1、第第4课时课时:共线向量与向量:共线向量与向量数乘运算的关系数乘运算的关系几何意义:将a的长度扩大(或缩小)|倍, 改变(不改变)a的方向,就得到了a特别地,当=0或a=0时,a =0(2)方向当0时,a的方向与 a方向相同; 当0时,a的方向与a方向相反;(1)长度 |a|=|a|定义:一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘向量的数乘(multiplication of vector by scalar),记作a它的长度和方向规定如下:回顾旧回顾旧知知问题1 向量数乘运算具有明显的几何意义,根据向量数乘运算,你能发现向量a与a(a 0,是实数)之间的位置关系吗?对
2、于向量a,b及实数,(1)如果b=a (a 0),向量a与b是否共线?(2)如果向量b与非零向量a共线,b=a成立吗?一、一、创设情境,探讨共线向量定理创设情境,探讨共线向量定理当a与b同方向时,有b=a;当a与b反方向时,有b=-a,所以,始终有一个实数,使b=a对于向量a(a0)、b,如果有一个实数,使得b=a,那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线若向量a与b共线,a0,且向量b的长度是a的长度的倍,即有|b|=|a|,且向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a一、一、创设情境,探讨共线向量定理创设情境,探讨共线向量定理二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合
3、运用知识追问1:如图,若P为AB的中点,则 与 , 的关系如何?OP OA OB OABP12OPOAOB 例1 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 =a+b, =a+2b, =a+3b猜想A,B,C三点之间的位置关系,并证明你的猜想OABCabbbba二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识OA OB OC二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识分析分析:判断三点之间的位置关系,主要是看这三点是否共线,为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上在本题中,应用向量知识判断A,B,C三点是否共线,可以通过判断向量 , 是否共线,即是否存在,使 成立ACAB ACAB
4、 证明证明:分别作向量 , , ,过点A,C作直线AC观察发现,不论向量a,b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A,B,C三点共线事实上,因为所以 因此,A,B,C三点共线OA OB OC2()3()2ABOBOAACOCOA ,ababbababb2ACAB l几何意义:二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识a+2babab几何意义:二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识例2 已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta, 共线,求实数t的值1322ab二、二、例题引领,综合运用知识例题引领,综合运用知识解:由a
5、,b不共线,易知向量 为非零向量由向量bta, 共线,可知存在实数,使得bta=( ),即 由a,b不共线,必有 否则不妨设 ,则 由两个向量共线的充要条件知,a,b共线,与已知矛盾 由 解得1322ab13122tab131=022t102t31212tab1=0231=02t,1=3t1322ab1322ab小结三、三、课堂小结提升课堂小结提升教科书第16页的练习四、课堂练习四、课堂练习五、布置作业五、布置作业习题6.2的第8题(1)概述本单元平面向量加法、减法、向量数乘运算(向量的线性运算)是如何定义的(2)结合实例分别说明向量加法、减法和向量数乘运算的几何意义,共线向量与向量数乘运算的关系(3)说明为什么要研究平面向量加法、向量数乘运算的运算律,这些运算律的几何意义是什么(4)概述平面向量线性运算有哪些简单应用五、五、单元小结单元小结目标目标检测检测设计设计1已知e1,e2不共线,若2e1-e2与e1-te2共线,求实数t 的值2已知 =6a +3b, =2a + b,求证: A,B,C三点共线3如图, , ,且 成立,则=( ) A B C DAB BC 12AMMB 12ANNCMNACAB 12132313再再 见见