1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 35数列（证明不等式数列（证明不等式 2）1已知数列na满足13a ，121nnaan，数列 nb满足12b ，1nnnbban（1）证明数列nan为等比数列并求数列na的通项公式；（2）数列 nc满足1(1)(1)nnnnancbb，设数列 nc的前n项和nT，证明：13nT 解： （1）证明：当*nN时，1(1)(21)(1)2nnnnanannanan，又112a ，数列nan是首项为 2，公比为 2 的等比数列，11(1) 22nnnana，*2()nnan nN；（2）证明：122nnnnnnnbbanbnnb，12nnnbb，当1n 时12b ，当
2、2n时112nnnbb，111121121()()2222222 1nnnnnnbbbbbb，当1n 时符合，2nnb ，111211(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnnancbb，1212231111111111111()()()()2121212121212121321nnnnnnnnTcccc又11021n，13nT 2 设正项数列na前n项和为nS， 满足411(*)nnSanN， 等比数列 nb满足22ba，34ba（）求数列na、 nb的通项公式；（）设 nb前n项和为nT，记(*)12nnnnacnNTb，证明：12222nnnccc（）解：411nnSa，当1
3、n 时，11411Sa，解得12a 当2n时，241(1)nnSa ，21141(1)nnSa ，得：221114()(21)(21)nnnnnnSSaaaa，整理得：11()(2)0nnnnaaaa0na ，12nnaa，即数列na是首项为 2，公差为 2 的等差数列22(1)2nann；224ba，348ba，则等比数列 nb的公比322bqb，则2nnb ；（）证明：由（）得，12b ，则2 (12 )2(21)12nnnT，221(21)22222nnnnnnnnnannncTb令12311231.22222nnnnnA，则234111231.222222nnnnnA，两式作差可得：2
4、3111111.222222nnnnA11111(1)1222111222212nnnnnnnn 222nnnA12222nnnccc3已知各项均为正数的数列na满足：11(1)(1)nnnnaaa a，11a （）求数列na的通项公式；（）设221223nnnnabaa，数列 nb的前n项和为nS，求证：51364nS 解： （）各项均为正数的数列na满足：11(1)(1)nnnnaaa a，整理得：111()()()nnnnnnaaaaaa，故11nnaa，所以数列na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列；所以nan证明： （）由（）得：2222122311(1)(2)nnnnabaan
5、n，故2222222111111111()().()2334(1)(2)4(2)4nSnnn，由于函数211( )4(2)f xx在(0,)为单调递增函数，所以1536S ，故51364nS 4 设数列na的前n项和为nS，12a ，122nnSS， 数列 nb满足：11b ，21nnnbbb，其中*nN（）证明：数列na是等比数列；（）记22212nnTbbb，证明：22nnST证明： （）数列na的前n项和为nS，12a ，122nnSS，所以当2n时，122nnSS，得：12nnaa，故数列na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；所以2nna （首项符合通项） 证明： （）数列 nb
6、满足：11b ，21nnnbbb，所以22212213211.1nnnnnTbbbbbbbbbb，故12111112(22.2 )22222222nnnnnnnnSTbbb，由于2120nnnbbb，所以数列 nb单调递增，故11112nnnbbbb ，所以211122. 22nnnnnbbbb ，故12220 1nnnnb，所以22nnST5已知数列(0)nnaa 满足23212()(*)23nnnaaaaaanNnnn（1）求数列na的通项公式；（2）求证：2311115 24naaa解： （1）数列(0)nnaa 满足23212()23nnnaaaaaannn，当2n时，23111212
7、()12311nnnaaaaaannn，得2222111()()111nnnnnnaaaaaannnnnn，化简，得111nnaann（常数） ，当1n 时，解得11a ，所以数列nan是以 1 为首项，1 为公差的等差数列所以nan n（2）由（1）得11122112()(1)12(1)11(1)1nannnnn nnnnn，所以23111111111112()2 223341naaann21125 22()244421n6已知正项数列na的前n项和为nS，且2*2()nnnSaa nN（）求数列na的通项公式；（）记21nanb ，证明：当*nN时，312122122nnbbbnnbbb（
8、）解：由22nnnSaa得21112nnnSaa，则221111222nnnnnnnaSSaaaa，化简得11()(1)0nnnnaaaa，又0na ，故11nnaa当1n 时，解得11a ，因此数列na的通项公式为nan（）证明：由题意，21nnb 由于11221nnnbb，且1111110212(21)2nnnn，所以1312211211( ) 1212 (2)(2)(2)2( )21212nnnnbbbbbbbb，化简得312122122nnbbbnnbbb7已知数列na中，12a ，且14a，22a，3a成等差数列，数列nan是公比大于 1 的等比数列（）求数列na的通项公式na及其前
9、n项和nS（）设2nnnab ，求证：21 22 33 4122nnnnbbb bb bb b解： （）设数列nan是公比q大于 1 的等比数列，则21221aaqq，2231231aaqq，所以24aq，236aq，由14a，22a，3a成等差数列，可得21344aaa，即21686qq，即23840qq，解得22(3q 舍去） ，所以12 22nnnan，即2nnan ，231 22 23 22nnSn，234121 22 23 22nnSn，两式相减可得23122222nnnSn ，12(12 )212nnn，所以12(1) 2nnSn；（）证明：2nnnabn，1(1)1(1)22nnnnb bn nn，则21 22 31111(1)2(1)(2)()222222nnn nnnnbbb bb bn
