1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 39数列（最值问题数列（最值问题 1）1已知nS是数列na的前n项和，且11a ，123nnaa（1）证明数列3na 是等比数列，并求数列na的通项（2）是否存在整数k，使得2021kS 若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由证明： （1）数列na满足，123nnaa，且11a ，整理得132(3)nnaa，即1323nnaa（常数） ，所以数列3na 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故1134 22nnna，故123nna，（2）由于123nna，所以23123124 (21)(23)(23)(23)(222)332342 1nnnnnSnnn
2、，令2( )234xf xx，则2( )223nfxln，当1x时，23223 2230 xlnln，故函数( )f x在1，)上单调递增，当9n 时，解得920172021S ，当10n 时，解得10409634406220212021S，所以n的最小值为 10，即k的最小值为 102已知数列na的前n项和nS，且2(1)nnSan，22nannbS（1）求数列na的通项公式；（2）求数列 nb的最小项的值解： （1）因为1(2)nnnaSSn，所以1nnnSaS，则21(1) (2)nSnn，即2nSn，*()nN，当1n 时，111aS，当2n时，221(1)21nnnaSSnnn，且当
3、1n 时也适合上式，所以21nan；（2）由（1）可知，21420nnbn，所以21142(1)nnbn，所以2441422()(1)1nnbnnbnn，当211nn，即21n ，所以当13n 时，1nnbb，当3n时，1nnbb，又23132,281bb，所以当3n 时，nb有最小值为32813已知数列na满足：114a ，1312nnaa（1）求证数列2na 是等比数列；（2）若数列 nb满足22nnnba，求 nb的最大值解： （1）证明：因为13323(2)22nnnaaa，所以数列2na 是以1724a 为首项，以32为公比的等比数列，所以数列2na 是等比数列；（2）由（1）得17
4、32( )42nna ，所以1732( )42nna，则21317322( )214342nnnnnb，因为413114 3214 32nnnnnnbb 3132228 3238 29 39(23 )0nnnnnnnn ，所以1nnbb，即数列 nb为递减数列，所以nb的最大值为12b 声明：试4题解析著作权属菁 4已知nS是等比数列na的前n项和，4S，2S，3S成等差数列，且23418aaa （1）求数列na的通项公式；（2）若存在正整数n，使得2021nS ，求n的最小值解： （1）设数列na的公比为(0)q q ，由4S，2S，3S成等差数列，且23418aaa ，得23211121(
5、1)18a qa qa qa qqq ，解得132aq 数列na的通项公式为13 ( 2)nna ；（2）由（1）有3 1( 2) 1( 2)1( 2)nnnS ，由2021nS 得，1( 2)2021n ，即( 2)2020n当n为偶数时，( 2)0n，上式不成立；当n为奇数时，( 2)22020nn ，得11n综上，n的最小值为 115已知na是等差数列，其前n项和为nS，43a 再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）数列na的通项公式；（）nS的最小值，并求nS取得最小值时n的值条件：424S ；条件：132aa解：若选择条件：（）设等差数列na的公差为d，由43a ，得13
6、3ad ；又424S ，得1434242ad ，即12312ad 联立，解得19a 、2d ，所以92(1)211nann （）由（）可知：2(1)92102nn nSnnn ，所以25510 525S ，根据二次函数的性质可得当5n 时nS有最小值且最小值为525S 若选择条件：（）设等差数列na的公差为d，由43a ，得133ad ；又132aa，得112(2 )aad即140ad联立，解得112a 、3d ，所以123(1)315nann （） 由 （） 可知：2(1)327123222nn nSnnn ， 由于nN， 所以当4n 或5n 时nS有最小值且最小值为4530SS6+6已知等
7、差数列na的前n项和为nS，若1nna a，2nS，1 成等差数列（1）求数列na的通项公式；（2）求数列18nnaa的最大项与最小项解： （1）设na的首项为1a，公差为d，取1n 、2得1111114()14(2)()(2 )1,aa adadad ad解得111,1421,4aadd 或当11a ，2d 时，21nan，121nan，经验证2nSn满足条件；当114a ，14d 时，314a ，412a ，30S 不满足条件，舍去，综上，数列na的通项公式为21nan（2）121892nnanan，记2110( )19292xf xxx ，( )f x在(,4.5)与(4.5,)上都是增
8、函数（如图所示）:对数列18nnaa，当4n时，18nnaa递增且都大于1，当5n时，18nnaa递增且都小于1，所以数列18nnaa的最大项是第 4 项，值为 9，最小项是第 5 项，值为117已知na是公差不为零的等差数列，11a ，且1a，2a，5a成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnba a，数列 nb的前n项和为nS，求使成50101nS 立的最小正整数n的值解： （1）设等差数列na的公差为(0)d d ，因为11a ，且1a、2a、5a成等比数列，所以2215aaa，即2(1)1 (14 )dd ，整理得(2)0d d ，解得2d 或0d （舍去） ，所以12
9、(1)21nann （2）依题意：111111()(21)(21)2 2121nnnba annnn所以数列 nb的前n项和11111111(1)(1)2335212122121nnSnnnn依题意：5021101nn，解得50n ，所以n的最小值为 518无穷数列na满足：11340nnnnaaaa且12a （1）求证：12na 为等差数列；（2）若2021a为数列na中的最小项，求1a的取值范围（1）证明：由已知可得：1113nnaa ，11111122213nnnnaaaa3211222nnnnnaaaaa，12na是公差为 1 的等差数列；（2）解：由（1）可得111122nnaa，1121(1)2nana ，结合图象易知函数1( )()f nnNna在0na，10na 时取到最小值，由2021a为数列na中的最小项，有1112021(1)0212021 1(1)02aa ，解得：14041404320202021a ，1a的取值范围是：40414043(,)20202021
