1、一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结第六节第六节 独立性独立性一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性,.,),23(5取到绿球取到绿球第二次抽取第二次抽取取到绿球取到绿球第一次抽取第一次抽取记记地取两次地取两次有放回有放回每次取出一个每次取出一个红红绿绿个球个球盒中有盒中有 BA则有则有),()(BPABP .发生的可能性大小发生的可能性大小的发生并不影响的发生并不影响它表示它表示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1.引例引例.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足
2、等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.说明说明 2.定义定义两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()()(BPAPABP 则则例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系AB2
3、1)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP3.三事件两两相互独立的概念三事件两两相互独立的概念.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两独立三个事件两两独立4.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,
4、相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广证明证明)()()(APABPABP )()()()(BPAPBPAP ).()(BPABP .).()(,. 0)(,
5、反之亦然反之亦然则则互独立互独立相相若若且且是两事件是两事件设设BPABPBAAPBA 二、几个重要定理二、几个重要定理定理一定理一证明证明.独独立立与与先先证证BA,)( BAABBAABA且且因为因为),()()(BAPABPAP 所以所以). ()()(ABPAPBAP 即即.,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA定理二定理二)()()()(BPAPAPBAP 因因而而)(1)(BPAP ).()(BPAP . 相互独立相互独立与与从而从而BA又因为又因为 A、B 相互独立相互独立, 所以有所以有),()()(BPAPABP 两
6、个结论两个结论.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn . ,)2(,. 22121个事件仍相互独立个事件仍相互独立所得的所得的立事件立事件们的对们的对中任意多个事件换成它中任意多个事件换成它则将则将相互独立相互独立个事件个事件若若nAAAnAAAnnn 例例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞问击落飞机的概率是多少机的概率是多少?射击问题射击问题解解,名射手击落飞机”名射手击落飞机
7、”为“第为“第设事件设事件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则三、例题讲解三、例题讲解.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 例例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定
8、被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中飞飞机机表表示示有有设设iAiA, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机 , ,1CBACBACBAA 由于由于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAP
9、CPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例例例3 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色其第一面染成红色，第二面染成白色第二面染成白色 ， 第三面染成黑色第三面染成黑色，而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A ， B，C
10、 分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，白、黑分别出现两面， 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 例例4 同时抛掷
11、一对骰子同时抛掷一对骰子,共抛两次共抛两次,求两次所得点求两次所得点数分别为数分别为7与与11的概率的概率.解解事件事件 A 为两次所得点数分别为为两次所得点数分别为 7 与与 11.则有则有)()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi点”点”次得次得为“第为“第设事件设事件. 2 , 111 iiBi点”点”次得次得为“第为“第设事件设事件. . )4, 3, 2, 1(, )(4, 3, 2, 14,.)()(试求系统的可靠性试求系统的可靠性个元件的可靠性为个元件的可靠
12、性为设第设第称为串并联系统称为串并联系统联结联结按先串联再并联的方式按先串联再并联的方式工作的元件工作的元件个独立个独立设有设有如图所示如图所示的可靠性的可靠性或系统或系统元件元件能正常工作的概率称为能正常工作的概率称为或系统或系统一个元件一个元件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(个元件正常工作个元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 例例5. 表示系统正常工作表示系统正常工作以以 A.4321AAAAA 则有则有:,得得系系统统的的可可靠靠性性由由事事件件的的独独立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(4
13、3214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 例例6 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自该自该批乐器中随机地取批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是相件乐器的测试是相互独立的互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认为件中至少有一件在测试中被认为音色不纯音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率
14、为为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音色不件是音色不纯的纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解 , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件乐器件乐器随机地取出随机地取出“件件表示事表示事设以设以 iHi, 件音色不纯”件音色不纯”其中恰有其中恰有 i.接收”接收”表示事件“这批乐器被表示事件“这批乐器被以以A纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且
15、三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 ,3210的一个划分的一个划分是是 SHHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP,310019624)(2 HP.310034)(3 HP)()()( 30iiiHPHAPAP 故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP., )21(,7互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三
16、局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的比比赛赛甲甲、乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球 pp例例解解,甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:获胜的概率为获胜的概率为于是由独立性得甲最终于是由独立性得甲最终).1(2221pppp ,3,局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜,比赛四局比赛四局例如例如:则甲的胜局情况可能是
17、则甲的胜局情况可能是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:,甲最终获胜的概率为甲最终获胜的概率为在五局三胜制下在五局三胜制下.)1(24)1(2323332pppppp :于是由独立性得于是由独立性得)312156(23212 pppppp由于由于).12()1(322 ppp;,2112ppp 时时当当.21,2112 ppp时时当当. ,21制有利制有利对甲来说采用五局三胜对甲来说采用五局三胜时时故当故当 p. 21,21都是都是相同的相同的概率是概率是两种赛制甲最终获胜的两种赛制甲最终获胜的时时当当 p四、小结四、小结)()()(,. 1BPAPABPBA 两事件独立两事件独立 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三个事件相互独立三个事件相互独立.,. 2相相互互独独立立与与与与与与相相互互独独立立重重要要结结论论BABABABA
