1、测量学测量学同济大学同济大学 测量与国土信息工程系测量与国土信息工程系 第六章第六章 测量误差基础知识测量误差基础知识6 6-1 测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差的来源一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响一一.产生产生测测量量误差的原误差的原因因一、一、产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限, ,轴系残余误差轴系残余误差, ,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制, ,经验
2、经验, ,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素( (温度变化温度变化, ,风风, ,大气折光大气折光) ) 结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词有关名词：观测条件观测条件: : 上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测: :在上述条件基本在上述条件基本相同相同的情况下进行的各的情况下进行的各 次观测，称为次观测，称为等精度观测等精度观测。二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规
3、律一定的规律变化。变化。例：例： 误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) )操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) 二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差表面
4、看没有任何规律性，但大量的误差有有“统计规律统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正 偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差如何处理含有偶然误差的数据？ 例如：l对同一量观测了n次 观测值为 l1,l2,l3,.ln 如何取值取值？如何评价数据的精度？三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 1 1、偶然误差的定义：、偶然误差的定义： 设某一量的真
5、值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：nlll,21n,21iilX (6-1-1)(6-1-1)真误差真值观测值 例如： 对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i= 180 (i +i+ I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21
6、 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表6-1 偶然误差的统计 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d 有限性：偶然误差应小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次
7、数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。偶然误差偶然误差的特性的特性 有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相等 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。2)(221)(xexfd= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f6 6 -2 评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）的偶然误差是观测值式中：叫标准差当离散型方差：iiniiiniiilnnppdfD,1,)()(12212222中误差n二、相对中误差二、相对中误差平均误差lnm一、中误差一、中误差按观测值的真误差计算中误差按
8、观测值的真误差计算中误差第一组观测 第二组观测 次序 观测值 l 2 观测值 l 2 1 1800003 -3 9 1800000 0 0 2 1800002 -2 4 1595959 +1 1 3 1795958 +2 4 1800007 -7 49 4 1795956 +4 16 1800002 -2 4 5 1800001 -1 1 1800001 -1 1 6 1800000 0 0 1795959 +1 1 7 1800004 -4 16 1795952 +8 64 8 1795957 +3 9 1800000 0 0 9 1795958 +2 4 1795957 +3 9 10 1
9、800003 -3 9 1800001 -1 1 | 24 72 24 130 中误差 7.221nm 6.322nm 4 .221 n1)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf 如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f正态分布2)(2)(22221)(1, 0021)(xxexfxexf则若=xy= f()()f()fm1m1m2m212m1m2+-22 11m m1 1较小较小, , 误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离
10、散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。 两组观测值中误差图形的比较两组观测值中误差图形的比较：m m1 1= = 2.72.7 m m2 2= = 3.63.6 正态分布的特征 正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。 当 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近线。 用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率xxxx9973. 0)33()(9545. 0)22()(6826. 0)()(1)(,),(332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当1)(),(,)()
11、(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf区别错误与误差的阀值 随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为l则函数是连续型随机变量X的分布密度函数 如果 就得正态分布222)(21)(xexf三、极限误差三、极限误差22221)(0 xexf则若9973. 0)(9545. 0)(6826. 0)()(3322xfxfXPxfd= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=fm2允m3允或： 但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即： =？ m=？寻找最接近真值的值x6 6 -3 观测值的算术平均值及改正值 集中趋势的测度（最优值） 中位数：设把
12、n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。xnlniil 1算术平均数：满足最小二乘原则的最优解xnlnlniil1一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解28证明（x是最或然值） 将上列等式相加，并除以n,得到 XnlnnnnlXnlim0lim4）特性根据偶然误差第（xnlnnlXlXlX2211二、观测值的改正值 若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解xiiilxllvl改正值的特性 0ivv定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解0l- 2 2xvdxvvdm
13、iniivv最小二乘0)(ilxxnl6 6 -4观测值的精度评定 标准差可按下式计算112nvmnii1122nvnii中误差证明 将上列左右两式相减，得nnlXlXlX2211nnlxvlxvlxv2211)()()(2211xXvxXvxXvnn分别取平方222)()(2xXxXvviii 取和2)()(2xXnxXvvv2)(xXnvv )0(v取和2213121222221222)(2)()()()(nnnnxXnxXxXnxXnvnnn)(xXvii对1)(2nvvnnvvxXnvv代入前式代入前式计算标准差例子 毫米16.3232.61540452.123mnll次序 观测值 l
14、 改正数 v vv 1 123.457 -5 25 2 123.450 +2 4 3 123.453 -1 1 4 123.449 +3 9 5 123.451 +1 1 和 123.452 0 40 小结 一、已知真值X，则真误差 一、真值不知，则iilXnmilxivnlx1nvvm二、中误差二、中误差6 6 -5 误差传播定律 已知：mx1,mx2,mxn 求：my=?.),(21xxfy设有函数式：nmyyy y=? 观测值函数的中误差 误差传播定律一一. .观测值的函数观测值的函数例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差
15、函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和( (差差) )函数函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?nmzzz )()(yyxxzzyxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和( (差差) )函数函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?yxz111yxz222yxznnnyxz2222yyxxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz和和 2222yyxxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数yxz已知：mx
16、,my, 求：mz=?yxz2222yyxxz和和 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym? 0222yxzmmm二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?222yxzmmmyxz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数yxz已知：mx,my, 求：mz=?yxz2222yyxxz和和 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym0222yxzmmm二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz 已知
17、：mx,求：mz=?nmzzz xkz11xkz22xkz22xkz21221xkz22222xkz222nnxkz和平方222xkz二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数kxz 已知：mx,求：mz=?nmzzz xkz222xkznxknz222222xzmkm xzmkm m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解：解：例例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1列函数式中误差式二、几种常用函数的中误差
18、二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数三）线性函数nnxkxkxkz2211已知：mxi,求：mz=?222xymkm iiixky :令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm（三）线性函数三）线性函数nnxkxkxkz221122222221212nxnxxzmkmkmkm特殊nlllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmnm21mnnmmxxi为独立独立观测值例例6距离误差距离误差例：例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误 差 ； 算术平均值的相对中误
19、差 ：xxmMxM /凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。二.误差传播定律( (四四) )一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数),(21nxxxfZxi为独立独立观测值对上式上式线性化nnndxxfdxxfdxxfxxxfZ221100201),(nnndxfdxfdxfxxxf221100201),(iiidxxx0idxixmm 22222212212nxnxxzmfmfmfm222222212212nxxxzmxfmxfmxfm中误差关系式中误差关系式： 小结 第一步：写出函数式 第二步：写出全微分式(线性化) 第三步：写出中误差关系式 注意：
20、注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式一步写出中误差关系式。22222221212.nnymfmfmfm观测值函数中误观测值函数中误差公式汇总差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, m
21、a=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。 abP adbbdadP2222bapmambm22)02. 0500()02. 0400(2228 .12108m例题已知 有求：mmmm3,180ffm22291fmmm222223mmmmmf222234391mmmm错误例题已知 有；求：mmmm3,180ffmmmmmmmmm3296969191946033322222观测值：斜距S和竖直角v待定值
22、：水平距离D22222222222cossincossincoscosvSDvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，6 6 -6 误差传播定律误差传播定律应用举例6-6 6-6 误差传播定律应用误差传播定律应用观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，误差传播定律应用举例算术平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mxnlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221算例：用
23、三角形闭合差求测角中误差次序观测值 l1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：3 . 435 . 7xm测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m例：例：要求三角形最大闭合
24、差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 15f5 . 7, 152ffmmf则1233180321xfmmf）（ 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。15fDMPxycossinxDyDXYO由误差传播定律：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmm解：解：180206265P点的点位中误差：222225.338.346.3PxyMmmmm例例9：已知直线MP的坐标方位
25、角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。20m 40Dmmm xmymPMcossinsincosdDdddDddDyDx6 6 -7加权平均数及其中误差 现有三组观测值，计算其最或然值A组： 123.34, 123.39, 123.35B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各组的平均值 A组： 123.360 B组： 123.333 C组： 123.356 AlClBl3CBA
26、lllxx=?加权平均数 各组的平均及其权 A组： 123.360 权PA=3 B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5AlClBl1212874321lllllllxCPBPAPlPlPlPlllCCBBAACBA543543 ( ) ( ) ( )一、权与中误差llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/ )(22321 平均数的权pA=3 平均数的中误差 m单位权中误差 权与误差的平方成反比22llmmp 二、加权平均数iiinnnplpppplplplpx212211nlxppii当：三、加权平均值的中误差 .CSCBSBASASiii
27、iilPplPplPpPlpplpxsxpmm ppPsx.2222222CSCBSBASAxmPpmPpmPpm.2222222CSCBSBASAxpmPppmPppmPpmSSCSBSAxPmmPpmPpmPpm22222222. 四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则npm)(21)(2npvvm如果m要用改正数v计算，则加权平均值标准差的算例次序观测值l权p改正数vpvpvv1123.4573-4.5-13.560.752123.4503.5+2.58.821.883123.4535-0.5-2.51.254123.4491+3.53.512.255123.4512.5+1
28、.53.75.62S123.452515.0046.63452.1230 ll毫米42. 3283. 61563.460m毫米0 . 10ilpmm例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值： 18204012961020400PLpLppLx1 2 402014 4 1 42 4 40 20 17 7 2 143 6 40 20 20 10 3 30 L0= 40 20 10 6 48vpvv+416+12-212309 .313301 npvvmo810240 pplx6
29、 .169 .30 xxpmm6 ppx例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值： 18204012961020400PLpLppLx1 2 40 2014“ 4 2 82 4 40 2017“ 7 4 283 6 40 2020“ 10 6 60 L0= 40 2010 12 96vpvv+432+14-224605 .513601 npvvmo810240 pplx6 .1125 .50 xxpmm12 ppx五、权倒数传播定律有； 权倒数传播定律 m2 m2 m2 m222jjmmP ),(,21nxxxfy22222221212nnymfmfmfmnnypfpfpfp22221211例题已知 求：pppp3,180ffppppppppp236996191191194160333
