x的
8、最大值为 1；条件:( )f x的一条对称轴是直线12x；条件:( )f x的相邻两条对称轴之间的距离为2.19.（本小题 15 分）5 / 12已知函数21( ),0 xaxxf xae.（）讨论函数( )f x的单调性；（）当0a 时，求证：函数( )f x在区间(0,1)上有且仅有一个零点.20.（本小题 15 分）已知函数3( )tan,f xxkxx kR.（）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）当1,(0,)32kx，求证：( )0f x ；（）若( )0f x 对(0,)2x恒成立，求实数k的最大值.21（本小题满分 15 分）对任意正整数2n，各项均不相同的
9、数列( ) 1( )012012( ) 1( ):,N nN nnN nN npppppFqqqqq满足下列性质：(2)2N，当2n 时，( )(1)( )N nN nn，其中( )n是小于n且与n的最大公约数是 1 的正整数的个数；0011( )( )0,1,1,1,1N nN npqpqn pq；对任意1,2,( ) 1,iiiN np q均为正整数且0iipqn；对任意11111,2,( ) 1,iiiiiiiiiN npppqqq，其中1iiiqnq， x表示不超过x的最大整数，如4 13.例如21:0,1.2F6 / 12（）对任意1,2,( ) 1iiN n求证1111iiiiii
10、pppqqq；（）写出(3),(4)NN及数列34,F F；（）求011223( ) 1( )1111N nN nSq qq qq qqq的值.7 / 122021 北京朝阳高三（上）期中数学参考答案一、选择题： （本题满分 40 分）题号12345678910答案ABCBDACBDD二、填空题： （本题满分 25 分）三、解答题： （本题满分 85 分）16.(本小题满分 13 分)解： （）在ABC中，由cos8C，得3 7sin8C .由正弦定理CcAasinsin,所以3 74sin78sin64aCAc.由余弦定理2222coscababC，所以2221642 48bb ，2200b
11、b.解得5b，4b（舍）.所以5b.8 分（）方法 1：在ABC中，AB边上的高为75 7sin544bA .方法 2：ABC1=sin2SabC=15 74，又ABC1=2SAB h，所以5 74h .13 分17.（本小题满分 13 分）解： （）令1n ，11124Saa，所以14a .题号1112131415答案(,1)354答案不唯一如,6 3 .928 / 12令2n ，12224aaa，所以28a .4 分（）令3n ，123324aaaa,解得316a 设数列 nb的公差为d，则14b ，51416bbd所以3d 所以1(1)31nbbndn，nN.8 分（）当1n时，14a
12、；当2n时，112()nnnnnaaSaS，所以12nnaa所以数列na是以4为首项，2为公比的等比数列所以12nna，*nN由（）可知，322nnc，*nN因为132c ，3231128(2)2nnnncnc，所以数列 nc是以32为首项，8为公比的等比数列所以35122327nnccc,nN.13 分18.（本小题满分 14 分）解：（）2( )(2cos1)3sin21f xxxa3sin2cos21xxa2sin(2)16xa.若条件已知，则31a ，所以2a.当12x 时，2()=0126 ，则(,1)12a是函数( )f x的一个对称中心，这与条件中直线12x 是( )f x的一条
13、对称轴矛盾.若条件已知，则2|2|T，又因为0，所以1 .因此，选择条件能确定函数( )f x的解析式.所以2a，1 .9 / 12则( )f x2sin(2) 16x.8 分（）由222,262kxkkZ，得,36kxkkZ ，又, 2 2x ，所以函数( )f x的单调增区间为, 3 6 .14 分19.（本小题满分 15 分）解：（）函数( )f x的定义域为R.22(21)e(1)e( )(e )xxxaxaxxfx2(21)2exaxax(1)(2)exaxx.当0a时，2( )exxfx ，当2x时，( )0,( )fxf x在区间(,2)上单调递增；当2x时，( )0,( )fx
14、f x在区间(2,+ )上单调递减.当0a时，12a.当1xa 时，( )0,( )fxf x在区间1(,)a 上单调递减；当12xa时，( )0,( )fxf x在区间1(,2)a上单调递增；当2x时，( )0,( )fxf x在区间(2,+ )上单调递减.10 分（）证明：由（）可知：当0a 时，( )f x在区间1(,2)a上单调递增，由于10a，所以函数( )f x在区间0,1上单调递增，且(0)10f ，(1)0eaf.所以函数( )f x在区间0,1上有且仅有一个零点.15 分20.（本小题满分 15 分）（）解：函数( )f x的定义域为,2x xkk Z.222222113co
15、scos( )31coscos=kxxxfxkxxx,所以(0)0f .10 / 12又(0)0f，切点坐标为(0,0)，所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为0y .4 分（）解：当13k 时，222221coscos(sincos )(sincos )( )coscosxxxxxxxxxfxxx.因为(0,)2x，所以sincos0 xxx.设( )sincosh xxxx，则当(0,)2x时，( )coscossin0h xxxxx.所以( )h x在区间(0,)2上单调递增.所以当(0,)2x时，( )(0)0h xh.即sincos0 xxx得证.所以当(0,)2x时
16、，( )0fx.所以( )f x在区间(0,)2上单调递增.又(0)0f,所以当(0,)2x时，( )(0)0f xf.9 分（）由（）可知，当13k 时,31( )tan03f xxxx对(0)2x，恒成立.当13k 时，22222221sin3cos(sin3cos )(sin3cos )( )31coscoscosxkxxxkxxxkxxfxkxxxx .设( )sin3cosg xxkxx,则( )cos3 cos3sin(13 )cos3sing xxkxkxxkxkxx.由于(0)2x，所以( )(13 )cos3sin(13 )cos3sin2g xkxkxxkxkx.22(13
17、 )cos3sin(13 )( 3) sin()22kxkxkkx，其中(0)2，且2( 31)tan03=kk.取0 x.当0(0,)xx时，( )0g x，则( )g x在区间0(0,)x上单调递减.所以当0(0,)xx时，即( )(0)0g xg.11 / 12由于当0(0)xx，时，sin3cos0 xkxx,所以当0(0,)xx时，( )0fx.所以( )f x在区间0(0,)x上单调递减.所以当0(0)xx，时,( )(0)0f xf.所以当13k 时，( )0f x 并非对(0)2x，恒成立.综上可知，k的最大值为13.15 分21.（本小题满分 15 分）解：（）对任意1,2,
18、( ) 1iN n，因为11iiiiqnnqq，所以11111111)()iiiiiiiiiiiiiiiiiipppppppqqqqqqq.4 分（）(3)4,(4)6NN.31 1 2:0,13 2 3F；41 1 1 2 3:0,14 3 2 3 4F.10 分（）因为对任意1,2,( ) 1iN n，1111)()iiiiiiiiiiiip qpqppqqpq1111iiiiiiiiiiiiiipqp qpqpqpqp q，所以对任意1,2,( ) 1iN n，1101011iiiip qpqp qp q.当0,1,2,( ) 1iN n时，1111111iiiiiiiiiiiipppqp qqqqqqq ，所以1111iiiiiippq qqq，所以0 11223( ) 1( )1111N nN nq qq qq qqq12 / 12( )( ) 1031212102132( )( ) 1( )00( )0 11.N nN nN nN nN nN nppppppppqqqqqqqqppqq 所以1S .15 分
