1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-12-1精品课件精品课件空间向量的空间向量的 数量积运算数量积运算AOBababab4平面向量的夹角：平面向量的夹角：babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：复习：1 1） 空间两个向量的夹角的定义空间两个向量的夹角的定义babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考思考：1、a，b与与b，a相等吗？相等吗？ 2、a，b与与a，b相等吗？相等吗？注意：注意：a，bb，a，a，ba，b两条相交直线的夹角是指这两条直线所
2、成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180. 定义：已知向量和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影，作点在 上的射影，则叫做向量在轴 上或在方向上的正射影，简称射影ABal ellAlABlBA BABleABABe|cos.A BABa ea e 可以证明：，3 3、射影、射影l2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注：注：两个向量的两个向量的数量积是数量数量积是数量，而不是向量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba b
3、a ba ba ba b 已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质: : 对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab2(1) cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（求角的依据）（证明垂直的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据（求向量的长度的依据) )4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗下列命题成
4、立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考思考: 与平面类似,定义空间两个非零向量a b、的数量积a b : : cos,a ba ba b 22|aa 即 2|aa (求线段的长度); ab0a b (垂直的判断); cos,a ba bab (求角度). 以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题. 也有下列三个重要性质： 3、空间向量数量积的性质4. 空间向量数量积运算律 ()()()a ba bab a bb a()a b cab ac （数乘结合律） （分配律） （交换律） 注意：数量积不满足结合律，)()(cb
5、acba也不满足消去率1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，| b |4，则ab _， a2_， (a2b)(ab)_.135 题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【例例1】 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角的余弦所成角的余弦值值 P O A la 分析分析：用向量来证明：用向量来证明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即
6、可！的数量积为零即可！题型题型二二利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系【例例2】证明：如图,已知:,POAOllOA射影且求证：lPA 在直线l上取向量 ,只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl即PA. 为 P O A la 0,0a POa OA 反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？ 三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图,POPA、分别是平面 的垂线、斜线，AO是PA在平面 内的射影，l ，且lPA ， 求证：
7、lOA 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. P O A la AC 解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA |85AC 2.已知在平行六面体 , 求 对角线的长.ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,ADAABAD 60BAADAA 巩固练习：DCBDABCA空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质空间向量数量积的运用空间向量的夹角bababa,cos) 1 (0) 2 (baba22) 3(aaaa(1)cos,a ba ba b用求夹角 (2)0a b用判断垂直 2(3)aa a求求长度
