1、第 1页（共 7 页）丰台区 20212022 学年度第一学期期末练习高三数学参考答案202201一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分题号12345678910答案BDABAACDCB二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分118012351352141，12(答案不唯一)15三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题共（本小题共 13 分）分）解： 选条件：3c .（）在ABC中，因为7a ，8
2、b ，3c ，由余弦定理，得222cos2bcaAbc64949283 12.因为0A ,所以3A.7分（）由（）可得3sin2A .所以ABC的面积113sin836 3222SbcA .13 分选条件：1cos7B .（）在ABC中，因为1cos7B ,所以4 3sin7B .由正弦定理，得sin74 33sin872aBAb.由题可知2B ,所以02A .所以3A.7分（）由（）可得1cos2A .因为sinsin()CAB sin()AB第 2页（共 7 页）sincoscossinABAB3114 3()2727 3 314，所以ABC的面积113 3sin786 32214SabC
3、 .13 分17.（本小题共（本小题共 15 分）分）证明： （）因为平面PAD 平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，PAAD，PA平面PAD，所以PA 平面ABCD.4 分（）因为底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，所以AB，AD，AP两两互相垂直如图，建立空间直角坐标系Axyz因为2PAAB，所以(0 0 0)A ，(0 0 2)P ，(2 2 0)C，(011)Q ， ，(2 2 0)AC , ,，(0 11)AQ ,.因为PA 平面ABCD，所以(0 0 2)AP , ,为平面ABCD的一个法向量.设平面ACQ的一个法向量为()x y z, ,n，则00.ACAQ ，nn
4、即2 +200.xyyz,令1x ，则11yz ,.于是(11 1),- ,n.设平面ACQ与平面ABCD的夹角为，所以|3cos|cos|3| |APAPAP ,|nnn即平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为33.11 分第 3页（共 7 页）（）由（）知，平面ACQ的法向量为(11 1),n，(2 02)PB , ,-.因为0PB n，且PB平面ACQ，所以PB平面ACQ.所以点P到平面ACQ的距离即为直线PB到平面ACQ的距离.因为(0 0 2)AP , ,，所以点P到平面ACQ的距离为|2 3|3AP nn，即直线PB到平面ACQ的距离为2 33.15 分18 （本小题共（本小题共
5、14 分）分）解： （） 由题意知，样本中学生共有 100+100+100=300 人，其中体验戏曲活动的学生共 20+80+75=175 人，设事件 A 为“从样本学生中随机选取 1 名学生，这名学生体验戏曲活动” ，故所求概率为1757( )30012P A .4 分（）由题意知，体验人数超过该校学生人数 50%的传统艺术活动有 3 项，X的所有可能值为 1，2，3.1232353(1)10CCP XC，21323563(2)105CCP XC，33351(3)10CP XC.所以X的分布列为X123P31035110故X的数学期望3319()123105105E X .11 分（）154
6、32ppppp.14 分第 4页（共 7 页）19.（本小题共（本小题共 14 分）分）解解： （）当1a 时，因为2( )lnf xxx，所以1( )2fxxx，(1)1f .又因为(1)1f，所以曲线( )yf x在点(1(1)f,处的切线方程为11yx .即0 xy.4 分（）因为2( )ln (f xxax aR且0)a ，所以22( )2(0).axafxxxxx，当0a 时，( )0fx，所以( )f x在(0)，上单调递增.取1eax ，则112(e )(e )10aaf ，不符合题意.当0a 时，令( )=0fx，解得2ax 或2ax （舍）.当(0)2ax,时，( )0fx，
7、所以( )f x在区间(0)2a,上单调递减.当()2ax,时，( )0fx，所以( )f x在区间()2a,上单调递增.所以( )f x在(0)，上的最小值为()ln(1ln)22222aaaaafa.若( )0f x 恒成立，只需()02af，解得02ea.综上可知，a的取值范围是(0 2e,.14 分20 （本小题共（本小题共 15 分）分）解解： （）由题意得2222222211caabcab,，解得24a ，22b .所以椭圆C的方程是22142xy.5 分第 5页（共 7 页）（）由题意知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为(4)yk x（0k ） ，11()M x y,，22()
8、N xy,，由22(4)142yk xxy，得2222(21)163240kxk xk.则21221621kxxk，212232421kx xk.依题意2222( 16)4(21)(324)0kkk ，解得66(0)(0)66k ,.因为点A的坐标为(2 0),，所以直线AM的方程为11(2)2yyxx.令4x ，得点P的纵坐标为111122 (4)22yk xyxx，所以114| 2|2xDPkx.同理，可得224| 2|2xDQkx.于是21212(4)(4)| | 4(2)(2)xxDPDQkxx2121212124()1642()4x xxxkx xxx2222222223241641
9、62121432416242121kkkkkkkkk22222223246416(21)4324324(21)kkkkkkk221248kk6.所以| |DPDQ为定值6.15分第 6页（共 7 页）21 （本小题共（本小题共 14 分）分）解： （）因为|24| |43|，所以该数列不是 M 数列；因为|42| |28| |81|，所以该数列是 M 数列.4 分（）必要性：若数列 na是等差数列，设公差为d，则1| |mmmbaad.所以数列 mb是常数列.充分性：若数列 mb是常数列，则1(1 22)mmbbmn, , ,L，即112| |(1 22)mmmmaaaamn, , ,K.所以
10、112mmmmaaaa或112()mmmmaaaa .因为数列 na的各项互不相同，所以112mmmmaaaa.所以数列 na是等差数列.8 分（）当3m 时，因为1| 2(1 2)iiaai ,，所以1223| 5aaaa，不符合题意；当4m 时，数列为3 2 4 1，.此时122334| 6aaaaaa，符合题意；当5m 时，数列为2 3 4 5 1, , , ,.此时12233445| 7aaaaaaaa，符合题意；下证当6m 时，不存在m满足题意.令1|(1 21)kkkbaakm, , ,L，则1211mbbbL，且112mkkbm，所以kb有以下三种可能：1 (1 22)4 (1)
11、kkmbkm, , ,L；1 (1 23)2 (2)3 (1)kkmbkmkm, , ,L； 1 (1 24)2 (321)kkmbkmmm, , ,L.当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时，因为122mbbbL，由（）知：121ma aa, , ,L是公差为 1（或1）的等差数列.第 7页（共 7 页）当公差为 1 时，由14mb得14mmaa或14mmaa，所以1142mmaaamm或154mmmaaa，与已知矛盾.当公差为1 时，同理得出与已知矛盾.所以当1 (1 22)4 (1)kkmbkm, , ,L时，不存在m满足题意.其它情况同理.综上可知，m的所有取值为 4 或 5.14 分（若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
