1、教案球的考法与教法1教案：球的考法与教法（一）教案：球的考法与教法（一）宜宾市第 XX 中学校教学目的：教学目的：研究球的半径和确定球心的位置问题，分析球与多面体的接、切、截中的长度、角度.解决与球相关的问题，培养良好的空间想象能力，往往用选择题或填空题的方式考察考查学生学生直观想象， 逻辑推理和数学运算等核心素养教学重点：教学重点：模式识别，快速求解教学难点：教学难点：球心位置的确定.教学方法：教学方法：探论式，启发式.课课时：时：一课时.教学场景教学场景: :背景：宜宾市第 XX 中学校第 26 届教科汇展节课例；观课：本校数学教师和兄弟学校到会教师；学生：19 级 2 班全体学生（文科基
2、地班）；时间：2021 年 10 月 27 日下午 2：30-3：10；地点：学校多媒体教室 510.一、课前复习一、课前复习1.圆锥的定义；2.球的定义.二、新课引入二、新课引入引例引例：直角三角形的两直角边的长分别1，3，现以长为3的边所在为轴旋转所得圆锥的体积为，该圆锥外接球的体积比上内切球的体积的比为.三、新授内容三、新授内容1.11.1 球与长方体球与长方体如正方体、长方体等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.正方体1111DCBAABCD ,设正方体的棱长为a，教案球的考法与教法2GHFE,
3、为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆，则2arOJ；与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则aROG22；球为正方体的外接球，截面图为长方形11AACC和其外接圆，则231aROA.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例例 1 1棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D的 8 个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球
4、O截得的线段长为（）A22B1C212D2解解：由题意有球为正方体的外接球，平面11AADD截面所得圆面的半径12ADR ，11EFAADD面，直线EF被球O截得的线段为截面圆的直径22.R 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为, , ,a b c其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22labcR1.21.2 球与正棱柱球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以教案球的考法与教法3正三棱柱为例，掌握本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱
5、111CBAABC 的高为h，底面边长为a，D和1D分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高1DD的中点O，aADRAOhOD33,2，借助直角三角形AOD的勾股定理，可求22332ahR.例例 2 2 正四棱柱1111ABCDABC D的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值为.解解： 如右图， 截面图为长方形11ACAC和其外接圆， 球心为1EE的中点,O则.ROA设正四棱柱的侧面棱长为, b底面边长为, a则222222 ,OE,R.2222bbACa AEaa22242.Rab则正四棱柱的侧面积：22242 22224 2.SabababR所以侧面积有最大值为
6、24 2,R当且仅当时2ab取等号.2.2.球与锥体球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合， 通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.12.1 球与正四面体球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.设正四面体ABCS 的棱长为a， 内切球半径为r， 外接球的半径为R， 取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接SESDCD,为正四面体的高。在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切， 圆心
7、在高SE上的圆， 即为内切球的截面.教案球的考法与教法4因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O.此时，,33,32,aCEaSErOEROSCO则有2222233aRraRrCE，=，解得：66,.412Ra ra这个解法是通过利用两心合一的思路， 建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例例 3 3 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为.解解: : 容器正四面体中的这四个小球， 以四个小球的球心为定点构成一个棱长为2的球心四面体，其高为
8、单位正四面体高63的二倍即2 6.3球心正四面体的底面到容器正四面体的底面距离是小球的半径1，而球心四面体的顶点到容器正四面体顶点的距离为 3（小球半径的 3 倍），所以容器正四面体的高为2 6+3+1.3（提示：做一个小球球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3 倍）2.22.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题， 主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法， 即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正
9、方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.三棱锥111DABA 的外接球的球心和正方体1111DCBAABCD 的外接球的球心重合，设aAA 1，则aR23.教案球的考法与教法5如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，4422222lcbaR（l为长方体的体对角线长）.例例 4 4 在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且AMMN,若侧棱2 3SA ,则正三棱锥ABCS 外接球的表面积是.解：解：正三棱锥对棱相互垂直，即,ACSB又,MNAM,SBMNMNAC而.MNSAC 面SB 面SAC,.SBSA SB
10、SC.SASC此时正三棱锥SABC的三条侧棱相互垂直且相等，将此正三棱锥补形为正方体，球的半径23,R3,S4 R36 .2RSA2.32.3 球与正棱锥球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类：球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例例 5 5 在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC=3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为
11、60，则该三棱锥外接球的体积为（）AB.3C.4D.43解：过点P作底面ABC的垂线，垂足为,O设H为外接球的球心，教案球的考法与教法660 ,3,OPAOPA故33AO,PO,22又ABC为直角三角形,222,AHPHrAHAOOH22233344,1,1.2233rrrV2.42.4 球与特殊的棱锥球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解. 四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.三棱锥ABCS ,满足SA面ABC，BCAB ， 取SC的中点为O，由直角三角形的性质可得：OCOBOSOA,
12、所以O点为三棱锥ABCS 的外接球的球心,则2SCR .例例 6 6 矩形ABCD中，4,3,ABBC沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积是()A.12125B.9125C.6125D.3125解：由题意可知，四面体ABCD的外接球的球心落在AC的中点，此时满足解OAOD,OBOC354125,.2236ACRVR2.52.5 两个共底等腰三角形两个共底等腰三角形折叠与球折叠与球例例 7 7 三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP 外接球的半径为.解析：3460sin22221rr，3221 rr
13、，312HO，35343121222rHOR，315R；法二：法二：312HO，311HO，1AH，教案球的考法与教法7352121222OOHOAHAOR，315R四、课堂小结四、课堂小结1.“切”的解法与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作2.“接”的解法把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题 解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径3定义定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球
14、也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；正棱锥的外接球的球心在其高上， 具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到4补形定球心正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；若三棱锥
15、的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体5.两个全等三角形或等腰三角形拼接第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；教案球的考法与教法8第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：.22121OCCHOH6.球内切于棱锥问题，等体积转换；球内切于圆锥问题，用对称性找圆心.五、巩固训练五、巩固训练1.三棱锥ABCS 中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，32SA，则该三棱锥的外接球体积等于.2.正三棱锥ABCS 中
16、，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.3.三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，PAC边长为2的正三角形，BCAB ，则该外接球的半径为.4.三棱锥ABCP 的四个顶点都在半径为 4 的球面上， 且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为_.(32)5.三棱柱111CBAABC 侧棱1AA垂直底面，, 1,30,9000BCBACACB且三棱柱111CBAABC 的体积为 3，则三棱柱111CBAABC 的外接球表面积为_.（16）6.在四面体 ABCD 中，, 5, 4, 6BCADBDACCDAB则四面体 ABCD 的外接球表面积为_.(27
17、7)7.四棱锥ABCDP 的底面是边长为24的正方形，侧棱长都等于54，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_.（100）8.正三角形ABC的边长为 2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 1，此时四面体ABCD外接球表面积为_.(313)9.在平行四边形ABCD中，0,AB BD 6222BDAB， 若将ABD沿BD折成直二面角CBDA，则三棱锥BCDA外接球的表面积为_.（）教案球的考法与教法9六、课后反思六、课后反思1.情景设计如何：2.主题落实情况：3.师生合作效果：4.教育技术应用：5.教师授课遗憾：七、设计说明七、设计说明1.课型模式：题型模式分需要球心和不需要球心两类问题，需要
18、球心的为几何体与球的外切问题， 其中两个共底等腰三角形或者全等三角形共变的翻折需要两次使用球心距，方程手段计算球半径;2.传统五环节教学法“组，复，新，巩，布”，高中（高三）升级为“复，引，新，结，布”的五环节教学，本教学设计有“六、课后反思”，是现代教学强调信息反馈，更是教学传播论的实践探索场地;3.文科教学进度刚好到立体几何的归纳整理阶段，工作室的观课议课活动和这次课例展一起构思，同课异构，但时间协调统一不起来，分开进行课例展示。球的考法与学法（二）建议研究球与球的问题；球与几何体的各条棱相切问题；截的问题;4.提供一个可“观”更可议的课例，不完全等同于自己平常的授课，主动留下了很多议课的切入点： 比如容量是是否过大？教学效果？观课老师自己的思拷？期盼观课老师更高更好的教学设计;5.兼顾学生和观课教师，学生需要高质量的教学效果，要让观课客人有话可说，有话愿意说，要给评课专家提供契机，方便从多角度发表意见和建议，教学设计和课堂质量不能太差，也不要太好，课前不演练，课后再反思.
