1、北京育英学校北京育英学校 2019-2020 学年高一上数学期中试卷学年高一上数学期中试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分）分）1. 已知全集1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,3,4,5,6IAB，则ICAB（）A.3,4B.1,2,3,4C.1,2,5,6D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交、补运算法则计算可得；【详解】解：因为1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,3,4,5,6IAB，所以3,4AB 所以 1,2,5,6IAB 故选：B【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.2. 命题对任意xR，都有20
2、 xx的否定为（）A. 对任意xR，都有20 xxB. 不存在0 xR，使得2000 xxC. 存在0 xR，使得2000 xxD. 存在0 xR，使得2000 xx【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断；【详解】解：因为命题对任意xR，都有20 xx，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故其否定为存在0 xR，使得2000 xx故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3. 已知集合11,2 3AaB，则“3a ”是“AB“的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试
3、题分析：当AB时，2a 或3a 所以“3a ”是“AB”的充分不必要条件故 A正确考点：1 充分必要条件；2 集合间的关系4. 函数90yxxx的最小值是（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】 解： 因为0 x ， 所以90 x， 所以9926yxxxx当且仅当9xx， 即3x 时取等号；故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.5. 函数11yx的定义域是（）A.|0,x xxRB.1, C.|1,x xxR D.R【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为 0 即可.【详解】要是函数11yx有意义
4、，则需10 x ，解得1x ，所以函数的定义域为|1,x xxR ，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.6. 若 11xf xx，则 0f（）A.1B.12C.0D.1【答案】A【解析】【分析】直接代入函数解析式计算可得;【详解】解：因为 11xf xx，所以 1 00110f故选：A【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题.7. 已知函数( )f x是R上的偶函数，当0 x 时， 1f xx，则( )0f x 的解集是（）A.1,0B.0,1C.11,D.1,1【答案】D【解析】【分析】根据函数是R上的偶函数，可知函数图象关于 y 轴对称，解出当0 x 时 0f x 的
5、解，由函数图像的对称性，可知0 x 时， 0f x 的解.【详解】当0 x 时, 1f xx，所以 10f xx 解得01x，由 f x是R上的偶函数知，函数图象关于 y 轴对称，所以当0 x 时， 0f x 的解为10 x ，综上知， 0f x 的解集为( 1,1).故选 D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.8. 已知函数 6fxxx，在下列区间中，包含 fx零点的区间是（）A.0,1B.1,2C.2,3D.3,【答案】C【解析】【分析】直接根据零点存在性定理判断可得；【详解】解：因为 6fxxx，定义域为,00,，在0,上为连续函数且为减函数， 622102f ， 6
6、33103f 所以 230ff，所以函数在2,3上存在一个零点；故选：C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.9. 下列各组函数为同一个函数的是（）A. 211,1xf xxg xxB. 4221,11xf xg xxxC. 2,f xx g xxD. 421,1f xxg xx【答案】B【解析】【分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同，判断即可【详解】对于 A： 1f xx定义域为R， 211xg xx定义域为|1x x ，定义域不相同，故不是同一函数，对于 B： 224222111111xxxfxxxx定义域为R， 21g xx定义域为R，函数的定义域相同，且函数
7、关系式一样，故是同一函数，对于 C： f xx定义域为R， 2g xxx定义域为R，两个函数的定义域相同，但是函数关系式不相同，故不是同一函数，对于 D： 41f xx定义域为0,， 21g xx定义域为R，定义域不相同，故不是同一函数，故选：B【点睛】本题考查函数的基本知识，两个函数相同的判断方法，属于基础题10. 如图，设有圆C和定点O，当t从0t开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S时间t的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的哪一种？（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先
8、慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【详解】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项 C 符合要求，故选：C【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力11. 已知函数 220f xxmx m 满足： 0,2 ,9xf x ；000,2 ,9xf x，则m的值为（）A.1或3B.3或134C.3D.134【答案】D【解析】【分析】依题意可得 fx在0,2上的最大值为9，
9、求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m的方程，解出即可【 详 解 】 解 ： 因 为 函 数 220f xxmx m 满 足 ： 0,2 ,9xf x ；000,2 ,9xf x，即函数 220f xxmx m 在0,2上的最大值为9，因为222( )2()f xxmxxmm ，对称轴是xm，开口向下，当02m时，( )f x在0，)m递增，在(m，2递减，故2( )( )9maxf xf mm，解得：3m，不合题意，2m时，( )f x在0，2递增，故 2449maxf xfm，解得：134m ，符合题意，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质
10、，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题12. 已知关于, x y的方程组：11axyxby(其中,0a b )无解，则必有（）A.2abB.2abC.2abD.2ab【答案】B【解析】【分析】由已知可得方程(1)1ab xb 无解，所以1ab ，且, a b不同时为 1，然后利用基本不等式可得答案【详解】解：由方程组得(1)1xbax，所以方程(1)1ab xb 无解.所以当1ab ，且, a b不同时为 1，其中,0a b ，2abab，即2ab.故选：B【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想，属于中档题.二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 题，共计题
11、，共计 40 分）分）13. 已知全集U R，集合20Px x x，26Mx axa（1）求集合UC P（2）若UC PM，求实数a的取值范围.【答案】 （1）|02xx； （2）2,0【解析】【分析】（1）分析可得，P是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得P，进而可得UP可得答案（2）根据UPM，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数a的取值范围【详解】解： （1）因为全集U R，集合20Px x x，所以 |2Px x或0 x 所以 | (2)0UPx x x，即集合|02UPxx（2）因为UPM，所以026 2aa解得02.aa所以2,0a 【点睛】本题考查集合间的交、并
12、、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可，属于基础题14. 已知 11xf xx（1）判断函数 fx的奇偶性，并说明理由.（2）求证：函数 fx在区间1,上单调递减.（3）判断函数 2g xf xx的零点个数.（只需写出结论）【答案】 （1）非奇非偶函数； （2）证明见解析； （3）1 个【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，即可判断；（2）按照定义法证明函数的单调性；（3）将函数的零点转化为函数 11xf xx与2yx=的交点个数，数形结合即可判断；【详解】解： （1）因为 11xf xx，所以函数的定义域为,11,，定义域不关于原点
13、对称，故函数是非奇非偶函数；（2）设12,1,x x且12xx，21121212122111111xxxxfxfxxxxx因为12,1,x x且12xx，所以110 x - ，210 x - ，210 xx所以 120f xf x所以函数 fx在区间1,上单调递减.（3）因为 2g xf xx的零点个数，即函数 11xf xx与2yx=的交点个数，在同一平面直角坐标系上画出函数图象， 由图可得， 两函数只有一个交点， 故函数 2g xf xx有 1 个零点；【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的证明，以及函数的零点问题，属于中档题.15. 已知函数 2f xx x.（1）求不等式
14、3f x 的解集（2）在平面直角坐标系中画出函数 2f xx x在区间1,3上的图象（3）设0a ，求 fx在区间0,a上的最大值.【答案】 （1）,3； （2）函数图象见解析； （3） 2max22 ,0,11,1,122 ,12,aa af xaaa a【解析】【分析】（1）依题意将函数解析式写出分段函数的形式，再分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；（2）根据函数解析式画出函数图象即可；（3）结合函数图象得到函数的单调区间，再对参数a分类讨论，求出函数的最大值；【详解】解： （1）因为 222 ,222 ,2xx xf xx xxx x当2x 时， 3f x 即2232xxx解
15、得23x当2x 时， 3f x 即2232xxx解得2x 综上可得,3x （2）函数图象如下所示：（3）由函数图象可得函数在,1和2,上单调递增，在1,2上单调递减，当01a时，函数 fx在0,a上单调递增，所以 2max2f xf aaa 当12a时， 函数 fx在0,1上单调递增， 在1,a上单调递减， 所以 max11f xf当2a 时，函数 fx在0,1和2,a上单调递增，在1,2上单调递减，所以 maxmax1 ,f xff a，因为 11f， 22f aaa，若 1f af即2212aaa解得12a ，即当12a 时， 2max2f xf aaa当212a 时， max11f xf
16、综上可得 2max22 ,0,11,1,122 ,12,aa af xaaa a【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查分类讨论思想，属于中档题.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 6 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 30 分分.）16. 已知关于x的方程2310mxxmR 的解集为 , a b，则11ab_【答案】3【解析】【分析】直接利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为关于x的方程2310mxxmR 的解集为 , a b所以a、b是方程2310mxxmR 的两个实数根，所以3abm，1abm所以31131abmababm故答案为：3【点睛】本题考查一元二次方程根与系数
17、的关系，属于基础题.17. 函数 21,04,0 xxxxfx的零点是_【答案】1，2【解析】【分析】根据函数解析式，令 0f x ，分别求出所对应的x的值，即可得解；【详解】解：因为 21,04,0 xxf xxx，令 0f x ，当0 x 时，10 x ，解得1x 当0 x ，240 x ，解得2x （舍去）或2x 故函数的零点为1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查函数的零点的计算，属于基础题.18. 函数 fx满足下列条件：函数 fx的定义域为R函数 fx的图象关于3x 对称函数 fx不是二次函数.写出一个函数 fx的解析式：_【答案】 3fxx【解析】【分析】本题是一个开放题，根据题
18、意构造函数即可；【详解】解：依题意，函数 3fxx满足下列条件：函数 fx的定义域为R函数 fx的图象关于3x 对称函数 fx不是二次函数.故答案为： 3fxx【点睛】本题属于开放题，只需找出符合题意的函数解析式即可，属于基础题.19. 设 fx是定义在R上的偶函数， 且 fx在0,上是减函数， 若 21fmf m，则实数m的取值范围是_【答案】1,13【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：( )f x是定义在R上的偶函数，且( )f x在0,上是减函数，不等式 21fmf m，等价为21fmfm，即21mm，所以2221mm，即22210m
19、m，即3110mm，解得113m即1,13m故答案为：1,13【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题20. 函数 122xxf xxN 的值域为_ （其中 x表示不大于x的最大整数）【答案】0,1【解析】【分析】由题设中的定义，可对x分区间讨论，设m表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设m表示整数当2xm时，10.52xmm， 2xmm 此时恒有0y 当21xm时，1112xmm，0.52xmm 此时恒有1y 当221mxm时，21122mxm 0.52xmm10.512xmm2xm ，12xm此时恒有
20、0y 当2122mxm 时，22123mxm 0.512xmm111.52xmm 此时2xm ，112xm此时恒有1y 综上可知，0,1y故答案为：0,1【点睛】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解 x表示数x的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想21. 给定数集A，对于任意, a bA，有abA 且abA ，则称集合A为闭集合集合 4, 2,0,2,4A 为闭集合；集合3 ,An nk kZ为闭集合；若集合1A，2A为闭集合，则12AA为闭集合；若集合1A，2A为闭集合，且1A R，
21、2A R，则存在Rc，使得12()cAA其中，全部正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据新定义的概念得出：举反例说明命题错误；可以通过理论证明命题正确；举反例说明命题错误；举例说明命题错误【详解】解：当2a 、4b 时，6abA，集合A不是闭集合，命题错误；任取a、bA，则13ak，23bk，1k、2kZ；12kkZ，123()abkkA，同理，abA ，A是闭集合，命题正确；1 |3An nk，kZ是闭集合，2 |5An nk，kZ是闭集合，且13A，25A，但1235AA ，12AA不是闭集合，命题错误；集合1AR是闭集合，2 |5An nk，kZ是闭集合，且1A R，2A R，则
22、12AAR，对于任意的Rc，则12()cAA，命题错误正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于基础题四、创新题（本大题共四、创新题（本大题共 1 小题，共计小题，共计 20 分）分）22. 设函数 ,f xg x的定义域分别为,fgDD，且fgDD.若对于任意fxD，都有 g xf x，则称 g x是 fx在gD上的一个延拓函数.给定 21 01f xxx.（1）若 h x是 fx在1,1上的延拓函数，且 h x为奇函数，求 h x的解析式.（2）设 g x为 fx在0,上的任意一个延拓函数，且
23、 g xyx是0,上的单调函数，试判断函数 g xyx在0,1上的单调性，并加以证明.（3）在（2）的条件下，设0,0at，求证： g atg ag t（4）在（2）的条件下，求证：关于x的不等式 2019g x 有解.【答案】 （1）221,01( )0,01, 10 xxh xxxx（2）函数( )g xyx是0,1上的增函数，证明见解析； （3）证明见解析； （4）证明见解析；【解析】【分析】（1）先求出(0)0h，再求出 1x ，0)时的解析式，即可得出( )h x的解析式；（2）函数( )g xyx是(0，1上的增函数，利用导数知识可求；（3）确定函数( )g xyx是(0，1上的增
24、函数，可得()()( )s g stst g s，同理可得：()() ( )t g stst g t将上述两个不等式相加，并除以st，即可得出结论（4）取(0,)t，满足( )0f t ，记( )f tm；由（3）知(2 )2 ( )2ftf tm；同理可得(2 )22019nnftm，即可得证；【详解】解： （1）当0 x 时，由( )h x为奇函数，得(0)0h任取 1x ，0)，则(0 x ，1，由( )h x为奇函数，得22( )()()11h xhxxx ，所以( )h x的解析式为221,01( )0,01, 10 xxh xxxx（2）函数( )g xyx是0,1上的增函数证明如
25、下：因为( )g x为( )f x在(0,)上的一个延拓函数，所以当0,1x时，2( )( )1g xf xx记( )( )1( )g xf xk xxxxx，则21( )10k xx ，所以函数( )g x是(0,1)上的增函数（3）由( )g xyx是(0,)上的单调函数，且(0 x，1时，( )g xyx是增函数，从而得到函数( )g xyx是(0，1上的增函数因为0s ，0t ，所以sts ，stt ，所以()( )g stg ssts，即()()( )s g stst g s同理可得：()() ( )t g stst g t将上述两个不等式相加，并除以st，即得()( )( )g stg sg t（4）取(0,)t，满足( )0f t ，记( )f tm；由（3）知(2 )2 ( )2ftf tm；同理可得：(4 )2 (2 )4ftftm，(8 )2 (4 )8ftftm；一定存在*nN，使得(2 )22019nnftm；故不等式( )2019f x 有解【点睛】本题以新定义为切入点，主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用，属于难题
