1、概率论与数理统计概率论与数理统计 随机试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间样本空间（sample space）, 记为S ； 样本空间的元素, 即E的每个结果, 称为样本点样本点（sample point）. 1,3,5 4,5,6 AAAA三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 u设试验E的样本空间为S, 而A,B,Ak (k=1,2,.) 是S的子集.u通常喜欢用一个矩形来代表S, 其中的子区域 代表一个事件.BSA8000小时电视机寿命不超过A10000小时电视机的寿命不超过BBSA
2、SABSABSABSAB基本事件是两两互不相容的。.,ASAASABA的对立事件记为ABAB按差事件和对立事件的定义，显然有BABA符号符号集合含义集合含义事件含义事件含义S全集全集样本空间，必然事件样本空间，必然事件空集空集不可能事件不可能事件S 集合的元素集合的元素样本点样本点单点集单点集基本事件基本事件A S一个集合一个集合一个事件一个事件A B A的元素在的元素在B中中A发生导致发生导致B发生发生A=B 集合集合A与与B相等相等事件事件A与与B相等相等AB A与与B的所有元素的所有元素A与与B的和事件的和事件AB A与与B的共同元素的共同元素A与与B的积事件的积事件 A的补集的补集A的
3、对立事件的对立事件A-B 在在A中而不在中而不在B中的元素中的元素A与与B的差事件的差事件AB= A与与B无公共元素无公共元素A与与B互斥互斥.;BABABABA德摩根律：IIIIIIAB例：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，分别表示甲、乙、丙命中目标，试用试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：A A1 1: :“甲没有命中目标甲没有命中目标”A A2 2: :“至少有一人命中目标至少有一人命中目标”A A3 3: :“恰有一人命中目标恰有一人命中目标”A A4
4、4: :“至少有两人命中目标至少有两人命中目标”CBACBACBACBABCACABA由定义, 易见频率具有下述基本性质:1, 0fn(A)1;2, fn(S)=1;3, 若A1,A2,.,Ak是两两互不相容的事件,即对于ij, AiAj= , i,j=1,2,.,k,则fn(A1A2.Ak)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(Ak).SBAA1,A2,.,AnP(A1A2.An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)设A,B是两个事件, 若AB, 则有P(BA)=P(B)P(A) P(B)P(A)n性质4 对于任一事件A, P(A)1n性质5(逆事件的概率) 对任一事件A, 有n性质6
5、(加法公式) 对任意两事件A,B有P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).).(1)(APAP3 频率与概率频率与概率 由定义由定义, 易见频率具有下述基本性质易见频率具有下述基本性质:1, 0 fn(A) 1;2, fn(S)=1;3, 若若A1,A2,.,Ak是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,即对于即对于i j, AiAj= , i,j=1,2,.,k,则则fn(A1 A2 . Ak)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(Ak).试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德摩根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮
6、尔逊24000120120.5005频率稳定于概率频率稳定于概率v性质性质1 P( )=0v性质性质2(有限可加性有限可加性) 若若A1,A2,.,An是两两互是两两互不相容的事件不相容的事件, 则有则有P(A1 A2 . An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)性质性质3 设设A,B是两个事件是两个事件, 若若A B, 则有则有 P(B A)=P(B) P(A) P(B) P(A)SBA)(1)(APAP4849., 2 , 1,1)(ninePiP(e1 e2 . en)=P(e1)+P(e2)+.+P(en)=nP(ei) =P(S)=15021kiiieeeAnkePAPkjij
7、1)()() 1 . 4(#SASA中基本事件的总数包含的基本事件数11!knnnknnAkn! nAnn!11!kknnnknknAAknkkkn57 考虑两种取球方式考虑两种取球方式: (a)第一次取一只球第一次取一只球, 观察其颜色后放回观察其颜色后放回袋中袋中, 搅匀后再取一球搅匀后再取一球. 这种取球方式叫这种取球方式叫做做放回抽样放回抽样. (b)第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中, 第二次从第二次从剩余的球中再取一球剩余的球中再取一球. 这种取球方式叫这种取球方式叫做做不放回抽样不放回抽样, 在放回抽样的方式下求在放回抽样的方式下求(1)取到的两只球都是白球的概率取到的
8、两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解：设解：设A为事件为事件“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”B为事件为事件“取到的两只球都为红球取到的两只球都为红球”;C为事件为事件“取到的两只球中至少有一只是白取到的两只球中至少有一只是白球球”59baaBP)(解解 (1) 放回抽样的情况放回抽样的情况, 显然有显然有60nnNnNANnNNNSAAP) 1() 1(#)(解解 记记A为事件为事件“每个盒子至多有一只球每个盒子至多有一只球” 61nn365) 1365(
9、364365nn365)1365(364365162n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064100p0.9700.9970.999999763)2 . 4(.nNknDNkDp男男女女 合计合计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020100100男男女女 合计合计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020100100(1)从中任取一名学生，求这名学生来自深圳从中任取一名学生，求这名学生来自深圳的概率。的概率。 10021#SBBP(2)从中任取一名学生，发现为男生，求从中任取
10、一名学生，发现为男生，求这名学生来自深圳的概率。这名学生来自深圳的概率。(2)从中任取一名学生，发现为男生，求从中任取一名学生，发现为男生，求这名学生来自深圳的概率。这名学生来自深圳的概率。解：解：B为事件为事件“学生来自深圳学生来自深圳”A为事件为事件“学生为男生学生为男生” 1008010012男男女女合合计计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020 1001008012ABP APABP69mkABP)|(A合合计计Bk合计合计mn)()(/APABPnmnkAB称为称为在在事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的发生的条件概率条件
11、概率。 一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，若，若P(A)0，则则 APABPABP7111iiiiABPABP737475设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志在仓库中任取一只元件在仓库中任取一只元件, 求它是次品的概率求它是次品的概率.制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05) 6 . 5 ()()|()()|()()|()(111njjjnnBPBAPBPBAPBPBAPAP
12、制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05如果已取到一只次品如果已取到一只次品, 求它由求它由1厂生产的概率厂生产的概率.niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2 , 1,)()|()()|()|(1解解 设设A为事件为事件“产品合格产品合格”, B为事件为事件机器调整良好机器调整良好袋中有袋中有3只白球只白球, 1只红球只红球, 两个人依次在袋两个人依次在袋中取一只球中取一只球, 作放回抽样作放回抽样; 以以A表示第一个人抽到红球；表示第一个人抽到红球； 以以B表示第二个人抽到红球表示第二个人抽到红球概率论角度，概率论角度，
13、P(B|A)= P(B) P(A|B)= P(A)P(AB)=P(A)P(B) AB= ABB的对立事件的对立事件A的对立事件的对立事件12341234线路线路1线路线路2第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布样样本本点点HHH HHT HTH THH HTT THTTTHTTTX的的值值32221110定义定义 设设X X (e e )是定义在样本空间是定义在样本空间S S上的实上的实值函数，称值函数，称X X (e )为随机变量为随机变量. .随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y
14、，Z，W，.等等表示表示S1e2e3ex样样本本点点HHH HHT HTH THH HTT THTTTHTTTX的的值值32221110例例1 1 一射手对目标进行射击，击中目标记为一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，分，未中目标记为未中目标记为0分分.设设X表示该射手在一次射击中的得表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为分，它是一个随机变量，可以表示为 ., 0, 1未中击中；X例例2 2 观察一个电话交换台在一段时间（观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接）内接到的呼叫次数到的呼叫次数如果用如果用X表示呼叫次数，表示呼叫次数，那么那么 表示一随机事件，表示一随机
15、事件，显然显然 也表示一随机事件也表示一随机事件), 2 , 1 , 0(kkX), 2 , 1 , 0(kkX2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 记记X为掷骰子出现的点数为掷骰子出现的点数; 记记Y为灯泡的寿命为灯泡的寿命;) 3 . 2(. 1, 2)2 . 2( ;, 2 , 1, 0, 11kkkpkpXx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)X123456pk1/61/61/61/61/61/6PX=k=(1p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1p)4. X 01234pkp (1 p)p(1 p)2p(1 p)3p(1 p)4列表法列表法列式法列式
16、法X01pk1-pp三种常用的离散型随机变量三种常用的离散型随机变量21, 1, 0)(eeeeeXX当当 从而得到定义在从而得到定义在S上服从（上服从（0-1）分布的）分布的随机变量随机变量 对性别进行登记对性别进行登记, 检查产品的质量是否检查产品的质量是否合格合格, 某车间的电力消耗是否超过负荷以某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的及前面多次讨论过的“抛硬币抛硬币”试验，都试验，都可以用可以用(0-1)分布的随机变量来描述。分布的随机变量来描述。(二二) 伯努利试验，二项分布伯努利试验，二项分布.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯
17、努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将次正好出现重伯努力试验中事件kAnkXiAiA以 表示第 次试验中出现 ，则nknknnkkAAAAAAAAAA121121方式共有方式共有 种，而且两两互不相容种，而且两两互不相容 nk) 6 . 2 (.,.,2 , 1 , 0,)(nkqpknkXPknk二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp , 2 , 1 , 0,!ekkkXPk泊松分布的背景及应
18、用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时, ,他他们做了们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水121上述定理表明当上述定理表明当n很大很大, p很小很小(np= )时时有以下近似式
19、有以下近似式1223 随机变量的分布函数随机变量的分布函数. 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx 3. F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右连续的是右连续的.2. 0 F(x) 1, 且且xXX 123pk1/41/21/4求求X的分布函数。的分布函数。结果结果432141,1时当x,21时当x)(xXPxFx12)(xXPxF1XP;41xxiip)(xXPxFxxiip1XP2XP; 0,32时当 x3,3时当x)(xXPxFx123xxiip1XP2XP3XP1212141. 3, 132, 4/3, 21, 4/ 1, 1, 0)(xxxxxF1O123x1 F
20、(x)2 . 3(,)(, )(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxF. 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/21OF(x),d)()(xttfxF., 0, 20,2)(其它tttf其中其中) 1 . 4(d)()(xttfxF4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度由定义知道由定义知道, 概率密度概率密度f(x)具有以下性质具有以下性质:;0)() 1 (xf; 1d)()2(xxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为是否为概率密度的充要条件概率密度的充要条
21、件)2 . 4(.)(lim)()(lim)(00 xxxXxPxxFxxFxfxx.271)3();()2( ;) 1 (., 0, 43,22, 30,)(XPxFXkxxxkxxf求的分布函数求确定常数其它Ox341/2f(x)x/622xxx. 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP由此可得由此可得连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP b
22、XaP .bXaP 第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布)5 . 4(, 0,1)(其它bxaabxfab 1af(x)b)6 . 4(., 1, 0)(bxbxaabaxaxxFOab1F(x)x)7 . 4(, 0, 0,e1)(/其它xxfx) 8 . 4 (., 0, 0,e1)(/其它xxFxX的分布函数为Oxf(x)123123 =1/3 =1 =2).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常
23、数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 3. 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)Om mxf(x)22()21( )e,(4.10)2xf xxm Om mm m1 1xf(x)固定固定 ，改变，改变m m0.2660.3990.798m mxO 1.5 1.0 0.5)12. 4(,de21)(222)(xttxFm1F(x)0.5xOm. d21)( 21)(2/2/22texxexxtx， 称称 N(0, 1) 为标准正态分布，其为标准正态分布，其密度函数密度函数和分布函数常分别用和分布函数常分别用 来来表示。表示。 xx和)( 书末书末P
24、382P382附有标准正态分布函数数值表，附有标准正态分布函数数值表，. d21)(2/2texxtxx)(x)(1)(xx).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引引理理m m 3 m m 2 m m m m m m 2 m m 3 68.26%95.44%99.74%【例例 6】z 设XN(0,1), 若z满足条件PXza=a,0a1,(4.18)则称点z为标准正态分布的上分位点.问题的提出问题的提出 在实际中，有时对随机变量的函数更感兴趣。在实际中，有时对随机变量的函数更感兴趣。 2.4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布4/ 2dA测量圆轴截面直径测量圆轴截面直径 d，关心截
25、面面积关心截面面积问题问题：已知随机变量已知随机变量 X 的概率分布，的概率分布，如何求如何求Y = g(X) (设设 g 是连续函数是连续函数) 的的概率概率分布分布？2.4.1 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布例例1 1：设随机变量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布： 求求 Y= (X 1)2 的概率分布。的概率分布。分布律分布律离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为，若也是离散型随机变量时函数是离散型随机变量、其如果XXgYX)(Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(2
26、1kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxg.82., 0, 40,8)(的的概概率率密密度度求求随随机机变变量量其其他他的的概概率率密密度度为为设设随随机机变变量量 XYxxxfXX例例2例例3：设设 随机变量随机变量X 具有概率密度具有概率密度 fX(x)，求求Y=X2的密度的密度。.)()()(),(的反函数是其中xgyhgg., 0,),()()(,)(, 0)(,)(,),(1其他其概率密度为是连续型随机变量则称且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度设随机变量定理yyhyhfyfXgYxgxgxxfXXYX.)()()(),(的反函数是
27、其中xgyhgg., 0,)()()(,)(, 0)(,)(,),(2其他其概率密度为是连续型随机变量则称且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度设随机变量定理yyhyhfyfXgYxgxgxxfXXYX.)()(),(),(max(),(),(min(的的反反函函数数是是其其中中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(, )0)(0)(,)(,),(其他其概率密度为随机变量是连续型则称或恒有且恒有处处可导又设函数其中的具有概率密度定理设随机变量yyhyhfyfXgYxgxgxgxxfXXYX2( ,),(0).XN XYaXb a设随机变量试证明的线性函数也服从正态分布例例4mba,
28、1)2)( ,(abaNbaXY得) 1 , 0( NXYm得第一节 二维随机变量第二节 边缘分布第三节 条件分布第四节 随机变量的独立性第五节 两个随机变量的函数的分布 有些随机现象只用一个随机变量来描述有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。述。实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就就是一个二维随机变量是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学龄前儿童的发育情区学龄前儿童的发育情况况 , 则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随就构成二维随机变量机变量
29、( H, W ).第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布e)(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二维随机变量或二维随机变量叫作二维随机向量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在和和设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设YXSeYYeXXeSE 二维随机变量定义二维随机变量定义二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 .,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数和和机变量机变量或称为随或称为随的分布函数的分布函数称为二维
30、随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. ),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxFxy2y1y1xO2x Px1Xx2 , y1Yy2=F(x2, y2)- -F(x2, y1)- - F(x1, y2)+F(x1, y1).(2) 分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),
31、(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的xyyO1x2x, 1),(02o yxF, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy. 1),(lim),( yxFFyx, 0),(lim),( yxFFyx.,),(),0,(),(), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF ,),(),(421212211oyyxxyxyx 对于任意对于任意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF
32、有有一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可所取的可能值是有限对或无限可列多对能值是有限对或无限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.1. 定义定义 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 . 1, 011 ijijijpp其中其中 . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的的联联合合分分布布律律和和或或随随机机变变量量的的分分布布律律变变量量称称此此为为
33、二二维维离离散散型型随随机机记记值值为为所所有有可可能能取取的的设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3
34、 , 2 , 1 i.的的正正整整数数取取不不大大于于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 例例1XY12341234418112116108112116100121161000161XY12341234418112116108112116100121161000161 )1 ,2(F, ),( xxyyijijpyxF离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji .,),(),(,),(,dd),(
35、),(,),(),(),( 的的联联合合概概率率密密度度和和机机变变量量或或称称为为随随的的概概率率密密度度称称为为二二维维随随机机变变量量函函数数量量是是连连续续型型的的二二维维随随机机变变则则称称有有使使对对于于任任意意如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数的的分分布布函函数数对对于于二二维维随随机机变变量量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx 1.定义定义 . 1),(dd),()2( Fyxyxf. 0),()1( yxf2.性质性质.dd),(),( GyxyxfGYXP内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GYXxoyG),
36、(,)3(x y ,)( , )P xXxx yYyyf x yx y . ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连续连续在在若若.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求求概概率率求求分分布布函函数数其其它它具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量例例2解解 yxyxyxfyxFdd),(),() 1 ( ., 0, 0, 0,dde200)2(其其他他yxyxyxyx ., 0. 0, 0),e1)(e1 (),(2其其他他得得yxyxFyx,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2)
37、 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( yxyyxdde20)2( .31 推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念.),(,),(,),(),(, , 212211维随机变量维随机变量维随机向量或维随机向量或叫做叫做维向量维向量由它们构成的一个由它们构成的一个上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在设设它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验设设nnXXXnSeXXeXXeXXeSEnnn 定义定义 元元函函数数个个实实数数对对于于任任意意nxxxnn,21,),(221121nnnxXxXx
38、XPxxxF .),(21联合分布函数联合分布函数的的称为随机变量称为随机变量nXXX二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度一、边缘分布函数一、边缘分布函数 ?,),(:的分布的分布如何确定如何确定的分布的分布已知已知YXYX问题问题XY109192949210jjyYPp 93961例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.XY109192949210939619594例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1
39、,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21.),(), 2 , 1(), 2 , 1(, 2 , 1, 2 , 1,., 2 , 1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji 定定义义.),(,d),()(,dd),(),()(的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于称称其其为为随随机机变变量量记记YYXxyxfyfyxyxfyFyFYyY
40、 同理可得同理可得 X 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( yyxfxfXX 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(xyyxfx ),()(xFxFXXY109192949210iixXPp jjyYPp 939619594例例 已知联合分布律求其边缘分布律已知联合分布律求其边缘分布律.XY1010iixXPp jjyYPp 939619594已知边缘分布律，能否确定联合分布律？已知边缘分布律，能否确定联合分布律？9291939391929492联合分布联合分布边缘分布边缘分布联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解1098765432112232424340111121112例例2.
41、, .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DF. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1
42、(例例2的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf.的边缘概率密度的边缘概率密度试求二维正态随机变量试求二维正态随机变量, yx. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常数数其其中中例例3解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee121)(112202121)1(212)(221yxfxyxX ,1111222 xyt令令.,e21)(21212)(1 xxfxX二维正态分布的两个边缘分布
43、都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,. 并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY联合分布联合分布边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布u考虑一群人，从中随机挑选一个人，考虑一群人，从中随机挑选一个人，记此人的体重和身高分别为记此人的体重和身高分别为X和和Y，则，则X和和Y是随机变量。是随机变量。X和和Y有相应的分布。有相应的分布。u如果限制如果限制Y取值取值1.8m, ,那么在这个限制那么在这个限制下下X也有一个分布也有一个分布. .一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律二、连续型随机变量的条件概率密度
44、二、连续型随机变量的条件概率密度XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP :),(.,.2,3.,具有分布律具有分布律资料知资料知据积累的据积累的数目数目表示焊点焊接得不良的表示焊点焊接得不良的以以目目数数表示螺栓紧固得不良的表示螺栓紧固得不良的以以处焊点处焊点焊接焊接其二是其二是只螺栓只螺栓其一是紧固其一是紧固由机器人完成的由机器人完成的一辆汽车有两道工序是一辆汽
45、车有两道工序是在一汽车工厂中在一汽车工厂中YXYX例例1XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP .,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在的条件分布律的条件分布律的条件下的条件下求在求在XYYX ., , 0,),(的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若的的对于固定对于固定是二维离散型随机变量是二维离
46、散型随机变量设设XyYppyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij ., 2 , 1, ji其中其中定义定义二维离散型随机变量的条件分布律二维离散型随机变量的条件分布律., 0 ,的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的YxXppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji ., 2 , 1, ji其中其中例例2 一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p 0 ，有，有弱大数定理弱大数定理 ( (辛钦大数定理辛钦大数定理):): .11 lim1 m mnkknXnP319.1111 m
47、 mnnXXDXEXYnkknkknkknkkn )2 . 2().1 , 0(1NnnXYnkkn近似地近似地 m m 321322(0,1). (2.5)nnnpYNnp(1 p)近似地323解解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验试验, 并假定各次试验是独立的并假定各次试验是独立的. 在在90000次波浪冲击中纵摇角度大于次波浪冲击中纵摇角度大于3的的次数记为次数记为X, Xb(90000, 1/3). p 的大小如何；的大小如何； p 大概落在什么范围内；大概落在什么范围内； 能否认为能否认为 p 满足设定要求满足设定要求（如（如 p 0.01）。
48、）。 第第1 1节节 随机样本随机样本总体：研究对象的全体总体：研究对象的全体个体：每个对象个体：每个对象1.721.65 1.73.总体总体: :研究对象的某项数量研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值指标的全部可能的观察值个体个体: :每一个可能观察值为个体。每一个可能观察值为个体。1.721.65 1.73.u从总体中任取一个个体，以从总体中任取一个个体，以X表示该结果。表示该结果。u随机变量随机变量X的的所有可能取值就是总体。所有可能取值就是总体。u从总体从总体X中随机抽取一个个体，中随机抽取一个个体，以以X1表示其结果，表示其结果，X1和和X有相同的分布。有相同的分布。u放回，从总
49、体放回，从总体X中再随机抽取一个个体，中再随机抽取一个个体，以以X2表示其结果，表示其结果，X2和和X X有相同的分布。有相同的分布。u放回，从总体放回，从总体X中再随机抽取一个个体，中再随机抽取一个个体，以以Xn表示其结果，表示其结果，Xn和和X有相同的分布。有相同的分布。uX1Xn为来自总体为来自总体X的的简单随机样本简单随机样本。从总体中抽取的部分个体称为一个样本。从总体中抽取的部分个体称为一个样本。 抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母随机变量，用大写字母 X1, X2, , Xn 表示；表示； 抽取后经观测就有确定的抽取后经
50、观测就有确定的 观测值，因此，样本观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小又是一组数值。此时用小 写字母写字母 x1, x2, , xn 。样本的两重性样本的两重性331. )F(x)x,x(xFn1iin21* n1iin21*)f(x),x,x(xf332第三节第三节 抽样分布抽样分布X1,X2,.,Xnx1,x2,.,xn样本值样本值g(X1,X2,.,Xn)g(x1,x2,.,xn)观察值观察值设为来自总体设为来自总体 的一个样本，的一个样本，nXX ,1),(2 m mNX已已知知，未未知知其其中中2, m m 问下列那些是统计量问下列那些是统计量?;2XXn1 思考？思考？;nXX
