1、第一节 二次型及其标准形第五章二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法一、一、 二次型及其标准形的概念二次型及其标准形的概念三、化二次型为标准形三、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .121 ,nnxxx定定义义含含有有 个个变变量量的的二二次次齐齐次次多多项项式式; , 称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型. , 称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykyk
2、f 称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）若标准形的系数只取若标准形的系数只取1 1，-1-1或或0 0，即，即22222121pprfzzzzz 称为二次型的称为二次型的规范形规范形1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法nnxxaxxa
3、xaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax 111njjjaxx 221njjjaxx 1nnjnjjaxx 11nnijijija x x ,1nijijijjii ja x xaa 或或记记为为2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnn
4、nnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(., 为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩
5、阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA; 的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 设设三、化二
6、次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形(),ijCCc 记记若若 为为可可逆逆矩矩阵阵，记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx AxxfT 有有将其代入将其代入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 则 TTTACCB .R BR A 所所以以CACTT TC ACB B故故也也 为为 对对 称称 矩矩 阵阵 . .C且且 为为可可逆逆矩矩阵阵 , C, CA BnCACBBAAACA 定定义义 设设都都是是 阶阶矩矩阵阵 若若存存在在可可逆逆矩矩阵
7、阵使使则则称称 合合同同于于对对 进进行行运运算算称称为为对对 进进行行合合同同变变换换. .矩阵的合同是一种等价关系，具有性质：矩阵的合同是一种等价关系，具有性质：反反身身性性)1()2(对对称称性性传传递递性性)3(.AA与与 本本身身合合同同,.ABBA若若 与与 合合同同 则则 与与 合合同同,.ABBCAC若若 与与 合合同同与与 合合同同 则则 与与 合合同同TBC AC 令令，A其其中中 为为对对称称矩矩阵阵，C矩矩阵阵 可可逆逆TBC AC 又又，说明说明 2221122TTnnyC ACyk yk yk y 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二
8、次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中
9、中ijnaAf ,1 ,nijijijjii jfx Axa x xaaxCzfCz 推推论论: : 任任给给二二次次型型总总有有可可逆逆线线性性变变换换使使为为规规范范形形. .用用正交变换化二次型为标准形正交变换化二次型为标准形的具体步骤的具体步骤1. ,;Tfx AxA 将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式求求出出;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 12124. ,nnC 将将正正交交化化后后的的特特征征向向量量单单位位化化得得记记22115. ,.nnxCyffyy 作作正正交交变变换换则则得得 的的标标准准形形 3.0iiEA xA对对于于每每个个特特征征值值:
10、 :由由，求求出出 的的属属于于特特征征值值 的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量, ,再再将将其其正正交交化化解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A172221442414EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2从而得特征值从而得特征值.18, 9321 990,EA x 1 1当当时时解解方方程程组组得得基基础础解解系系2.2.求特征向量求特征向量 2318180,EA x 当当时时解解方方程程组组
11、得得基基础础解解系系,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T .)1 , 1 , 21(1T 22 取取 2333222, 即得正交向量组即得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T 11,(1 2,1,1)T 对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，23, 将将正正交交化化： ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得正正交交矩矩阵阵,051522 ,3232311 .4554544523 1 3252452 3154452 30545P 3 3将正交向量组单位化将正交向量组单位化于是所求正交变换为于是所求正交变换为1122331 325
12、2452 3154452 30545xyxyxy .18189232221yyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 , 434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它的特征多项式为它的特征多项式为111111111111EA 111111111111EA 11111111111111 11110122(1)02120001 212121 2321(23)(3)112343,1A 于于是是 的的特特征征值值为为,11111 得基础解系得基础解系.
13、1111211 p单位化即得单位化即得2341,()0,EA x当当时时 解解方方程程组组234111100 ,010001 得得基基础础解解系系3,( 3)0,EA x 1 1当当时时 解解方方程程组组234将将,正正交交化化：22 取取 2333222, 单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有 342444232233, 1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的
14、乘积项集中，进行配方，使得配方后的项中的乘积项集中，进行配方，使得配方后的项中不再含有这个变量，再对其余的变量同样进行，不再含有这个变量，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过这样的非退化线性直到都配成平方项为止，经过这样的非退化线性变换，就得到标准形变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法拉格朗日配方法，步骤如下：2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中
15、方中方法配方法配方.化二次型为标准形，若不限于正交变换，则可用解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332
16、232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 111012 ,10001CC 11221233 ,xyyxyyxy 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入22121323 2248.fyyy yy y 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .
17、622223232231yyyyyf 113223332zyyzyyzy 令令113223332yzzyzzyz .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C113111001 20C 说明：用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为说明：用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为标准形时，二次型的标准形不是唯一的，但规范性标准形时，二次型的标准形不是唯一的，但规范性是唯一的是唯一的.五、小结 , TTfx AxxCyfABC AC 二二次次型型经经可可逆逆变变换换后后 其其秩秩不不变变但但 的的矩矩阵阵由由 变变为为与与之之合合同同的的矩矩阵阵1.二次型及其标准形的概念二次型及其标准形的概念3.二次型化为标准形的方法：二次型化为标准形的方法：2.二次型的矩阵、二次型的秩、矩阵合同二次型的矩阵、二次型的秩、矩阵合同拉格朗日配方法拉格朗日配方法正交变换法正交变换法22212312132223232222, , .fxxxax xx xbx xfyyab思思考考：已已知知二二次次型型经经正正交交变变换换化化为为标标准准形形则则00（标准形中的系数为其特征值）（标准形中的系数为其特征值）
