1、nnnAA 111AA 111ABB A 11TTAA 111AOAOOBOB nnnnA BAB TTTABB A 111OAOBBOAO AOABCB1.矩阵及行列式的有关性质矩阵及行列式的有关性质11AA 11AA EAAAAA 1AAA 1AA A 11AAAA1nnAA 0nnnAAR An方方阵阵可可逆逆 0nnnAAR An方方阵阵不不可可逆逆 nBRAR 有无穷多解有无穷多解bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组m nAxb 齐次线性方程组齐次线性方程组0m nAx nAR 0Ax 只只有有零零解解 nAR 0Ax 有有非非零零解解Axb 有有唯唯一一解解 nBRAR Axb
2、 无无解解 R AR B （未知量的个数）（未知量的个数）（未知量的个数）（未知量的个数）2.线性方程组的理论：线性方程组的理论： BA b 1212 (1),0.xxAxbxAx设设及及都都是是的的解解 则则为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质 (2),0,.xAxbxAxxAxb设设是是的的解解是是的的解解则则仍仍是是方方程程的的解解.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组非齐
3、次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题: :bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 12,m 线线性性相相关关3.向量组线性相关与线性无关：向量组线性相关与线性无关： 1212,0mmxxx 齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解 12,(mRm 向向量量组组的的秩秩向向量量的的个个数数）1im 存存在在某某个个可可由由其其余余个个向向量量线线性性表表出出12,m
4、线线性性无无关关 1212,0mmxxx 齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有零零解解 12,(mRm 向向量量组组的的秩秩向向量量的的个个数数）1im 每每一一个个向向量量都都不不能能由由其其余余个个向向量量线线性性表表出出2.BABA若若向向量量组组 能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则向向量量组组 的的秩秩不不大大于于（小小于于等等于于）向向量量组组 的的秩秩, ()( ).TAmnR A AR A1.1.设设 为为矩矩阵阵 则则 ( )( ),( )( ).m nm ss nCABR CR A R CR B3.3.设设，则则, ( )( ).m nm mm nn nCPAQP
5、QR CR A 4.4.设设，且且矩矩阵阵可可逆逆，则则4.4.关于矩阵秩的一些结论：关于矩阵秩的一些结论：()( )( )ABmnR ABR AR B5.5.， 都都是是矩矩阵阵, ,则则证明：证明：1212,rniiiA 不不妨妨设设 的的列列向向量量组组的的最最大大线线性性无无关关组组为为1212,tnjjjB的的列列向向量量组组的的最最大大线线性性无无关关组组为为1212(,) ,(,)nnAB 设设1212(,)(,)nnAB 则则()( )( )ABmnR ABR AR B5.5.， 都都是是矩矩阵阵, ,则则1122(,)nn 1212,rtiiijjjAB 则则的的列列向向量量
6、组组 可可由由线线性性表表出出 1212(),rtiiijjjR ABR故故rt( )( )R AR B, ( )( )m nn sABOR AR Bn6.6.若若则则, ( )( )0,0 .nnnnABA BOR AnR BnAB 7.7.若若，都都为为非非零零矩矩阵阵，且且则则， 即即证明：证明：12,sB 设设 的的列列向向量量组组为为 12,sABA 则则 12,0sAAA120sAAA故故12,0sAx 即即为为齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解. .( )R Ar 不不妨妨设设，20,n rAx 1 1的的基基础础解解系系为为 ， ，122,sn r 1 1则则可可由由， ，线
7、线性性表表出出，( )R Bnr从从而而，( )( )R AR Bn即即8. ()R A ,()nnR An 若若1 ,()1nR An若若0 ,()2nR An若若证明：证明：()nR An 1)1)若若，0A 则则，10nnAAA 由由可可知知，().R An 即即()1nR An2)2)若若，100 .AnA则则 中中存存在在一一个个阶阶子子式式不不为为 ，且且0A 因因此此，()1.R A 即即0AAA AA E又又，( )()R AR An 则则， ()( )11R AnR Ann 即即，()1.R A 故故()2nR An3)3)若若，10An 则则 中中所所有有阶阶子子式式全全为为 ，0A 故故，()0.R A 即即
