第七章 平行线的证明-5 三角形内角和定理-三角形外角定理的证明-ppt课件-(含教案+视频+素材)-部级公开课-北师大版八年级上册数学(编号：30870).zip

第七章 平行线的证明 5、三角形内角和定理（2）学习目标：1、通过视频引入活动一，会判断和作出三角形外角；2、通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理过程；3、通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题活动一： 三角形的外角三角形内角的一条边 与另一条边的反向延长线组成的角叫做这个三角形的外角。 如图所示，1就是ABC的外角活动一： 三角形的外角请你尝试做出 的其它外角，你能做出几个？ABC想一想:1、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相对应的外角有几个？3、这些外角中有几个外角相等？针对练习1如图1，ADC的外角是（ ） A.ABC B.ACD C.BDC D.BCDCADC呢? 活动二 ： 三角形外角与内角关系如图:1是ABC的一个外角， 1与图中其他各角有何关系？1+4=1801=2+312,13活动二 ： 三角形外角与内角关系1+4=180三角形的一个外角与和它相邻的内角的互补。（平角的定义）?1= 2+3已知：1是ABC的一个外角求证： 1= 2+3活动二 ： 三角形外角与内角关系 2+ 3+ 4=180（三角形内角和定理） 1= 2+ 3（同角的补角相等）要求：同桌商量一下，看看你们能想到哪些方法？奖励2积分证明： 1+4=180（平角定义）1= 2+3活动二 ： 三角形外角与内角关系三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。几何语言 1是ABC的外角 1= 2+ 3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）已知：如图，1是ABC的一个外角.求证： 1 2, 1 3D ABC12312,13 活动二 ： 三角形外角与内角关系证明: 1 =2+ 3（三角形的一个外角等于 和它不相邻的两内角和） 1 2, 1 3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 几何语言 1是ABC的外角 1 2，13（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这 个个公理或定理的推公理或定理的推这推推这 可以当作定理使用可以当作定理使用. 定理2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD123三角形内角和定理的推论 定理定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论推论1 :推论推论2:2:ABC中，中，1=2+3ABC中，中，12，13这个结论以后可以直接运用.活动三 ： 三角形内角和定理推论 1.1.如图如图:ABC:ABC中，中，D D是是BCBC延长线上一点延长线上一点 1 1）则）则 ， ；2 2）若）若A=35,A=35, DCA=80DCA=80，则则 ACB=ACB= B=B= ACDAACDB10045针对练习235802.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定针对练习2C已知：如图，在ABC中,AD平分外角EAC,B=C. 求证：ADBC.ACDBE认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？ 活动四： 三角形外角定理运用已知:如图，在ABC中,AD平分外角EAC,B=C. 求证：ADBC.DAC=CDAC=C( (等量代换等量代换 ) ) ADBCADBC ( (内错角相等内错角相等 , ,两直线平两直线平行行). ).ACDBE还有其它方法还有其它方法吗？吗？ 活动四： 三角形外角定理运用证明：证明： EAC=B+CEAC=B+C ( (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) ) B=CB=C ( (已知已知 ) )C=C= EACEAC ( (等式性质等式性质 ) ) ADAD平分平分 EACEAC( (已知已知 ) )DAC=DAC= EACEAC ( (角平分线的定义角平分线的定义 ) )请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换个方法试试。DAC=CDAC=C( (等量代换等量代换 ) ) ADBCADBC ( (内错角相等内错角相等 , ,两直线平两直线平行行). ).ACDBE活动四： 三角形外角定理运用你用的是什么你用的是什么方法？方法？证明：证明： EAC=B+CEAC=B+C ( (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) ) B=CB=C ( (已知已知 ) )C=C= EACEAC ( (等式性质等式性质 ) )B= EAC(等式性质) ADAD平分平分 EAC(EAC(已知已知 ) )DAC=DAC= EACEAC ( (角平分线的定义角平分线的定义 ) )DAE= EAC(角平分线的定义)DAE=B(等量代换)(同位角相等,两直线平行).已知：如图P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPC A活动四： 三角形外角定理运用小组互相讨论，说一说其推理过程看看哪组最快，方法最多？（奖励小组3积分）要求：有几种方法就由几个人来 完成叙述证明：延长BP交AC于点DD12已知：如图P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPC A 1 是PDC的一个外角 1 2 2是ABD的一个外角 2 A 1 A即BPC A？（外角定义）（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）已知：如图P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPC A 活动四： 三角形外角定理运用E延长CP交AB与点E 1是ABP的一个外角 1 3 2是ACP的一个外角 2 4 1+ 2 3+ 4即 BPC BACE证明：连接AP并延长交BC于点E.1234已知：如图P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPC A已知：如图P是ABC内一点，连接PB、PC。求证：BPC A 活动四： 三角形外角定理运用（2）根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间等量关系的结论吗？并说明理由小组互相讨论，说一说其推理过程看看哪组最快，方法最多？（奖励小组3积分）BPC =A + ABC+ACP 活动四： 三角形外角定理运用根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间的等量关系的结论吗？并说明理由EO1423下列哪几种说法正确？（1）BACD（2） B+ACB=180A（3） B+ACBBBEAHCD针对练习2课堂小结用自己的话描述一下本节课的收获今天你学到了哪些知识？学到了哪些思想方法你还有什么收获当堂检测1、求下列各图中1的度数。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 19085952.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_ _. 30或75 3.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_.DCBA1204 已知：在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: 12.CABF1345ED2布置作业：1、AB层 p183的T22、CD层 p183的T3/4已知：1是ABC的一个外角求证： 1= 2+3E证明：过点B做BEACABE= 2（两直线平行，内错角相等）EBD= 3 （两直线平行， 同位角相等） ABD= ABE+ EBD ABD= 2+ 3（等量代换） 活动二： 三角形外角与内角关系北师大版八上第七章第五节 三角形内角和定理三角形内角和定理 2教学设计教学设计 三角形内角和定理三角形内角和定理 2教学设计教学设计一一 课标要求课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。二二 基于对教材的理解基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节三角形内角和定理第 2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。三三 基于对考试要求的分析基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。四四 基于对学情的分析基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。2、已有的活动经验具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。4、学生座次表A AC CA AC CA AB BB BD DB BD DB BD DA AC CA AC CA AC CB BD DB BD DB BD DA AC CA AC CA AC CB BD DB BD DB BD D前后四人为前后四人为一组，一组，A A 为为组长，每一组长，每一组课堂表现组课堂表现有积分累计有积分累计 AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用，CD 层通过自学及与同桌交流能说出三角形外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五五 学习目标学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程；3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题【学习重点学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用【学习难点学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几何计算问题，特别是证明两个角的不等关系。六六 学习学习过程过程（一）（一） 复习巩固，引入外角复习巩固，引入外角活动活动 1 1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路：回顾三角形内角和定理及推理证明思路 问题问题 三角形内角和定理？ 问题问题在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？活动活动 2 2：引入外角：引入外角 视频引入，为了测量ABC 中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边 BC 延长得到ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。 引入外角定义。针对性练习针对性练习 1 1：ADC 的外角是（ ） A.ABC B.ACD C.BDC D.BCD【学生活动学生活动】能画出ABC 的其它外角，并说明其特点每一个三角形有几个外角？每一个顶点处相对应的外角有几个？这些外角中有几个外角相等？（所有同学能独立完成，D 层同学可以借助同桌帮忙完成）【设计意图设计意图】通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。（二）（二） 新课探究，交流解惑新课探究，交流解惑活动活动 3：三角形外角与内角关系 1.1.问题问题：猜想1 与其他各角角有什么关系？预设：预设：80%学生可以说出1 与4，1 与2，3 的等量关系，但是不等关系可能猜想不到，一方面可以看看预习的效果，一方面可以在上课的时候适当的引导。2.问题问题：你能推理证明你的猜想吗？1+4=1801=2+3 预设：学生可能通过预设：学生可能通过“同角的补角相等同角的补角相等”得到证明，如若有作得到证明，如若有作辅助线的方法要及时给与鼓励辅助线的方法要及时给与鼓励 12,133.及时小结：及时小结：外角与相邻的内角的关系 外角与不相邻的两个内角的数量关系 外角与任何一个不相邻的内角的数量关系针对性练习针对性练习 2：1.如图:ABC 中，D 是 BC 延长线上一点(1)则 ， DBCA(2)若A=35, DCA=80，则 ACB= B= 2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定【学生活动学生活动】会描述自己的猜想并进行口述的推理证明，CD 层能叙述推论的内容，并能完成针对练习 1，AB 层同学在此基础上能正确叙述出两个推论的证明思路。【设计意图设计意图】推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。活动活动 4 4：推论的概念问题问题：刚刚我们证明出的结论是通过三角形内角和定理直接推导出的两个新定理，那么它又叫什么呢？活动活动 5 5：三角形外角有关定理的应用1、例题解析：已知：如图，在ABC 中,AD 平分外角EAC,B=C. 求证：ADBC.问题问题证明两条线段平行的一般方法有哪些？问题问题认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？问题问题请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换一种方法试试。【设计意图设计意图】能在读懂例题思路的基础上进行方法的修改，培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写，ABC 层同学能进行方法的修改，D 层同学能看懂例题。2.2.小组互相讨论，说一说其推理过程，看看哪组最快，方法最多？（奖励小组 3 积分）已知：如图 P 是ABC 内一点，连接 PB、PC。求证：BPC A预设：会有三种方法延长预设：会有三种方法延长 BP 交交 AC 一点，延长一点，延长 CP 交交 AB 于一点，前两种于一点，前两种 BC 层同学层同学能描述，连接能描述，连接 AP 延长延长 AP 交交 BC 于一点，于一点，A 层同学能描述。层同学能描述。3.根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间等量关系的结论吗？并说明理由。预设：从刚刚的不等关系到找到相应的数量关系，学生可能会无从下手，通过小组讨论预设：从刚刚的不等关系到找到相应的数量关系，学生可能会无从下手，通过小组讨论或者给出或者给出BPCBPC 与与ABPABP、 AA、ACPACP 确定三角关系确定三角关系 【设计意图设计意图】学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第 2 小题中，要引导学生找到一个过渡角ACB，由1ACB，ACB2，再由不等关系的传递性得出12。让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习,（三）（三） 课堂小结，分享收获课堂小结，分享收获 请以同桌为单位总结本节课你获得了哪些收获？还有哪些疑问？可以围绕知识点，或者易错点或者数学思想方法等角度展开。【设计意图设计意图】通过学生对一节课的学习进行梳理，有利于学生理清框架，在知识，技能，数学思想方面获得提升，同时有利于培养学生的表达能力。（四）（四） 巩固练习，深化理解巩固练习，深化理解活动活动 6：独立完成，教师给出答案，小组交流释疑。1.求下列各图中1 的度数。（目标（目标 3） 2.已知等腰三角形的一个外角为 150,则它的底角为_.（目标（目标1、3）（涉及分类讨论）补救：提醒一个外角指的是顶角的外角还是底角的外角。（涉及分类讨论）补救：提醒一个外角指的是顶角的外角还是底角的外角。3.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_. （目标（目标 3） 4.已知：在ABC 中, 1 是它的一个外角, E 为边 AC 上一点,延长BC 到 D,连接 DE.求证: 12.（目标（目标 2、3）【设计意图设计意图】依据学习目标设置必要的练习，让学生通过练习，用所学知识去解决问题，提升运用能力，再一次巩固深化对概念的理解和把握。七七 作业设计作业设计1、AB 层 p183 的 T22、CD 层 p183 的 T3/4【设计意图设计意图】学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解，通过运用所学知识解决习题，进一步强化对定理的理解，同时规范自己的证明步骤。八八 板书设计板书设计7.57.5 三角形内角和定理（三角形内角和定理（2 2）-关注三角形外角1、三角形外角如图所示1 是ABC 的外角2.三角形的外角与各个内角的关系1+4=1801=2+3 12,13如何证明？3.3.推论推论4.4.三角形内角和定理的推论应用三角形内角和定理的推论应用（1 1）例题例题（2 2）九九 教学反思教学反思本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。