1、常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节线性微分方程 第七章 一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程三、欧拉方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.
2、 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 ,
3、 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCx
4、CCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)2
5、4(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 02)(22222rr例例5. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(
6、22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxi
7、r2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCx
8、CexCCyx2sin2cos)(4321机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfyqypy ),(为常数qp二、二阶常系数线性非齐次微分方程根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx（一）（一）型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)
9、(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推
10、广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程
11、特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432
12、CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 （二）（二）型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xd
13、xcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir3
14、2, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xk
15、xdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2si
16、n)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页
17、 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、欧拉方程三、欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1)
18、 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefyb
19、tybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数, 得4121212tty机动 目录 上页 下页 返回 结
20、束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程) ,ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr设特解:,2 tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtD 记则化为teyDDD54) 1(teyD5)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teAy代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)() 1(21aefypDpDDttDdd记
