1、试卷第 1页，共 5页高三数学期末考试模拟试题五高三数学期末考试模拟试题五一、单选题一、单选题1已知(2)1,1( ),1xa xxf xax满足对任意12xx，都有 12120fxfxxx成立，那么a的取值范围是A(1，2)B3(1, 2C3 ,2)2D3( ,2)22 函数 yf x是R上的奇函数， 满足 60fxfx， 当0,3x时， 有 lnf xx，求2021f的值（）A0B1Cln2Dln43ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知1a ，coscos2 coscAaCbB，ABC 的面积3S ，则b等于（）A3B13C4D154若2x 是函数21( )(1)xf
2、 xxaxe的极值点，则( )f x的极小值为A1B32eC35eD15 在ABC 中， 已知 a2b2c2ab， 且 2cosAsinBsinC， 则该三角形的形状是 （）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形6 设函数( )fx是奇函数( )f x（xR） 的导函数，( 1)0f ， 当0 x 时，( )( )0 xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的取值范围是A(, 1)(0,1) B( 1,0)(1,)-+C(, 1)( 1,0) D(0,1)(1,)7我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得
3、256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为A108 石B169 石C237 石D338 石8 已知函数21,2( )3,2.1xxf xxx若方程( )0f xa有三个不同的实数根， 则实数a的取值范围为（）A(0,1)B(0,2)C(0,3)D(1,3)二、多选题二、多选题试卷第 2页，共 5页9某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习.现有甲、乙、丙三人，则下列结论正确的是（）A如果甲必选物理，则甲的不同选科方法种数为 10B甲在选物理的条件下选化学的概率是15C乙、丙两人至少一人选化学与这两
4、人全选化学是对立事件D乙、丙两人都选物理的概率是1410 已知函数231( )cossin222xf xx(0)xR， 若函数( )f x在区间( ,2 )内没有零点，则的取值可以是（）A512B56C1112D3211下列有关命题的说法正确的是（）A(0,)x ，使得2sin2 2sinxx成立B命题:PxR ，都有cos1x，则0:PxR，使得0cos1x C函数( )11f xxx 与函数2( )1g xx是同一个函数D若x、y、z均为正实数，且3412xyz，( ,1),()xyn nnNz，则4n12颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为outinout100%C
5、CC，其中outC表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L） ，inC表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L） 某研究小组在相同的条件下， 对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，测试结果如图所示图中点ijA的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时outC的值，纵坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时inC的值（1,2i ，1,2,3,4j ） 该研究小组得到以下结论，正确的是（）A在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高B在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高试卷
6、第 3页，共 5页C在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高D在第 3 次和第 4 次测试中第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明三、填空题三、填空题13函数31,0( )3log ,0 xxxf xx，则127ff的值为_.14校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为10 6m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若
7、国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s 的速度匀速升旗.15在各项都为正数的等比数列 na中，12a ，532a ，则数列111nnnaaa的前 n 项和为_16已知函数( )sin()0,|2f xx，4x 为 fx的零点，4x为 fx图象的对称轴，且 fx在5,18 36上单调，则的最大值为_.四、解答题四、解答题17设函数 lnfxax，已知0 x 是函数 yxf x的极值点（1）求 a；（2）设函数( )( )( )xf xg xxf x证明: 1g x 18已知函数 22(0)2fxsin xcos x cos x的图象的一条对称轴为38x（1）求的最小值；试卷第 4页，共 5页（2
8、）当取最小值时，若3245f，02，求2cos19我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行高质量地发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系， 统计了某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：周一周二周三周四周五开盘价165166171173a收盘价165165170174171（1）已知这 5 天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；（2）在（1）的条件下，从这 5 天中随机选取 3 天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为X，求X的分布列及数学期望()E
9、 X；（3）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这 6 天收盘价的方差最小.（只需写出结论）20已知数列 na的各项均为正数，对任意*nN，它的前n项和nS满足1126nnnSaa，并且2a，4a，9a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设111nnnnba a ，nT为数列 nb的前n项和，求2nT.21随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在 3 千步至 21 千步之间）
10、 将样本数据分成3,5)，5,7)，7,9)，9,11)，11,13)，13,15)，15,17)，17,19)，19,21九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布试卷第 5页，共 5页（1）求图中 a 的值；（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布2,N ，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算） ，取3.64，若该企业恰有 10 万人正常上班的员工， 试估计这些员工中日健步步数 Z 位于区间4.88,15.8范围内的人数；（3）现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 k 名员工的日健步步数在 13 千步至 15千步
11、内的概率为()P Xk，其中0,1,2,20k ，当()P Xk最大时，求 k 的值参考数据：若随机变量服从正态分布2,N ，则()0.6827P，(22 )0.9545P，(33 )0.9973P22函数22( )22ln4f xxxxxx.（1）求( )f x在xe处的切线方程（e为自然对数的底数） ；（2）设32( )33( )g xxxxf x，若1212,(0,)x xxx且，满足128g xg x，求证：121x x .答案第 1页，共 10页高三数学期末考试模拟试题五高三数学期末考试模拟试题五参考答案参考答案1C由已知条件得(2)1,1( ),1xa xxf xax为增函数，所以
12、201(2) 1 1aaaa 解得：322a，所以 a 的取值范围是3 ,2)2，2A由题意，函数 yf x是R上的奇函数，满足 60fxfx 6(6)fxfxf x 因此函数 yf x的周期6T 2021336 6551ln10ffff 3B由正弦定理可得sincossincos2sincosCAACBB，即sin2sincosACBB，所以sin2sincosBBB，又sin0B ，所以1cos2B ，则60B ，因为1a ，ABC的面积3S ，所以113sin13222ABCSacBc ，解得4c ，所以222cosbacacB13.4A【详解】由题可得 121212121xxxfxxa
13、 exaxexaxae，因为20f ，所以1a ， 211xfxxxe，故 212xfxxxe，令 0fx，解得2x 或1x ，所以 f x在 , 2 , 1, 上单调递增，在2,1上单调递减，所以 f x的极小值为 1 111 1 11fe ，故选 A答案第 2页，共 10页5Ca2b2c2ab，2221cos22abcCab，又(0, )C，3C，由 2cosAsinBsinC，得222sincos2sin22CccbaABbbc=，22ba，即ba，又3C，故三角形为等边三角形.故选：C6A【详解】构造新函数 f xg xx, 2 xfxf xgxx，当0 x 时 0gx .所以在0,上
14、 f xg xx单减，又 10f，即 10g.所以 0f xg xx可得01x,此时 0f x ，又 fx为奇函数，所以 0f x 在,00,上的解集为：, 10,1 .故选 A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 xfxf x，想到构造 f xg xx.一般： （1）条件含有 f xfx，就构造 xg xe fx,（2）若 f xfx，就构造 xf xg xe， （3） 2f xfx，就构造 2xg xef x， （4） 2f xfx就构造 2xf xg xe，等便于给出导数时联想构造函数.7A256粒内夹谷 18 粒，米中含谷的频率为189256128，1536
15、石中夹谷约为9153612 9108128（石）.故选 A.8A21,2( )3,21xxf xxx，答案第 3页，共 10页图象如图：方程( )0f xa有三个不同的实数根即为函数 yf x的图象与ya的图象有三个不同的交点，由图象可知：a的取值范围为(0,1).9AD对于 A，甲必选物理，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选 2 门，则甲的不同选科方法种数为2510C ，故 A 正确；对于 B，甲在选物理的条件下，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选 2 门，共2510C 种，其中选化学的有14C4种，则甲在选物理的条件下选化学的概率是42105，故 B 错误；对于 C，乙、丙两人至少
16、一人选化学包含乙、丙两人全选化学，故 C 错误；对于 D，乙选物理的概率为253612CC，丙选物理的概率为253612CC，因为乙选物理和丙选物理相互独立，所以乙、丙两人都选物理的概率是111224，故 D 正确；10ABC【分析】由二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数性质求解【详解】23113( )cossincossinsin()222226xf xxxxx，( ,2 )x时，(,2)666x，函数( )f x在区间( ,2 )内没有零点，则62(1)6kk，kZ，两个等号不能同时取得，156212kk，由156212kk 得76k ，50212k，56k ，而kZ，所以
17、0,1k ，答案第 4页，共 10页0k 时，15612，1k 时，511612，又0，对照各选项，ABC 满足题意故选：ABC11BD由正弦函数的性质可得sin(0,1x，令sintx，再由对勾函数的单调性可判断 A；由全称命题的否定为特称命题，可判断 B；由两函数的定义域是否相同，对应关系是否相同进行判断 C；令3412xyzm，则3412log,log,logxm ym zm，则3412logloglglglg12lg12lg12lg4lg32loglg3lg4lglg3lg4lg3lg4mmxymmzmm，然后利用对数的性质可求出其范围，进而可判断 D【详解】解：对于 A，由()0,x
18、，可得sin(0,1x，令sintx，(0,1t，2( )f ttt 在(0,1上递减，可得( )f t的最小值为2(1)131f ，所以 A 错误；对于 B，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以 B 正确；对于 C，( )11f xxx 的定义域为1x x ，2( )1g xx的定义域为1x x 或1x ，12AD分别将原点与图中各点相连.设线段ijOA的斜率为ijk，根据题意有，outinout100%1ijCCkC 即ijk越小，颗粒物过滤效率越高。由图可知，11121314kkkk；23242122kkkk在第 2 种口罩的 4 次测试中，23k最小，所以第 3 次测试时的颗
19、粒物过滤效率最高，选项 A正确；在第 1 种口罩的 4 次测试中，11k最小，所以第 1 次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项 B错误；由图知，1323kk，所以第 3 次测试中第 2 种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项 C 错误；答案第 5页，共 10页13231424kkkk，所以第 3 次和第 4 次测试中第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低，选项 D 正确.1327由题知，311()log32727f ，则311 ()( 3)( )27273f ff故答案为：27140.6#301545AEC，1806015105ACE ，故30EAC，根据正弦定理：sins
20、inACECAECEAC，即10 61222AC，20 3AC，3320 33022ABAC，故300.6 m /s50v .15112221nn解：在各项都为正数的等比数列 na的公比设为 q，0q ，12a ，532a ，可得45116aqa，即2q =，则12 22nnna，1112111121212121nnnnnnnnaaa，则数列111nnnaaa的前 n 项和为22311111112121212121nn11112212121nnn ，169因为 x4为 f(x)的零点，x4为 f(x)的图象的对称轴，所以444T2kT，即2214k T214k 2(kZ)，所以2k1(kZ)，
21、又因为 f(x)在5,18 36上单调，所以53618122T22，解得12，答案第 6页，共 10页11 时 f(x)sin114x在3,18 44上单调递增，在35,44 36上单调递减，不成立，9 时满足条件，由此得的最大值为 9.故答案为：917 （1）1a ； （2）证明见详解（1）由 n1lafxaxfxx， lnxyaxxayxfx ，又0 x 是函数 yxf x的极值点，所以 0ln0ya，解得1a ；（2）由（1）得 ln 1fxx，ln 1( )( )( )ln 1xxxf xg xxf xxx，1x 且0 x ，当0,1x时，要证ln 1( )1ln 1xxg xxx，0
22、,ln 10 xx，ln 10 xx，即证ln 1ln 1xxxx，化简得1ln 10 xxx；同理，当,0 x 时，要证ln 1( )1ln 1xxg xxx，0,ln 10 xx，ln 10 xx，即证ln 1ln 1xxxx，化简得1ln 10 xxx；令 1ln 1h xxxx，再令1tx ，则0,11,t，1xt ，令 1lng tttt ， 1ln1lng ttt ，当0,1t时， 0g t ， g t单减，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg；当1,t时， 0g t ， g t单增，假设 1g能取到，则 10g，故 10g tg；综上所述，ln 1( )1ln 1xxg
23、 xxx在,00,1x 恒成立18 （1）1； （2）2425.解： （1） 22(0)2fxsin xcos x cos x2222cos2sin xcos xx222212222sinxcosxsin 24x，答案第 7页，共 10页由题可得32842kkZ，解得413k kZ ，0，故的最小值为 1；（2）3sin2445f，02Q，444，4cos45，24222cos44425cossinsin19 （1）170（2）分布列见解析，65E X（3）169（1）因为这 5 天收盘价的中位数为170，所以170a .（2）由表格知：只有周四、周五2天开盘价比当日收盘价低，所以X的可能取值
24、为：0,1,2，3335C10C10P X ，213235C C31C5P X ，123235C C32C10P X ，所以X的分布列为：X012P11035310所以数学期望1336()012105105E X .（3）五天的收盘价的平均数为165 165 1701741711695，在下一周的第一个工作日，收盘价为169时，这 6 天收盘价的方差最小.20 （1）32nan，*nN（2）2186nn（1）对任意*nN，有1126nnnSaa，答案第 8页，共 10页当1a 时，有11111126Saaa，解得11a 或2.当2n时，有1111126nnnSaa.-并整理得1130nnnna
25、aaa.而数列 na的各项均为正数，13nnaa.当11a 时，1 3132nann ，此时2429aa a成立；当12a 时，23131nann，此时2429aa a，不成立，舍去.32nan，*nN.（2）2122nnTbbb12233445221nna aa aa aa aa a21343522121nnnaaaaaaaaa242666naaa 2426naaa 246261862nnnn .21 （1）0.1a ； （2）8186 人； （3）4k （1）由0.02 20.03 20.05 20.15 220.05 20.04 20.01 21a ，解得0.1a （2）4 0.046
26、0.048 0.1 10 0.1 12 0.3 14 0.216 0.1 18 0.0820 0.02 12.16，0.95450.6827(4.8815.8)(2)0.81862PZPZ，则10000 0.81868186（人） ，所以日健步步数 Z 位于区间4.88,15.8范围内的人数约为 8186 人（3）设从该企业员工中随机抽取 20 人日健步步数在 13 千步至 15 千步内的员工有 X 人，则(20,0.2)XB，其中有 k 名员工的概率为2020()0.20.8kkkP XkC，其中0,1,2,20k 答案第 9页，共 10页记20201121200.20.8()21( )(1
27、)0.20.84kkkkkkCP Xkkf kP XkCk，当 1f k 时，4.2k ，则(1)()P XkP Xk ；当 1f k 时，4.2k ，则(1)()P XkP Xk 所以当4k 时，P Xk最大22 （1）241340eyeex（2）证明见解析【分析】（1）求出导函数( )fx，切线方程为( )( )()yf efe xe，化简即可；（2）先由导数确定( )g x在(0,)上单调递增，不妨设120 xx，则12g xg x，又128g xg x， 14g，则 121g xgg x，于是1201xx ，这是重要的一个结论，构造函数1( )( )( )G xg xgx01x，求出(
28、 )G x，可确定( )G x在(0,1)上递减，于是( )(1)8G xG，于是1()8G x，下面只要证明211()()gg xx即可。【详解】（1）2( )f ee， 41 ln ,fxxx则( )4(1)fee，故 fx在xe处的切线方程为241eeyxe即241340eyeex；（2）证明：由题可得 23141 lngxxxx， 10g，当01x时，10,ln0 xx ，则 0gx；当1x 时，10,ln0 xx ，则 0gx，所以，当0 x 时， 0gx， g x在0,上是增函数.设 101G xg xgxx，则 22431111311411lnGxgxgxxxxxxx，当01x时，10,ln0 xx ，431110,10,xx则 0Gx， G x在0,1上递减.不妨设120 xx，由于 g x在0,上是增函数，则12g xg x，又128g xg x， 14g，则 121g xgg x，于是1201xx ，答案第 10页，共 10页由101x， G x在0,1上递减，则 11218G xGg，所以 1118g xgx，则 12118gg xg xx，又2111,1xx， g x在0,上是增函数，所以，211xx，即121x x .
