1、118.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系教学目标教学目标知识与能力：知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。过程与方法：过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观：情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重、难点教学重、难点重点：重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。难点：难
2、点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。学情分析：学情分析：九年级学生分层较大，但部分同学已具有一定的数学逻辑和良好的学习习惯。一、创设情景，引入新课一、创设情景，引入新课师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“”的值来判断一元二次方程的根的情况。当“0”时，方程有两个不相等的实数根；当“=0”时，方程有两个相等的实数根；当“0”时，方程没有实数根。师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。师：那么这节课我们一起来探究这
3、个秘密。一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格 1.方程x1x2x1+x2x1x2x27x+12=0 x2+3x4=03x24x+1=02表格 1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。生：师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？生：x1+x2= p，x1x2= q师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？生：不一定。师：为什么不一定呢？生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是 1，如果二次项系数不为 1时，可能就不存在这样的关系了。师：同学们观察的非常的仔细
4、。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格 2。表格 2师：观察表格 2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？生：学生认真思考，并回答。（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）师：若一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？生：能。x1+x2ab，x1x2ac。师：我们的猜想是否正确呢？生：思考回答。师：请同学们认真阅读课本 34 页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。设一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0)的两个根为x1、x
5、2，aacbbx2421，aacbbx2422.042 acb方程x1x2x1+x2x1x29x26x+1=03x24x+1=03x2+7x+2=02x2+x+1=03（学生 1 上黑板演示）（学生 2 上黑板演示）韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0，0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2ab，x1x2ac。（一元二次方程根与系数的关系， 是由十六世纪法国数学家韦达发现的， 为了纪念韦达对数学界所作出的贡献， 因此以他的名字来命名。 其实， 很多真理都是从我们日常生活中发现的。例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理， 从而发现了万有引力； 德国天文学家魏格纳，
6、躺在病床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说”等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、 多动脑、 多思考， 也许明天你也会成为伟人， 被载入史册，流芳百世。）好了，我们言归正传。我们学习了韦达定理，那么它在我们生活中有哪些应用呢？在你们的问题卡片上有几个例题，我们一起来看一下。三、应用新知三、应用新知例 1：已知关于x的一元二次方程x2+mx 6=0的一个根是2，求方程的另一个根和 k 的值。解： 方法一(利用根与系数的关系)：方程 x2mx60 的一个根为 2，设另一个根为 x1，2x16，解得 x13，方程的另一个根是3.方法二(代入法)：把 x2 代入原方程，得 222m
7、60，解得 m1.把 m1 代入原方程，得 x2x60，解得 x12，x23.例 2： 已知x1,x2是方程x2 4x +1=0 的两个根， 求 x1+x2， x1x2， x12+x22及(x1x2)2的值。注：另几种常见的求值：41221.2xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx2121xxxx2111.1xx四、巩固新知，提高认知四、巩固新知，提高认知第一环节：当堂测评1已知 x1，x2 是一元二次方程 x22x0 的两根，则 x1x2 的值是()A. 0B. 2C2D. 42已知 x1，x2 是一元二次方程 x24x10 的两个实数根，则 x1x2 等于()A4B1
8、C1D43已知已知 x4 是一元二次方程是一元二次方程 x23xc0 的一个根，则另一个根为的一个根，则另一个根为_第二环节：分层作业第二环节：分层作业A 组：基础达标组：基础达标2、方程、方程 2x2-3x+1=0 的两根记作的两根记作 x1,x2，不解方程，不解方程，x1+x2，x1x2，x12+x22及(x1x2)2的值。B 组：能力提升组：能力提升3、方程 x2(m6)xm20 有两个相等的实数根，且满足 x1x2x1x2，则 m 的值是()A2 或 3B3C2D3 或 2【解析】 x1x2m6，x1x2m2，x1x2x1x2，)1)(1.(321xx1)(2121xxxx5m6m2，
9、解得 m3 或 m2.方程 x2(m6)xm20 有两个相等的实数根，b24ac(m6)24m23m212m360.解得 m6 或 m2，m2.4、设 a，b 是方程 x2x2 0160 的两个实数根，则 a22ab 的值为()A2 013B2 014C2 015D2 016【解析】 a 是方程 x2x2 0160 的根，a2a2 0160，a2a2 016.又由根与系数的关系，得 ab1，a22aba2a(ab)2 01612 015，故选 C 项C 组：拓展提升组：拓展提升1、已知方程的两个实数根是 x1,x2，且，求 k的值.解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2又
10、x12+ x22= 4 ， 即(x1+ x2)2-2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4，即 K2-2k-8=0解得 k=4 或 k=2 = K2-4k-8当 k=4 时，=-80 k=4(舍去）当 k=-2 时，=40 k=-22、 方程有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围。五、课堂小结五、课堂小结1、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0，0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2ab，x1x2ac。（要特别强调a 和的取值范围）。2、韦达定理的应用：（1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。（2）求关于两根的代数式的值。六、课堂反思六、课堂反思第一， 使得每一位
11、学生都能参与探究，学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与，事实上，研究事物往往从简单到复杂，当 a=1 时，容易发现根与系数的关系，当 a1 时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想，培养学生勇于探究、积极思维的精神；第二，给予学生一个适度的梯度探究空间， 在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究一般猜证深化理解”的教学设计，由“实验猜想再实验再猜想” 的探究过程， 使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，022kkxx42221 xx)0(0122mmmxmx6由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会。总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想，以此为载体，充分发挥其素质教育的功能，培养起学生的发散性思维和探究能力。
