1、教案教学基本信息课题利用导数研究恒成立问题学科数学学段： 高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 2-2 （A 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年 1 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者陈旭北京市陈经纶中学实施者陈旭北京市陈经纶中学指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者陈旭北京市陈经纶中学教学目标及教学重点、难点1通过从不同角度分析，理解恒成立问题等价转化的实质，形成有效利用导数解决恒成立问题的方法，并能学以致用解决有关问题.2在恒成问题的解决中，体会特殊与一般、化归与转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法3通过一题多解，学习、归纳、提炼，不同的
2、解题方法，体验、积累不同的解题经验，提高方法识别与选择的能力.重点：会用导数确定函数最值进而解决不等式恒成立问题.难点：构建恰当的函数解决不等式恒成立问题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图知识点回顾【回顾】如何利用导数确定函数的最值？复习回顾导数确定函数最值得方法，为本节课做好知识铺垫.思考探究【思考 1】你能确定函数2( )21f xxx在2,3上的最大值和最小值吗？【预设】1、求导函数( )22fxx( )0fx 在2,3上恒成立，所以( )f x在2,3上单调递增，所以max( )(3)2f xf，min( )(2)1f xf .恒成立问题尤其是根据恒成立的条件确定参数问
3、题是高考的热点，是利用导数思考探究2、对于二次函数2( )21f xxx，其对称轴1x ，所以在对称轴右侧的区间2,3上( )f x单调递增，所以max( )(3)2f xf，min( )(2)1f xf .【探究】试判断下列说法是否正确？对于任意的2,3x都有( )0f x 成立.对于任意的2,3x都有( )2f x 成立.【探究】若对于任意的2,3x都有( )f xc成立，你能确定实数c 的取值范围吗？【预设】1、 一方面实数 c 不小于( )f x在2,3的所有函数值，c 大于等于( )f x在2,3上的最大值即可；2、另一方面可以看成函数( )yf x与常数函数yc函数值的大小关系，借
4、助函数图象可以看出 c 的取值范围.【思考 2】对于函数2( )21f xxx.【探究】试判断下列说法是否正确？对于任意的2,3x都有( )0f x 成立.对于任意的2,3x都有( )-1f x 成立.【探究】若对于任意的2,3x都有( )f xm成立，你能确定实数m 的取值范围吗？【预设】1、一方面实数 m 不大于( )f x在2,3上的所有函数值，m 小于等于( )f x在0,2上的最小值即可；2、另一方面，可以看成函数( )yf x与常数函数ym函数值的大小关系，同样借助函数图象可以看出 m 的取值范围.【思考 3】已知函数31( )3f xxx.下面两个说法是否正确？对于任意的0,2x
5、，都有( )0f x 成立？对于任意的0,2x，都有( )1f x 成立？【分析】判断两个说法是否正确的关键点是的什么？利用导数确定函数( )f x在0,2上的最值， 借助函数图象， 做出判断.【预设】31( )3f xxx，0,2x，2( )1fxx，令( )0fx ，解得11x ，21x 当 x 变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：研究函数的一种重要题型.有必要引导学生探究、归纳、积累这类问题的解决方法从学生熟悉的简单的二次函数入手，再到三次函数复习巩固确定函 数 最 值 的 方法，通过设问让学生思考判断一些 结 论 是 否 正确，逐步帮助学生理解恒成立问题的本质，体会恒成立
6、问题与函数最值的关系。树立函数思想，体会不等式与函数密切的关系，结合函数图象，数形结合解决问题。巩固利用导数确定三次函数最值的方法；在恒成立问题的解决过程中感受和体会转化与化归、数形结合的数学思想和方法.x0(0,1)1(1,2)2( )fx0( )f x0极小值23因为(0)0f，2(2)3f，所以max2( )3f x，min2( )(1)3f xf .【探究】若对于任意的0,2x都有( )f xm成立，你能确定实数 m 的取值范围吗？若对于任意的0,2x都有( )f xm成立，你能确定实数 m 的取值范围吗？体会提炼在利用导数研究函数的应用时，我们常会遇到一些判断、证明不等式恒成立的问题
7、，或者是已知不等式恒成立，求参数取值范围的问题.解决这类问题的基本思路是：恰当构建函数，转化为函数最值问题，利用导数研究函数的最值.下面我们再通过两个例子进一步看一下这类问题的解决方法.归纳题型、提炼问题、 体会解法、激发进一步研究的兴趣典例剖析【例题 1】已知函数( )e2xf xxa，若( )0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.【分析 1】如何理解( )0f x ？ 如何解决这个问题？此题中的函数是什么形式的函数？如何确定它的最值？和前面的问题相比此题没有区间范围的限制，说明什么？【预设 1】( )e2xf xxa，定义域为 R，( )e2xfx ，令( )0fx ，解得ln2x ，
8、当 x 变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：x(,ln2)ln2(ln2,)( )fx0( )f x极小值所以ln2min( )(ln2)e2ln222ln2f xfaa由题意( )0f x 恒成立，等价于min( )0f x，所以22ln20a，即2ln22a ，所以 a 的取值范围是2ln22,).【分析 2】同学们换一个角度想一想，还有其它的解法吗？【预设 2】( )0f x 恒成立，等价于2exax恒成立，令( )2exh xx，定义域为 R，( )2 exh x ，令( )0h x ，解得：ln2x ，当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x(,l
9、n2)ln2(ln2,)( )h x0巩固利用导数确定指数型函数的最值的方法；从不同角度思考解决“已知不等式恒成立，确定参数范围”的问题，在解决问题过程中形成解决此 类 问 题 的 通法，并通过对比两种方法，树立函数思想，体会不等式与函数的关系，恰当构建函数， 合理转化，数形结合解决问题.典例剖析( )h x极大值所以max( )(ln2)2ln22h xh所以max( )ah x，即2ln22a ，所以 a 的取值范围是2ln22,).【反思】这道例题是一个什么类型的题目？解决这类问题的我们采用的方法是什么？【提炼】1、已知不等式恒成立确定参数取值范围的问题.2、解决这类问题我们可以采用以下
10、两种方法：（1）直接转化为确定含待求参数的函数的最值.( )0f x 恒成立，等价于min( )0f x；( )0f x 恒成立，等价于max( )0f x.（2）分离参数-将要求的参变量分离出来单独放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数，将问题转化为新函数的最值问题.分离参数后转化为( )ah x恒成立min( )ah x；分离参数后转化为( )ah x恒成立max( )ah x.3、对于含有指数型的函数，利用导数确定其最值.【例题 2】已知函数( )lnf xxx，若对任意的1,)x都有( )1f xax恒成立，求实数 a 的取值范围.【分析 1】（1）这是什么类型的问题？我们怎么解决这类问
11、题？（2）例题 2 与例题 1 有什么区别吗？针对这道题的特点和条件，我们从哪里入手比较好？如何解决这个问题？【预设 1】( )1f xax在1,)上恒成立，等价于( )10f xax 在1,)上恒成立.令( )( )1ln1h xf xaxxxax ，即min( )0h x即可.( )ln1h xxa ，令( )0h x ，解得1eax.当10a 即1a 时，1e1a，( )0h x 在1,)上恒成立，( )h x在1,)单调递增，所以min( )(1)1h xha ，所以10a，即1a .当10a 即1a 时，1e1a，所以当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x11
12、(1,e)a1ea1(e,)a( )h x0( )h x1-a极大值所以11111max( )(e)elnee11e0aaaaah xha 不合题意，舍去，巩固利用导数确定对数型函数的最值的方法；进一步从不同角度思考、解决、落实“已知不等式恒成立，确定参数范围”的问题，形成通法.进一步树立函数思想，体会不等式 与 函 数 的 关系，恰当构建函数，合理转化，典例剖析所以 a 的取值范围是(,1.【回顾反思】1、理解题意、构造函数、恰当转化.2、 准确确定导函数. 此题中涉及了对数函数、 一次函数的导数以及差与乘积的导数运算.3、在确定函数最值时，由于参数的不确定性，往往需要分类讨论，此题的分类里
13、讨论点是极值点和定义域区间的位置.【分析 2】换个角度思考，这个问题我们可以用分离参变量的方法来解决吗？如何分离？如何解决？【预设 2】( )1f xax在1,)上恒成立，等价于ln1axxx在1,)上恒成立.因为1x ，所以上式等价于ln1xxax即1lnaxx在1,)恒成立.令1( )lnxxx，上式等价于min( )ax.22111( )xxxxx，1x 时，( )0 x，( ) x单调递增，所以min( )(1)1x.所以1a .所以 a 的取值范围是(,1.【回顾反思】1、如何理解这个方法？2、在分离常数变形时需要注意什么？3、对比两种不同的方法，你能说说它们的各自的特点吗？在处理具
14、体问题时，我们可以根据具体的条件恰当的选择一种方法解决问题.4、例题一可以看成是“( )0f x ”型，例题二可以看成“( )( )f xg x”型.数形结合解决问题.发散思维变式 1：已知函数( )lnf xxx，( )1g xax若在区间1,)上，函数( )f x的图象总在函数( )g x图象的上方，试确定实数 a 的取值范围.问题等价于“对于任意的1,)x，( )( )f xg x恒成立” ，即“对于任意的1,)x，ln1xxax恒成立”变式 2： 已知函数2( )exf xxax在(,) 上单调递增，试确定实数 a 的取值范围.从 不 同 角 度 表述，启发学生思维，引导学生关注问题本
15、质，恰当转化，合理解决问题.问题等价于：“对于任意的(,)x ，( )0fx 恒成立” ，即“对于任意的(,)x ，ln1xxax恒成立”此时还需要验证“=”成立时，( )f x是否满足题意.课堂小结【总结】请同学们总结一下1、 本节课我们主要解决了什么样的问题？“由不等式恒成立确定参数范围问题”2、 解决此类问题的方法是什么？关键是什么？常用的两种方法：（1）直接构造函数，确定函数最值.（2）分离参数，构造新函数，确定新函数最值.解题的关键步骤是确定函数的最值，因为涉及不同的函数，导数起到重要的作用.3、 在解决问题过程中，运用了哪些数学的思想和方法？从函数的角度去看待不等式，用函数的思想解决问题，所以转化与化归无处不在；函数图像是最直观的表示，所以解决函数问题时往往会数形结合；因为参数的不确定性，很多时候我们会进行分类讨论.4、重视一题多解，体会解法特点，积累解题经验，提高方法识别与选择的能力.引导学生完成课堂小结，梳理知识、方法、体会等.反思回顾，提炼归纳解决此类问题的通性通法.体会解法特点，积累解题经验.作业1 已 知函数( )2xf xexmx ，若 对任意的(0,3)x，( )0f x 恒成立，求实数 m 的取值范围.2已知函数( )xf xe的图象始终在函数( )g xxa图象的上方，求实数 a 的取值范围.学以致用，课后巩固，熟练、提升.
