1、立体几何基础题题库立体几何基础题题库（有详细答案）（有详细答案）1、二面角l是直二面角，BA，设直线AB与、所成的角分别为1 和2，则（A）1+2=900（B）1+2900（C）1+2900（D）1+2900解析：解析：C ?2 ?1?B?A 如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和2分别为直线 AB 与平面, 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO 1902190ABO 2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PPPPQQQQRRRRSSSSPPP
2、PQQQQRRRRSSSSPPPPQQQQRRRRSSSSPPPPQQQQRRRRSSSS（A）（B）（C）（D）D解析：解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形B 项： 如图?S?R?Q?P?C?D?C?D?B?B?A?AC 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。3. 有三个平面，下列命题中正确的是（A）若，两两相交，则有三条交线（B）若，则（C）若，=a，=b，则 ab（D）若，=，则=D解析：解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C 项：如图4. 如图所示，在正方体 ABCDA1
3、B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为ABPA1B1OABPA1B1ABPA1B1OABPA1B1OABCDPA1B1C1D1C解析：解析：11BC 平面 AB111,BCPB，如图：?P?C?D?C?D?B?B?A?AP 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中与 AD1成 600角的面对角线的条数是（A）4 条（B）6 条（C）8 条（D）10 条C解析：解析：如图?D?C?C?D?B?B?A?A这样的直线有
4、 4 条，另外，这样的?D?C?C?D?B?B?A?A直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足0 ACAB，0 ADAC，0 ADAB，则BCD 是（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定C解析解析： 假设 AB 为 a， AD 为 b， AC 为 c， 且abc则， BD=22ab， CD=22cb， BC=22ac如图?c?b?a?D?C?B?A则 BD 为最长边，根据余弦定理2222222222222cos02accbabDCBaccbDCB最大角为锐角。所以BCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线，、是两个不同
5、的平面，则下列四个命题（）若/,baba则若aa则,/,aa则则若,baba其中正确的命题的个数是（）A0 个B1 个C2 个D3 个B解析：解析：注意中 b 可能在上；中 a 可能在上；中 b/，或b均有，故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC所成角的大小为（）A90B60C45D30B解析：解析：平移 SC 到BS，运用余弦定理可算得. 2BSESBE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q; M内不共线的三点到 N 的距离相等; l,
6、M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l /M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是（）A1B2C3只有、能判定 M/N，选 B10. 已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，A1BCB1，则 A1B 与 AC1所成的角为（A）450（B）600（C）900（D）1200C 解析解析：作 CDAB 于 D，作 C1D1A1B1于 D1，连 B1D、AD1，易知 ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得 A1BAC1，选 C。11.11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为ABCA1B1C1A.3B.
7、23C.25D.3解析：解析：正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。 （可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l、m 都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m 中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析解析：当甲成立，即“相交直线l、m 都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m 中至少有一条与平面相交” ，则“平面与平面相交 ”成立；若“平面与平面相交” ，则“l、m 中至少有一条与平面相交”也成立选（C） 13. 已知直线 m、n
8、 及平面，其中 mn，那么在平面内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是： （1）一条直线； （2）一个平面； （3）一个点； （4）空集其中正确的是解析解析： （1）成立，如 m、n 都在平面内，则其对称轴符合条件； （2）成立，m、n 在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求， （4）成立，当 m、n 所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A3B1 或 2C1 或 3D2 或 3解析：解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若ba、为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系
9、是（）A相交B异面C平行D 异面或相交解析：解析：D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为（）A6B4C3D2解析：解析：DB1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（）解析：解析：CA，B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图：?S?R?Q?P?C?D?C?D?B?B?A?A18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC 等于（
10、）A45B60C90D120解析：解析：B 如图?C?B?A右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：AB 与 CD 所在直线垂直；CD 与 EF 所在直线平行AB 与 MN 所在直线成 60角；MN 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是（）ABCD解析：解析：D?N?M?F?E?D?C?B?A19线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则ABC是（）A等边三角形B 非等边的等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：解析：B 设AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22
11、+32-6=7。 ABC是不等边的等腰三角形，选（B） 2020若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是3，l与a、l与b所成的角都是，则的取值范围是（）A65,6B2,3C65,3D2,6解析：解析：D解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值6，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值2，故选（D） 21.21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度（太阳光
12、线可看作为平行光线） _.42 米解析：解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高，1.21,0.9CDCECECE=1.08米，树影长BE=2.7 1.083.78米，树高AB=10.9BE=4.2米。22如图,正四面体ABCD（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中,E F分别是棱,AD BC的中点, 则EF和AC所成的角的大小是_.解析：解析：设各棱长为 2，则 EF=2，取 AB 的中点为 M，2cos.2MFE即.423OX，OY，OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直线，点 P 到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则 OP 长为_.解析解析：在长方体
13、 OXAYZBPC 中，OX、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得OX2+OY2+OZ2=37，OP=3724设直线a上有 6 个点，直线b上有 9 个点，则这 15 个点，能确定_个不同的平面.解析：解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面； 当直线 a，b 异面时，直线 a 与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面， 直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面， 所以一点可以确定 15 个不同的平面25. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC
14、 的中点求证：EF 和 AD 为异面直线.解析解析：假设 EF 和 AD 在同一平面内，（2 分） ，则 A，B，E，F；（4 分）又 A，EAB，AB，B，（6 分）同理 C（8 分）故 A，B，C，D，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线ABCDEFABEDC26. 在空间四边形 ABCD 中， E， H 分别是 AB， AD 的中点， F， G 分别是 CB， CD 的中点， 若 AC + BD= a ，ACBD =b，求22EGFH.解析：解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）22EGFH=222()EFFG=22211()(2 )22ACBDab27
15、. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一点，PBAB，M 是 PA 的中点，ABMC，求异面直 MC 与 PB 间的距离.解析解析： 作 MN/AB 交 PB 于点 N（2 分） PBAB， PBMN。（4 分）又ABMC，MNMC （8 分）MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段，（10 分）其长度就是 MC 与 PB 之间的距离， 则得MN=12AB=221.2ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,A1A=AB， E、F 分别是 BD1和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直
16、线 AD 和 BD1的公垂线.（1）解析：解析：在平行四边形11BADC中，E 也是1AC的中点，1/EFC D， （2 分）两相交直线 D1C 与 CD1所成的角即异面直线 CD1与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面1111,ABB A CDDC都是正方形，D1CCD1异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D1F=,422BFADaEFBD1.（9 分）ABCDEHFGPABCMNFEA1D1C1CB1BAD由平行四边形11BADC，知 E 也是1AC的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1的对称中心， （12
17、分）EA=ED，EFAD，又 EFBD1，EF 是异面直线 BD1与AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点P， PB=PC=72， PA=32， 延长BP至D， 使BD=7E 是BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：解析：分别连接 PE 和 CD，可证 PE/CD， （2 分）则PEA即是 AE 和 CD 所成角 （4 分）在 RtPBE 中，PB=72，BE=1，PE=32。在AEP 中，AE=3，cosAEP393443232=12AEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60 （7 分）AEB
18、C，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段， （12 分）它们之间的距离为 1 （14 分）30. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N 分别是正方体的棱1,A AAB，BC，1,CC11,C D11D A的中点，试证：E，F，G，H，M，N 六点共面解析解析：EN/MF，EN 与 MF 共面， （2 分）又EF/MH，EF 和 MH 共面 （4 分）不共线的三点 E，F，M 确定一个平面， （6 分）平面与重合，点 H。 （8 分）同理点 G （10分）故 E，F，G，H，M，N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份
19、时，它们的交线有（）A1 条B2 条C3 条D1 条或 2 条FEA1D1C1CB1BADACBDPED解析：解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选 D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A4 个B5 个C6 个D8 个解析：解析：C 如四棱锥的四个侧面，246C 个。33.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交于点 M，则（）AM 一定在直线 AC 上BM 一定在直线 BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在 BD 上DM 不在 AC
20、上，也不在 BD 上解析：解析：平面 ABC平面 ACD=AC，先证 M平面 ABC，M平面 ACD，从而 MACA34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是.解析：解析：6 条35. 已知：./,aPQbPAbaba)12.(:分求证PQ本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：解析：PQa,PQ 与 a 确定一个平面.,Pa点直线pbbp,PQa重合与又36. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。 （12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A
21、、B、C 有一个平面又ABPAB且,.,lplP则设内内又在既在点.,:三点共线同理可证RQPlRlQ37. 已知：平面,/,accAabba且平面求证：b、c 是异面直线解析：解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交.,)2(/,/./) 1 (是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若cbAbbABAAbaBBcbAbabacacb38. 在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF=3，求 AD 与 BC 所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：解析：取 BD 中点 M，连结 EM、MF，则60,1
22、202123112cos, 3, 121/, 121,/222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BCADEMFMFEMEFMFEMEMFEFMEFBCMFBCMFADEMADEM39. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别为棱 AA1和 BB1的中点，求异面直线 CM与 D1N 所成角的正弦值.(14 分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：解析：取 DD1中点 G，连结 BG，MG，MB，GC 得矩形 MBCG，记 MCBG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.954sin91cos)()23(2222BOCBOC
23、aBCaaACMAMC设正方体的棱长为而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为95440. 如图， P 是正角形 ABC 所在平面外一点， M、 N 分别是 AB 和 PC 的中点， 且 PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN 是 AB 和 PC 的公垂线（2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析解析： （1）连结 AN，BN，APC 与BPC 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AN=BN又M 是 AB 的中点，MNAB同理可证 MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形 ANB 中，aABANMNaABaBNAN22)21(
24、,2322即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为a22.4141 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面A可能有 3 个，也可能有 2 个B可能有 4 个，也可能有 3 个C可能有 3 个，也可能有 1 个D D可能有可能有 4 4 个，也可能有个，也可能有 1 1 个个解析：解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有 4 个。.42.42. 下列命题中正确的个数是三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形矩形一定是平面图形A1 个B B2 2 个个C3 个D4
25、个解析：解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1 个。解析：解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44.44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与
26、已知直线_，则它们在同一平面内。答案：答案：相交或平行解析：解析：根据推论 2，推论 3 确定平面的条件。45.45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3 个。解析：解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46.46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：答案：1 个或 3 个解析：解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不
27、共面，每两条确定一个，可确定 3 个。47.47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a，b，ab=A(2)=a，b，ba解析：解析：如图 1-8-甲，1-8-乙48.经过平面外两点 A，B 和平面垂直的平面有几个？解析：解析：一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面时，只有一个。当 A，B 垂直于平面时，有无数多个。49.49. 设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若 AB122，CD42，且四边形 EFGH 的面积为 123，求 AB 和 CD 所成的角.解析：解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG 就是异面直线 AB 和
28、 CD 所成的角.EFGH 是平行四边形，HG21AB62，HE21，CD23，SEFGHHGHEsinEHG126sinEHG, 126sinEHG123.sinEHG22,故EHG45.AB 和 CD 所成的角为 45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50.50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且 EF=22AD，求异面直线 AD 和 BC 所成的角。 （如图）HGFEDCBAABCGFED解析：解析：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG。因 D、F 分别是 AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG=21BC，FGA
29、D，且 FG=21AD， 由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、 BC 所成角，即EGF为所求。由 BC=AD 知 EG=GF=21AD，又 EF=AD，由余弦定理可得 cosEGF=0，即EGF=90。注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。51. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。求：AM 与 CN 所成的角的余弦值；解析：解析：(1)
30、连接 DM,过 N 作 NEAM 交 DM 于 E，则CNE为 AM 与 CN 所成的角。N 为 AD 的中点, NEAM 省NE=21AM 且 E 为 MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=2123=43且ME=21MD=43在 RtMEC 中，CE2=ME2+CM2=163+41=167cosCNE=3243432167)43()43(222222NECNCENECN,又CNE (0,2)异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为32.注：1、本题的平移点是 N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN 外计算 CE、CN、EN 长，再回到CEN 中求角。2、作出的角可能是
31、异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角） 。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52.52. . .如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知 AB=4，CD=20，EF=7，31ECBEFDAF。求异面直线 AB 与 CD 所成的角。解析：解析：在 BD 上取一点 G，使得31GDBG，连结 EG、FG在BCD 中，GDBGECBE，故 EG/CD，并且41BCBECDEG，所以，EG=5；类似地，可证 FG/A
32、B，且43ADDFABFG，故 FG=3，在EFG 中，利用余弦定理可得cosFGE=215327532222222GFEGEFGFEG，故FGE=120。另一方面，由前所得 EG/CD，FG/AB，所以 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角，于是 AB 与 CD 所成的角等于 60。53.53. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且 ab求 AC1与 BD 所成的角的余弦解一解一：连 AC，设 ACBD=0，则 O 为 AC 中点，取 C1C 的中点 F，连 OF，则 OFAC1 且 OF=21AC1，所以FOB 即为 AC1 与 DB
33、 所成的角。在FOB 中，OB=2221ba ，OF=22221cba，BE=224121cb ，由余弦定理得cosABCDEFGED1C1B1A1ABDCOD1A1B1C1O1ABDCGFOOB=222222222222412)41()(41)(41cbabacbcbaba=)2222222)(cbababa解二解二：取 AC1中点 O1，B1B 中点 G在C1O1G 中，C1O1G 即 AC1 与 DB 所成的角。解三解三： 延长 CD 到 E， 使 ED=DC 则 ABDE 为平行四边形 AEBD， 所以EAC1即为 AC1与 BD 所成的角 连EC1，在AEC1中，AE=22ba ，A
34、C1=222cba，C1E=224ca 由余弦定理，得cosEAC1=2222222222222)4()()(cbabacacbaba=)2222222)(cbabaab0所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与 BD 所成的角的余弦为)(2222222cbababa54. 已知 AO 是平面的斜线，A 是斜足，OB 垂直，B 为垂足，则直线 AB 是斜线在平面内的射影，设 AC 是内的任一条直线，解析：解析：设 AO 与 AB 所成角为1，AB 与 AC 所成角为2，AO与AC所成角为，则有21coscoscos。在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=ACB=90，29, 3,
35、 2SBBCAC，求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 （略去了该题的1,2 问）由 SA平面 ABC 知，AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影，设异面直线 SC 与 AB 所成角为，则BACSCAcoscoscos，由29, 3, 2SBBCAC得2, 32,17SCSAABACBOCAACSB21cosSCA，172cosBAC，1717cos，即异面直线 SC 与 AB 所成角为1717arccos。55. 已知平行六面体1111DCBAABCD 的底面 ABCD 是菱形，且6011BCDCDCCBC，证明BDCC1。（略去了该题的 2，3 问）解析解析：设1C在平面 ABCD
36、 内射影为 H， 则 CH 为CC1在平面 ABCD内的射影，DCHCHCCDCcoscoscos11，BCHCHCCBCcoscoscos11，由题意CBCCDC11，BCHDCHcoscos。又 ), 0,BCHDCHBCHDCH，从而 CH 为DCB的平分线，又四边形 ABCD 是菱形，BDCHCC1与 BD 所成角为90，即BDCC156. 在正四面体 ABCD 中，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求异面直线 AE 与 CF 所成角的大小。解析：解析： 连接 BF、EF，易证 AD平面 BFC， EF 为 AE 在平面 BFC 内的射影，设 AE 与 CF 所成角为，CFEAEFc
37、oscoscos，设正四面体的棱长为a，则aBFCFAE23，BAHCDD1B1A1C1BCADEF显然 EFBC，aEF22，36cosAEEFAEF，36cosCFEFAFE，32cos，即 AE与 CF 所成角为32arccos。57. 三棱柱111BAOOAB ，平面11OOBB平面 OAB，90,601AOBOBO，且3, 21OAOOOB，求异面直线BA1与1AO所成角的大小，（略去了该题的 1 问）解析：解析： 在平面1BO内作1OOBC于 C ，连CA1，由平面11BBOO平面 AOB，90AOB知，AO平面11BBOO，BCAO，又OOOAO1， BC平面11AAOO，CA1
38、为BA1在平面11AAOO内的射影。设BA1与1AO所成角为，CA1与1AO所成角为2，则21coscoscosCBA，由题意易求得7, 2, 311BACABC，72cos111BACACBA，在矩形11AAOO中易求得CA1与1AO所成角2的余弦值：147cos2，71coscoscos21CBA，即BA1与1AO所成角为71arccos。BOO1CAB1A158. 已知异面直线a与b所成的角为50，P 为空间一定点，则过点 P 且与a，b所成的角均是30的直线有且只有（）A、1 条B、2 条C、3 条D、4 条解析解析： 过空间一点 P 作aa，bb，则由异面直线所成角的定义知：a与b的
39、交角为50，过 P与a，b成等角的直线与a，b亦成等角，设a，b确定平面，a，b交角的平分线为l，则过l且与垂直的平面（设为）内的任一直线l与a，b成等角（证明从略） ，由上述结论知：l与a，b所成角大于或等于l与a，b所成角25，这样在内l的两侧与a，b成30角的直线各有一条，共两条。在a，b相交的另一个角130内，同样可以作过130角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与a，b所成角大于或等于65，所以内没有符合要求的直线，因此过 P 与a，b成30的直线有且只有 2 条，故选（B）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能以上都有
40、可能解析：解析：D60. l1、l2是两条异面直线，直线 m1、m2与 l1、l2都相交，则 m1、m2的位置关系是（）A.异面或平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：解析：D61. 在正方体 ABCD-ABCD中,与棱 AA异面的直线共有几条（）A.4B.6C.8D.10解析：解析：A62.在正方体 ABCD-ABCD中 12 条棱中能组成异面直线的总对数是（）A.48 对B.24 对C.12 对D.6 对解析：解析：BCDCBAABD棱 AA有 4 条与之异面,所以,所有棱能组成 412=48 对,但每一对都重复计算一次,共有 24 对.63. 正方体 ABCD-ABCD中,异面直线 C
41、D和 BC所成的角的度数是（）A.45B.60C.90D.120解析：解析：BCCDDBAABADC=60即为异面直线 CD和 BC所成的角的度数为 6064.异面直线 a、b，ab，c 与 a 成 30角，则 c 与 b 成角的范围是（）A. B. C. D. 解 Abc1c2直线 c 在位置 c2 时,它与 b 成角的最大值为 90,直线 c 在 c1 位置时,它与b 成角的最小值是 6065.如图，空间四边形 ABCD 的各边及对角线长都是 1，点 M 在边 AB 上运动、点 Q 在边 CD 上运动，则 P、Q 的最短距离为（）A?.12?B.22?C.34?D.32解析：解析：B当 M
42、,N 分别为中点时。因为 AB, CD 为异面直线，所以 M, N 的最短距离就是异面直线 AB,CD 的距离为最短。连接 BN,AN 则CDBN,CDAN 且 AN=BN,所以 NMAB。同理，连接 CM,MD 可得 MNCD。所以 MN 为 AB,CD的公垂线。 因为 AN=BN32所以在 RTBMN 中， MNBN2-BM2=34-14=22求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66.空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点，EF3，则
43、 AD,BC 所成的角为（）A.30B.60C.90D.120MFEBDCA解 Bcos 2+12-3 22 注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67.直线 a 是平面的斜线，b 在平内，已知 a 与 b 成 60的角，且 b 与 a 在平内的射影成 45角时，a 与所成的角是（）A.45B.60C.90D.135解 AAa，A在 68. m 和 n 是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，与交于 l，m 和 n 与 l 既不垂直，也不平行，那
44、么 m 和 n 的位置关系是A.可能垂直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可能平行解析：解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。设 m/n,由于 m 在外，n 在内，m/而过 m 与交于 lm/l，这与已知矛盾，m 不平行 n. baOCBA设 mn，在内作直线l,a,ma.又由于 n 和 a 共面且相交（若 a/n 则 nl，与已知矛盾）m,ml 与已知矛盾，m 和 n 不能垂直.综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A1B1C
45、1D1是正方体，E、F 分别是 AD、DD1的中点，则面 EFC1B 和面 BCC1所成二面角的正切值等于解析：解析：为了作出二面角 E-BC1-C 的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤） 。从图形特点看，应当过 E（或 F）作面 BCC1的垂线.解析：解析：过 E 作 EHBC，垂足为 H. 过 H 作 HGBC1，垂足为 G.连 EG.面 ABCD面 BCC1，而 EHBCEH面 BEC1，EG 是面 BCC1的斜线，HG 是斜线 EG 在面 BCC1内的射影.HGBC1，EGBC1，EGH 是二面角 E-BC1-C 的平面角。在
46、 RtBCC1中：sinC1BC=在 RtBHG 中：sinC1BC=HG=（设底面边长为 1）.而 EH=1，在 RtEHG 中：tgEGH=EGH=arctg故二面角 E-BC1-C 等于 arctg.70. 将边长为 1 的正方形 ABCD，沿对角线 AC 折起，使 BD=.则三棱锥 D-ABC 的体积为解析：解析：设 AC、BD 交于 O 点，则 BOAC且 DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD 是二面角 B-AC-D 的平面角.由于DOB 中三边长已知，所以可求出BOD：这是问题的一方面， 另一方面为了求体积， 应求出高， 这个高实际上是DOB 中， OB 边上的高 DE
47、，理由是：DEOBDE面 ABC.由 cosDOB=，知 sinDOE=DE=应选（B）71. 球面上有三个点 A、B、C. A 和 B，A 和 C 间的球面距离等于大圆周长的. B 和 C 间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是 R，那么球心到截面 ABC 的距离等于解析：解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.如图所示，圆 O 是球的大圆，且大圆所在平面与面 ABC 垂直，其中弦 EF 是过 A、B、C 的小圆的直径，弦心距 OD 就是球心 O 到截面 ABC 的距离，OE 是球的半径，因此，欲求 OD，需先求出截面圆 ABC 的半径.下一个图是过 A、 B、 C 的小圆.AB、
48、AC、 CB 是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、 COB 中求得 （O 是球心） .由于 A、 B 间球面距离是大圆周长的， 所以AOB=2=，同理AOC=，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=.在ABC 中，由于 AB2+AC2=BC2.BAC=90,BC 是小圆 ABC 的直径.|ED|=从而|OD|=.故应选 B.72. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，该图中，互相垂直的面有A.4 对B.5 对C.6 对D.7 对答案（D）解析：解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD 是各条棱长
49、都相等的三棱锥.M 是ABC 的垂心，那么 AB 和 DM 所成的角等于_解析：解析：90连 CM 交 AB 于 N，连 DN，易知 N 是 AB 中点，ABCN，ABDN.74. 已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证 MN面 PCD.(12 分)解析：解析：,:.(/,/,21,/.21,/,) 1 (或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AECDADPAEADPCDADCDPACDABCDCDABCDPAAEMNAMNENEAMCDAMCDAMCDNECDNENEPCNEP
50、D.,/,45)2(PCDMNDCDPDPDMNAEMNPDAEPADRtPDA平面又则为等腰直角三角形时当75. 设 P、Q 是单位正方体 AC1的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1的中心。如图： （1）证明：PQ平面 AA1B1B；（2）求线段 PQ 的长。 （12 分）.2221:22:)2(/,21,/,:/,/21,/,21,/,:) 1 (12121111111111111111111111111111aABPQaNAMAMNPQBBAAPQBBAAABBBAAPQABPQABPQBDADQPDABABADBBAAPQBBAAPQBBAAMNMNPQPQNMNDMPNDMPDA
