1、第三节 正定二次型第五章二、正（负）定二次型的概念二、正（负）定二次型的概念一、一、 惯性定理惯性定理三、三、 正（负）定二次型的判别正（负）定二次型的判别四、四、 小结小结一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩二次型的秩下面限定所用变换为下面限定所用变换为实变换实变换，来研究二次型的标准形所具有，来研究二次型
2、的标准形所具有的性质的性质 22211222221 122111() , 0 , 0 ,.Trrirrirrfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzkk 定定理理 惯惯性性定定理理设设实实二二次次型型的的秩秩为为有有两两个个实实的的可可逆逆变变换换及及使使及及则则, 中中正正数数的的个个数数与与, ,中中正正数数的的个个数数相相等等 二次型的标准形中正系数的项数称为二次型的二次型的标准形中正系数的项数称为二次型的正惯性正惯性指数指数，负系数的项数称为二次型的，负系数的项数称为二次型的负惯性指数负惯性指数.二、正(负)定二次型的概念 ( ),0,Tf xx Axx定定义义设设有有实
3、实二二次次型型对对于于任任意意的的 (1)0,;fxfA 如如果果都都有有则则称称 为为正正定定二二次次型型并并称称对对称称矩矩阵阵 是是正正定定的的 (2)0,fxfA 如如果果都都有有则则称称 为为半半正正定定二二次次型型并并称称对对称称矩矩阵阵 是是半半正正定定的的；(3)( )0, ,f xfA 如如果果都都有有则则称称 为为负负定定二二次次型型并并称称对对称称矩矩阵阵 是是负负定定的的；(4)( )0, ,.f xfA 如如果果都都有有则则称称 为为半半负负定定二二次次型型并并称称对对称称矩矩阵阵 是是半半负负定定的的.ff如如果果二二次次型型 既既不不是是半半正正定定又又不不是是半
4、半负负定定，则则称称 是是不不定定的的证明证明使使设设可可逆逆变变换换Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性 ., 10niki 设设, 0 x任给任给, 0 xCy1-则则故故 . 021 iniiykxf三、正(负)定二次型的判别2 :.Tfx Axnn 定定理理实实二二次次型型为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是 它它的的标标准准形形的的 个个系系数数全全为为正正, ,即即它它的的正正惯惯性性指指数数等等于于必要性必要性, 0 sk假假设设有有() ,syen 则则当当维维单单位位向向量量 时时 . 0 sskCef, 0 sCe显显然然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与
5、这与 f故故 ., 10niki 推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正AA22212 nzzz推推论论正正定定二二次次型型的的规规范范形形为为 :.Tfx Axn 定定理理实实二二次次型型为为负负定定的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的负负惯惯性性指指数数等等于于, 011 a, 022211211 aaaa,11110;nnnnaaAaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是
6、：的各阶的各阶顺序主子式顺序主子式都为正，即都为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即A正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质T11. ,A ,;AAA 设设 为为正正定定矩矩阵阵 则则均均为为正正定定矩矩阵阵2. ,.A BnAB 若若均均为为 阶阶正正定定矩矩阵阵 则则也也是是正正定定矩矩阵阵注意注意：正定矩阵必须为实对称矩阵：正定矩阵必须为实对称矩阵提示提示 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为
7、正的特征值全为正AA提示提示 利用正定矩阵的定义利用正定矩阵的定义 3. ,01,2,.ijiiAanain若若为为 阶阶正正定定矩矩阵阵 则则0,x 对对任任意意有有0Tx Ax 0,0,1,0,0() ,Tixen 取取维维单单位位向向量量 01,2,.Tiix Axain则则逆否命题：若矩阵主对角线上的某个元素小于或等于逆否命题：若矩阵主对角线上的某个元素小于或等于0 0，则，则此矩阵一定不为正定矩阵此矩阵一定不为正定矩阵例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524
8、212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 5210,2152421210,425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 02662252221121
9、1 aaaa, 080 A3.f根根据据定定理理 知知 为为负负定定,402062225 A2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法）相应的判别方法.ff二二次次型型 负负定定二二次次型型- - 正正定定 解解 (,),TT
10、Tzxymnx ymn设设为为维维向向量量 其其中中分分别别是是维维和和 维维列列向向量量 yxBAyxCzzTTT00),(, 0 ByyAxxTT.,为正定矩阵为正定矩阵故故是实对称阵是实对称阵且且CC 1. ,0.0A BmnACB 设设分分别别为为 阶阶阶阶正正定定矩矩阵阵 试试判判定定分分块块矩矩阵阵是是否否为为正正定定矩矩阵阵思考题思考题说明：说明：此题也可由特征值判别法判别C显显然然 是是对对称称阵阵0,zx y 若若则则不不同同时时为为零零向向量量于是2 2. (),.TAAAEAE 已已知知 是是实实反反对对称称矩矩阵阵 即即满满足足试试证证为为正正定定矩矩阵阵 其其中中 是是单单位位矩矩阵阵2EA 故故为为实实对对称称矩矩阵阵. .0,x 对对任任意意有有2()TxEAx 2.EA 故故是是正正定定矩矩阵阵()TTxEA A x 证证明明： 2TTTEAEA ATTEAA EAA 2EA ()0TTx xAxAx
