1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用1向量的概念与向量的模向量的概念与向量的模（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力） ，只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄） 在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量可以平移，与位置无关。（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如?、t?，字母表示，用小写字母?、?，表示有向线段的长度为模，表示为 AB?、 ?（3）向量的模：?的
2、大小，也就是?的长度（或称模） ，记作 AB?（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作?，零向量的长度为 0，方向是任意的（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与?共线的单位向量是 ?AB?） （6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性（7）平行向量（共线平行向量（共线向量向量） ：方向相同或相反的非零向量如果?，?，?是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合） ，则 ?。任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行平行向量没有传递性
3、平行向量没有传递性。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。（8）相反向量：与?长度相等方向相反的向量叫做?的相反向量，记作 - ?2向量的加法向量的加法运算运算（1）三角形法则：? t? ?t?特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。（2）平行四边形法则：ABCD 为平行四边形，则? ? ?t?特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变）（3）向量的加法性质? ? ? ? ?；?（? ?）? ?；? ? ? ?；（? ?）? ? ?（? ?） ? ? ? ?4向量的减向量的减法运算法运算法则： ? ? ?特征
4、；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量.(一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量)5向量数乘和线性运算向量数乘和线性运算（1）向量的数乘：实数与向量?的积是一个向量，记作?，它的大小为 ?，其方向与的正负有关若?0，当0 时，?的方向与?的方向相同，当0 时，?的方向与?的方向相反当0 时，?与?平行对于非零向量 a、b，当0 时，有?.（2）向量数乘运算法则 1? ?； （1）? ? ?；（）?（?）?（?） ；（+）?；（? ?）?向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意 ? ? ?。一般地，?叫做?，?的一
5、个线性组合（其中，、均为系数） 如果 ?，则称?可以用?，?线性表示（3）向量向量?(? ?)与向量与向量?共线的充要条件是：存在唯一一个实数共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使使? ?.（4）A、B、C 三点共线三点共线 ? ? ?.6平面向量数量积平面向量数量积（1）向量的夹角：对于两个非零向量?，?如果以 O 为起点，作? ?，? ?，那么射线 OA，OB 的夹角叫做向量?与向量?的夹角，其中 0（2）向量的数量积：如果两个非零向量?，?的夹角为，那么我们把 ?os 叫做?与?的数量积，记做?即：? ? ?cos 规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即：?0注意：?b?表示数量而不
6、表示向量，符号由 cos决定；符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（3）平面向量数量积的重要性质：设?，?都是非零向量，?是与?方向相同的单位向量，?与?和夹角为，则： ? ? ?cos； ? ? ?0； （判定两向量垂直的充要条件）（判定两向量垂直的充要条件） 当?，?方向相同时，? ?；当?，?方向相反时，? ?；特别地：? ?或 ?（用于计算向量的模）cos ?（ 为锐角为锐角 ? ?0 且且? ?； 为钝角为钝角 ? 0 且且? ?）? ?（4）平面向量数量积的运算律交换律：? ?；数乘向量的结合律： （?）?（?
7、）? ?（?） ；分配律： （? ?）? ?+?（5）平面向量数量积的运算性质（? ?）2? ? 2? ?（? ?）（? ?）? ?（?）（?）?，（6）投影：?在?上的投影是一个数量 ?cos ，它可以为正，可以为负，也可以为 0（7）投影向量：投影向量：?在在?上的投影上的投影向量等于向量等于?cos ?（其中其中?为与为与?同向的单位向量）同向的单位向量）7平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果?、?是同一平面内两个不共线向量是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一那么对这一平面内任一向量向量?，有且仅有一对实数有且仅有一对实数 1、 2，使使? ?我们把我们把 ?，?叫做叫做
8、表示这一表示这一平面内所有向量的一平面内所有向量的一个个基底基底8平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标表示：?（x，y）表示以原点为起点，以（x，y）为终点的向量（2）平面向量的坐标运算：若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则?=（x2x1，y2y1）若?（x，y）则? ?，? ? ?，?（x，y）若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则：? ?（x1+x2，y1+y2） ；? ?（x1x2，y1y2） ；? x1x2+y1y2。平面向量平行的坐标表示：平面向量平行的坐标表示：若若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则，则 ?（? ?） ? ?x1y2x2y
9、10平面向量平面向量垂直垂直的坐标表示：的坐标表示：若若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则，则 ? ? ?0 x1x2+ y1y20向量的夹角公式： cos?x1x?y1y?x1?y1?x?y?9向量中一些常用的结论：（1）在ABC中，若112233,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。1()3PGPAPBPC G为ABC重心，特别地0PAPBPCP 为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAP 为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABAC 所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；（2）向量?、?向?、?晦?三终点 A、B
10、、C 共线存在实数、使得? ?向? ?晦?且?1.1 10 0三角形中的重要结论三角形中的重要结论 在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。BABAbasinsin 在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。 三角形内角的正弦值一定大于三角形内角的正弦值一定大于 0 0，锐角的余弦值大于，锐角的余弦值大于 0 0，直角的余弦值等于，直角的余弦值等于 0 0，钝角的余弦值小于，
11、钝角的余弦值小于 0.0.1 11 1三角形中的诱导公式三角形中的诱导公式CBABCAACBsinsinsinsinsinsinBCACBAACBcoscoscoscoscoscosBCACBAACBtantantantantantan2sin2cos2cos2sinCBACBA1 12 2正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式定理正弦定理余弦定理内容?t?2R（ R 是ABC 外接圆半径）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC变形形式 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC； sinA?，sinB?，
12、sinC?； asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA a：b：csinA：sinB：sinC；?tcosA?，cosB?，cosC?解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和一边对角，求另一边和其他两角边角互化已知三边，求各角；已知两边和一角，求第三边和其他两角13三角形常用面积公式三角形常用面积公式S?1?absinC?1?acsinB?1?bcsinA =?=1?（a+b+c）r14三角形解的个数的判断三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知?，?，
13、A，则，则:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAab sinAbsinAabababab解的个数无解一解两解一解一解无解平面向量基础知识练习题平面向量基础知识练习题1、与?共线的单位向量是_，?的相反向量是_2、平行向量也叫_3、? t?_? ?_? ?_4、 |? ?| _ | ?| + | ?|5、向量?(? ?)与向量?共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使_6、A、B、C 三点共线 ?t? _7、?_ ?= _ ?_8、?，?方向相同 _?，?方向相反_a?，b?夹角为锐角 _ a?，b?夹角为直角 _a?，b?夹角为钝角 _9、?在?上的投影 ? _ ， ?为与?同向的单位向
14、量，?在?上的投影向量等于_10、平面向量基本定理：如果?1?、?是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量?，有且仅有一对实数1、 2， 使_ 我们把 ?1?，?叫做表示这一平面内所有向量的一个_11、平面向量的坐标运算：若 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则?=_若?（x，y）则 ? ?_ ，?_，?_若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则：? ?_；? ?_；?_平面向量平行的坐标表示：若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则 ?（? ?）_ 平面向量垂直的坐标表示：若?（x1，y1） ，?（x2，y2） ，则 ? ? _向量的夹角公式： cos?_?_12、向量PA?、PB?、PC?三终点 A、B、C 共线存在实数、使得PA? PB? PC?且_13、下列运算错误的是_(1) ? ? ? ? ?；?（? ?）? ?；(2) ? ? ? ?；(3)（? ?）? ? ?（? ?） (4)（）?（?）?（?） ；(5)（+）?；(6)（? ?）?(7)|? ?|?| |?|(8)（?） ?（? ?）? ? （?） ；(9)（? ?） ? ? ?+? ?(10)（?）2 ? ?2? ? ?(11)（? ?） （? ?）? ?(12) ? （? ?）?（? ?） ?，
