1、1.7 常见分布常见分布1.7.1 常见的离散型分布常见的离散型分布一一. 两点分布两点分布 如果随机变量如果随机变量X的分布为的分布为 则称则称X服从服从两点分布两点分布，也称为，也称为贝努里贝努里分布分布。当。当a、b分别为分别为0、1时，称这种时，称这种分布为分布为01分布分布。XPab1pp二二. 二项分布二项分布设随机试验设随机试验E只有两种可能的结果只有两种可能的结果且且将将E独立地重复独立地重复n次，那么在次，那么在n次试验中事次试验中事件件A发生发生m次的概率为次的概率为称为称为二项分布二项分布。AA ,qpAPpAP1)(,)(nmqpCmPmnmmnn0)(三三.泊松分布泊
2、松分布设随机变量设随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,且分且分布密度为布密度为则称则称X服从服从泊松分布泊松分布。0;,2,1 ,0!kekkXPk1.7.2 常见的连续分布常见的连续分布一一. 均匀分布均匀分布设连续型随机变量设连续型随机变量X在有限区间在有限区间a,b内内取值，且其概率密度为取值，且其概率密度为则称则称X在区间在区间a,b上服从上服从均匀分布均匀分布。elsebxaabxfX01)(随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为bxbxaaxabaxxFX10)(12)(;222abbamXX1)一维高斯分布一维高斯分布 高斯变量高斯变量X的概率密度为：的概率密度为：
3、222)(21)(mxXexf二二. 高斯分布高斯分布概率分布函数概率分布函数)(21)(22mxdtexFmxtX 对高斯变量进行归一化处理后的对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即随机变量，称为归一化高斯变量。即令令 ，归一化后的概率密，归一化后的概率密 度为度为2221)(yYeyfmXY 服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量的高斯变量X，其特征函数为其特征函数为22)( eX 服从服从 的高斯变量的高斯变量Y，其特，其特征函数为征函数为),(2YYmN222)(YYmjYe （1）已知）已知X为高斯变量，则为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数
4、）也为高斯变量，且为常数）也为高斯变量，且222XYXYabamm特点：特点： （2）高斯变量之和仍为高斯变量。）高斯变量之和仍为高斯变量。 例：求两个数学期望和方差不同且互相例：求两个数学期望和方差不同且互相独立的高斯变量独立的高斯变量X1,X2之和的概率密度。之和的概率密度。 推广到多个互相独立的高斯变量，其推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即和也是高斯分布。即 若若Xi服从服从 ，则其和的数学，则其和的数学期望和方差分别为期望和方差分别为niiXY1),(2iimNniiYniiYmm1221 若有大量相互独立的随机变量的若有大量相互独立的随机变量的和和 其中每个随机变量其
5、中每个随机变量Xi对总的变量对总的变量Y的影的影响足够小时，则在一定条件下，当响足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量时，随机变量Y是服从正态是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律分布的，而与每个随机变量的分布律无关。无关。niiXY1n（3）中心极限定理）中心极限定理 结论：任何物理过程，如果它为许多结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。高斯分布。2）二维高斯分布）二维高斯分布 设设X是均值为是均值为 ，方差为，方差为 的正的正态随机变量，态随机变量，Y是均值为是均值为 ，方差为，方差为 的正态随机变量，且的正态随机
6、变量，且X,Y的相关系的相关系数为数为 ，则二维随机变量，则二维随机变量(X,Y)为一为一个二维正态随机变量，其联合概率密个二维正态随机变量，其联合概率密度函数为度函数为Xm2XYm2YXYr)1 (2)()(2)(22222222121),(XYYXYXYXYXXYXYrmymymxrmxXYYXeryxf 设设n维随机变量向量为维随机变量向量为Y，数学期望和，数学期望和方差向量为方差向量为m和和s，它们具有如下形式：，它们具有如下形式： Y= m= s=nYYY21nmmm2122221n协方差矩阵协方差矩阵C C =nnnnnnCCCCCCCCC212222111211则则n维联合概率密
7、度函数为维联合概率密度函数为2)()(2121)2(1)(myCmynTeCyf三三. 分布分布 1) 中心中心 分布分布 若若n个互相独立的高斯变量个互相独立的高斯变量X1, X2, Xn的数学期望都为零，方差为的数学期望都为零，方差为1，它们，它们的平方和的平方和 的分布是具有的分布是具有n个自由度的个自由度的 分布分布。22niiXY122其概率密度为其概率密度为0)2(21)(2122yeynyfynnYdtetxtx01)( 当互相独立的高斯变量当互相独立的高斯变量Xi的方差不是的方差不是1，而是而是 时，时，Y的概率密度为的概率密度为20)2()2(1)(221222yeynyfy
8、nnY 性质：两个互相独立的具有性质：两个互相独立的具有 分布分布的随机变量之和仍为的随机变量之和仍为 分布，若它分布，若它们的自由度分别为们的自由度分别为n1和和n2，其和的自，其和的自由度为由度为n= n1+n2。222) 非中心非中心 分布分布 若互相独立的高斯变量若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,n)的方差为的方差为 ，数学期望为，数学期望为 ，则，则 为为n个自由度的非中心个自由度的非中心 分布分布。22imniiXY122其概率密度为其概率密度为 称为称为非中心分布参量非中心分布参量 0)()(21)(21224222yyIeyyfnynYniim1202)1(!)2()(mm
9、nnmnmxxI 性质：两个相互独立的非中心性质：两个相互独立的非中心 分分布的随机变量之和仍为非中心布的随机变量之和仍为非中心 分布，分布，若它们的自由度为若它们的自由度为n1和和n2，非中心分，非中心分布参量分别为布参量分别为 和和 ，其和的自由，其和的自由度为度为n= n1+n2，非中心分布参量为，非中心分布参量为221221四四. 瑞利分布和莱斯分布瑞利分布和莱斯分布1) 瑞利分布瑞利分布 对于两个自由度的对于两个自由度的 分布，即分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为是数学期望为零，方差为且相互独立的高斯变量，则且相互独立的高斯变量，则为为瑞利分布瑞利分布。22221XXY22221XXYR R的概率密度为的概率密度为0)(2222rerrfrR 对对n个自由度的个自由度的 分布，若令分布，若令 则则R为为广义瑞利分布广义瑞利分布2niiXYR120)2(2)(2222)2(1renrrfrnnnR2) 莱斯分布莱斯分布 当高斯变量当高斯变量Xi(I=1,2,n)的数学期望的数学期望为为 不为零时，不为零时， 是非中心是非中心 分布，而分布，而 则是则是莱斯分布莱斯分布。imniiXY122YR对于任意对于任意n值有值有0)()(212222222rrIerrfnrnnR
