1、第六节第六节(2) (2) 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13章 三、微分方程的幂级数解法三、微分方程的幂级数解法 一、近似计算一、近似计算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!254134105 . 013431518231
2、!254112331!35941解解: 553243240514)1(331机动 目录 上页 下页 返回 结束 )11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 计算2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有用此式求 ln2 计算量大9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上
3、述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 在展开式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(
4、120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin误差不超过 510的近似值 , 并估计91802015643. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 取 例例4. 计算积分xexd21201的近似值, 精确到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 !3721!252132111
5、642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足4nxexd22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算积分xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 0
6、05556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、欧拉二、欧拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 则称 收敛收敛 , 且其和为)(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛 .,1uunn,1vvnn若nnnviu 1. viu 221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛. 由于, 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 复变量yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对
7、收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则ieexxixi2sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 据此可得ni)sin(cosninsincos(
8、德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz第六节 目录 上页 下页 返回 结束 三、微分方程的幂级数解法三、微分方程的幂级数解法),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf202010)()(xxaxxayy代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21naaa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 nnxxa)(01. 一阶微分方程的情形一阶微分方程的情形例例6. 2
9、yxy求方程解解: 根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 5220121xxy2. 二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题0)()( yxQyxPy定理定理:nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!1e0nn
10、xxn)211e(2xxxyx注意到:此题的上述特解即为 备用题备用题 1. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;exyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和. (2002考研) 解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xyyye , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:i23212, 1r齐次
11、方程通解为)23sin23cos(e2121xCxCYx设非齐次方程特解为,exAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为xe31)23sin23cos(e2121xCxCyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(e3123cose3221xxxx! )3(30nxnn2.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 故方程满足定理条件.设方程的解为,0kkkxay代入 : 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1
12、(0kkkxann因方程特点,不用将 P, Q 进行展开整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的两个线性无关特解.
