1、INS理论与应用（6.惯导基本方程）刘瑞华中国民航大学 电子信息工程学院INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n授课内容授课内容n1.哥氏加速度哥氏加速度n2.绝对加速度绝对加速度n3.比力方程比力方程n4.惯导的高度通道惯导的高度通道INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n要解释陀螺仪的基本特性，有必要说明要解释陀螺仪的基本特性，有必要说明一下一下哥氏（哥氏（Coriolis）加速度）加速度的概念。的概念。要说明加速度所感测的量，有必要推导要说明加速度所感测的量，有必要推导出绝对加速度的表达式。出绝对加速度的表达式。n为了研究惯性导航系统的理论实现，要为了研究
2、惯性导航系统的理论实现，要在建立加速度计所测量的比力表达式，在建立加速度计所测量的比力表达式，即即比力方程比力方程。n比力方程是惯性系统的一个比力方程是惯性系统的一个基本方程基本方程。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n1.哥氏加速度哥氏加速度n从运动学知，当动点对某一动参考系作从运动学知，当动点对某一动参考系作相对相对运动运动，同时这个动参考系又在作，同时这个动参考系又在作牵连转动牵连转动时，时，则该动点将具有则该动点将具有哥氏加速度哥氏加速度。n载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运载体相对地球运动，地球又相对惯性空间运动。因此，对地球而言，载体的动。因此，对地球而言，
3、载体的惯性加速度惯性加速度包含了包含了相对加速度相对加速度和和哥氏加速度哥氏加速度等。等。n若要求得载体相对地球的运动，就要确定这若要求得载体相对地球的运动，就要确定这些加速度之间的关系。些加速度之间的关系。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n从运动学知，当动点对某一动参考系作相对从运动学知，当动点对某一动参考系作相对运动，同时这个动参考系又在作牵连转动时，运动，同时这个动参考系又在作牵连转动时，则该动点将具有则该动点将具有哥氏加速度哥氏加速度。n设有一直杆绕定轴以角速度设有一直杆绕定轴以角速度作匀速转动，作匀速转动，直杆上有一小球以速度直杆上有一小球以速度vr沿直杆作匀速
4、移动。沿直杆作匀速移动。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n直杆是直杆是动参考系动参考系，小球可看成为，小球可看成为动点动点。小球在直杆上的移动可看成为动点对动小球在直杆上的移动可看成为动点对动参考系作相对运动，而直杆绕定轴的转参考系作相对运动，而直杆绕定轴的转动可看成为动参考系在作牵连转动。动可看成为动参考系在作牵连转动。n小球的小球的相对速度相对速度就是它在直杆上的移动就是它在直杆上的移动速度。小球的速度。小球的牵连速度牵连速度就是直杆上与小就是直杆上与小球相重合的那个点的速度。球相重合的那个点的速度。n这里直杆绕定轴转动使牵连点具有切向这里直杆绕定轴转动使牵连点具有切
5、向速度，即为小球的牵连速度。速度，即为小球的牵连速度。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n设在某一瞬时设在某一瞬时 t，直杆处于，直杆处于 OA1 位置，小球位置，小球在直杆上处于在直杆上处于 B1 位置。位置。n这时小球的这时小球的相对速度矢量相对速度矢量的大小为的大小为 vr，方向，方向沿沿 OA1方向；小球的牵连速度矢量大小为方向；小球的牵连速度矢量大小为 ve=r r，方向与方向与 OA1垂直。垂直。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n经过时间经过时间t 后，直杆转动了后，直杆转动了= =t 角度，处于角度，处于OA2 位置；小球在直杆上移动了位
6、置；小球在直杆上移动了r = vrt距离，处于距离，处于B2位置。位置。n小球的相对速度的大小不变，为小球的相对速度的大小不变，为 vr=vr，但因直杆的牵连，但因直杆的牵连转动带动小球一起转动转动带动小球一起转动 ，故其方向改变成沿，故其方向改变成沿OA2方向。方向。n小球小球牵连速度矢量牵连速度矢量用用 ve 表示。因牵连点改变到表示。因牵连点改变到B2，故牵，故牵连速度的大小改变成连速度的大小改变成 ve=(r+r) ，其方向与，其方向与 OA2垂直。垂直。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n可见，经过了可见，经过了t 时时间后，小球的间后，小球的相对相对速度速度和和
7、牵连速度牵连速度都都有变化。有变化。n在速度矢量图中，在速度矢量图中，相对速度增量相对速度增量vr表示了相对速度方表示了相对速度方向的变化。向的变化。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n牵连速度增量牵连速度增量ve表示了牵连速度大表示了牵连速度大小和方向的变化。小和方向的变化。n将将ve分解为分解为ve1 和和 ve2 ，它们分别表示了牵它们分别表示了牵连速度方向和大小连速度方向和大小的变化。的变化。n速度的方向或大小速度的方向或大小发生变化，表明必发生变化，表明必有有加速度加速度存在。存在。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n首先分析使相对速度方向改变
8、的加速度。首先分析使相对速度方向改变的加速度。从相对速度矢量图可得速度增量从相对速度矢量图可得速度增量vr的的大小为大小为n用用t 除以等式两边并求极限值，则得除以等式两边并求极限值，则得如下加速度如下加速度2sin2sin22rrrtvvv002sin(/2)limlimrrrttvvtvttINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n该加速度的方向可由该加速度的方向可由t 0 (即即0)时时r的极限方向看出，它垂直的极限方向看出，它垂直于于和和v vr所组成的平面。所组成的平面。n这就是由直杆这就是由直杆牵连转动牵连转动的影响，使小球的影响，使小球相对速度方向改变的加速度。相对
9、速度方向改变的加速度。n如果直杆没有牵连转动，那么小球相对如果直杆没有牵连转动，那么小球相对速度的方向不会发生改变，这项加速度速度的方向不会发生改变，这项加速度是不存在的。是不存在的。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n再看使牵连速度大小改变的加速度。从再看使牵连速度大小改变的加速度。从牵连速度矢量图可得速度增量牵连速度矢量图可得速度增量ve2 的大的大小为小为n用用t 除以等式两边并求极限值，则得除以等式两边并求极限值，则得如下加速度如下加速度2()eeervvvrrrvt200limlimerrttvvtvttINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n该加
10、速度的方向可由该加速度的方向可由t 0 (即即0)时时V Ve2e2的极限方向看出，它也的极限方向看出，它也垂直于垂直于和和v vr所组成的平面。所组成的平面。n这就是由小球这就是由小球相对运动相对运动的影响，使小球的影响，使小球牵连速度大小改变的加速度。牵连速度大小改变的加速度。n如果小球没有相对运动，那么小球牵连如果小球没有相对运动，那么小球牵连速度的大小不会发生改变，这项加速度速度的大小不会发生改变，这项加速度是不存在的。是不存在的。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n至于使小球牵连速度方向改变的加至于使小球牵连速度方向改变的加速度（即与牵连速度增量速度（即与牵连速度
11、增量ve1 对对应的加速度），不难看出，它是由应的加速度），不难看出，它是由直杆的牵连转动而引起的，并且它直杆的牵连转动而引起的，并且它是是向心加速度向心加速度，所以此项加速度实，所以此项加速度实为小球的牵连加速度。为小球的牵连加速度。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n本例中，小球在直杆上作匀速移动，故本例中，小球在直杆上作匀速移动，故小球的相对加速度为零，直杆绕固定轴小球的相对加速度为零，直杆绕固定轴作匀速转动，故小球的牵连加速度中不作匀速转动，故小球的牵连加速度中不存在切向加速度，只存在向心加速度。存在切向加速度，只存在向心加速度。n这就表明，上述导出的两项加速度既不
12、这就表明，上述导出的两项加速度既不是相对加速度，也不是牵连加速度，而是相对加速度，也不是牵连加速度，而是一种附加加速度，它就称为是一种附加加速度，它就称为哥氏加速哥氏加速度度。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n由此看出哥氏加速度的由此看出哥氏加速度的形成原因形成原因：当动：当动点的牵连运动为转动时，牵连转动会使点的牵连运动为转动时，牵连转动会使相对速度的方向不断发生改变，而相对相对速度的方向不断发生改变，而相对运动又使牵连速度的大小不断发生改变；运动又使牵连速度的大小不断发生改变；这两种原因都造成了同一方向上附加的这两种原因都造成了同一方向上附加的速度变化率，该附加加速度
13、变换率即为速度变化率，该附加加速度变换率即为哥氏加速度。哥氏加速度。n或简言之，或简言之，哥氏加速度是由于相对运动哥氏加速度是由于相对运动与牵连转动的相互影响而形成的与牵连转动的相互影响而形成的。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上面是以牵连角速度上面是以牵连角速度与与相对速度相对速度vr相垂直的情况相垂直的情况进行分析。进行分析。n哥氏加速度的大小为上述哥氏加速度的大小为上述两项加速度之和的模，即两项加速度之和的模，即ac=2vrn哥氏加速度的方向哥氏加速度的方向如右图如右图所示。哥氏加速度所示。哥氏加速度 ac垂直垂直于牵连角速度与相对速度于牵连角速度与相对速度Vr所
14、组成的平面，从所组成的平面，从沿沿最短路径握向最短路径握向Vr的右手旋的右手旋进方向即为进方向即为 ac的方向。的方向。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在一般情况下，牵连角速度与相对速度在一般情况下，牵连角速度与相对速度之间可能成任意夹角。按照类似的方法之间可能成任意夹角。按照类似的方法进行分析，可得哥氏加速度的进行分析，可得哥氏加速度的一般表达一般表达式式为：为： ac=2vrn即在一般情况下哥氏加速度的大小为即在一般情况下哥氏加速度的大小为n而哥氏加速度的方向仍按右手旋进规则而哥氏加速度的方向仍按右手旋进规则确定。确定。2sin( ,)crravvINS理论与应用理
15、论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n2.绝对加速度绝对加速度n当动点的牵连运动为转动时，动点的绝当动点的牵连运动为转动时，动点的绝对加速度对加速度a应等于相对加速度应等于相对加速度ar、 牵连牵连加速度加速度ae与哥氏加速度与哥氏加速度ac的矢量和，的矢量和， 即即a= ar +ae + acn这就是一般情况下的这就是一般情况下的加速度合成定理加速度合成定理。 INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n如图所示，设在地球表面附近航行的运载体如图所示，设在地球表面附近航行的运载体所在点为所在点为q。它在惯性系。它在惯性系OXiYiZi中的位置矢中的位置矢量为量为R，在地球系，在地
16、球系OXeYeZe 中的位置矢量为中的位置矢量为 r，而地心相对日心的位置矢量为，而地心相对日心的位置矢量为 R0。n根据各量关系，可以写出根据各量关系，可以写出位置矢量方程位置矢量方程：oRRrINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上式对时间求一阶导数，则有上式对时间求一阶导数，则有n利用矢量的相对导数和绝对导数的关系，上式第利用矢量的相对导数和绝对导数的关系，上式第二项，即载体位置矢量二项，即载体位置矢量r在地心惯性坐标中的导数在地心惯性坐标中的导数可表达为可表达为n从而得到运载体从而得到运载体绝对速度绝对速度的表达式的表达式ieiedddtdtrrroiiiddddtd
17、tdtRRroieieiddddtdtdtRRrrINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上式中各项所代表的上式中各项所代表的物理意义物理意义如下如下ndR/dt|i：位置矢量位置矢量R在惯性系中的变化率，代表在惯性系中的变化率，代表运载体相对惯性空间的速度，即绝对速度。运载体相对惯性空间的速度，即绝对速度。ndr/dt|e：位置矢量位置矢量r 在地球坐标系中的变化率，在地球坐标系中的变化率，代表运载体相对地球的速度，即运载体的相对代表运载体相对地球的速度，即运载体的相对速度速度(是重要的导航参数之一是重要的导航参数之一)。ndRo/dt|i：位置矢量位置矢量R0 在惯性系中的
18、变化率，在惯性系中的变化率，代表地球公转引起的地心相对惯性空间的速代表地球公转引起的地心相对惯性空间的速 度，度，它是运载体牵连速度的一部分；它是运载体牵连速度的一部分；nieier：代表地球自转引起的牵连点相对惯性代表地球自转引起的牵连点相对惯性空间的速度，它是运载体牵连速度的又一部分。空间的速度，它是运载体牵连速度的又一部分。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n运载体绝对速度对时间再求一阶导数运载体绝对速度对时间再求一阶导数n而而n而地球相对惯性空间的角速度而地球相对惯性空间的角速度ie可以精可以精确地看成是常矢量，即确地看成是常矢量，即die/dt=0，由此，由此得到
19、运载体绝对加速度的表达式得到运载体绝对加速度的表达式 ：222222oieieieeiiieidddddddtdtdtdtdtdtRRrrrr()ieieieieiedddtdtrrr2222222()oieieieeieidddddtdtdtdtRRrrrINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上式中各项所代表的上式中各项所代表的物理意义物理意义如下：如下：nd2R/dt2|i：运载体相对惯性空间的加速度，即运载体运载体相对惯性空间的加速度，即运载体的绝对加速度。的绝对加速度。nd2r/dt2|e：运载体相对地球的加速度，即运载体的相运载体相对地球的加速度，即运载体的相对加速
20、度；对加速度；nd2Ro/dt2|i：地球公转引起的地心相对地球公转引起的地心相对 惯性空间的加惯性空间的加速度，它是运载体牵连加速度的一部分速度，它是运载体牵连加速度的一部分 ；nieier：代表地球自转引起的牵连点的向心加：代表地球自转引起的牵连点的向心加速度，它是运载体牵连速度的又一部分；速度，它是运载体牵连速度的又一部分；n2 2iedr/dt|e：运载体相对地球速度与地球自转角速运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的附加加速度，即运载体的哥度的相互影响而形成的附加加速度，即运载体的哥氏加速度。氏加速度。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n3.比力方程
21、比力方程n加速度计的工作原理是加速度计的工作原理是牛顿力学定律牛顿力学定律 ，其力学模型，其力学模型如图所示。敏感质量（质量设为如图所示。敏感质量（质量设为m）借助弹簧（弹簧）借助弹簧（弹簧刚度设为刚度设为k）被约束在仪表壳体内，并且通过阻尼器）被约束在仪表壳体内，并且通过阻尼器与仪表壳体相联。与仪表壳体相联。n当沿加速度的敏感轴方向无加速度输入时，质量块当沿加速度的敏感轴方向无加速度输入时，质量块相对仪表壳体处于零位。相对仪表壳体处于零位。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n当安装加速度计的运载体沿当安装加速度计的运载体沿敏感轴敏感轴方向方向以加速度以加速度 a 相对惯性
22、空间运动时，仪表相对惯性空间运动时，仪表壳体也随之作加速运动。但质量块由于壳体也随之作加速运动。但质量块由于保持原来的惯性，故它朝着与加速度相保持原来的惯性，故它朝着与加速度相反方向相对壳体位移而压缩或拉伸弹簧。反方向相对壳体位移而压缩或拉伸弹簧。n当相对位移量达一定值时，弹簧变形所当相对位移量达一定值时，弹簧变形所给出的弹簧力给出的弹簧力 kxA（xA为位移量）使质为位移量）使质量块以同一加速度量块以同一加速度 a 相对惯性空间运动。相对惯性空间运动。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在此稳态情况，在此稳态情况，有如下关系成立：有如下关系成立：nkxA=ma，或，或xA
23、=ma/k。n即稳态时质量块即稳态时质量块的相对位移量的相对位移量xA与运载体的加速与运载体的加速度度 a 成正比。成正比。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n地球、月球，太阳和其它天体均存在着地球、月球，太阳和其它天体均存在着引力场，加速度计的测量将受到引力的引力场，加速度计的测量将受到引力的 影响影响 。n为了便于说明，暂且不考虑运载体的加为了便于说明，暂且不考虑运载体的加 速度速度 。n设加速度的质量块受到沿敏感轴方向的设加速度的质量块受到沿敏感轴方向的引力引力mG(G为引力加速度为引力加速度)的作用，则质的作用，则质量块将沿着引力作用方向相对壳体位移量块将沿着引力作
24、用方向相对壳体位移而拉伸而拉伸(或压缩或压缩)弹簧弹簧 。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n当相对位移量达一定值当相对位移量达一定值时弹簧受拉时弹簧受拉 (或受压所或受压所给出的弹簧力给出的弹簧力kxG(xG为为位位 移量移量)恰与引力恰与引力mG相平衡。在此稳态情况，相平衡。在此稳态情况，有如下关系成立：有如下关系成立：nkxG=mG，或，或xG=mG/kn即稳态时质量块的相对即稳态时质量块的相对位移量位移量xG与引力加速度与引力加速度G成正比。成正比。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n对照前两图可以看出，沿同一轴向的对照前两图可以看出，沿同一轴向
25、的a矢量和矢量和G矢量所引起的质量块位移矢量所引起的质量块位移方向相反方向相反。n综合考虑运载体加速度和引力加速度的情况综合考虑运载体加速度和引力加速度的情况 下，在稳态时质量块的相对位移量为下，在稳态时质量块的相对位移量为x=m(a-G)/kn上式说明，稳态时质量块的相对位移量上式说明，稳态时质量块的相对位移量x 与与(a-G)成正比。成正比。 n阻尼器则用来阻尼质量块到达稳定位置的振阻尼器则用来阻尼质量块到达稳定位置的振 荡。借助位移传感器可将该位移量变换成电荡。借助位移传感器可将该位移量变换成电信号，所以加速度计的输出与信号，所以加速度计的输出与(a-G)成正比。成正比。INS理论与应用
26、理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在地球表面附近，把加速度计的敏感轴安装得与运在地球表面附近，把加速度计的敏感轴安装得与运载体载体(如火箭如火箭)的纵轴平行，当运载体以的纵轴平行，当运载体以 5g(g为重力为重力加速度加速度)的加速度垂直向上运动，即以的加速度垂直向上运动，即以a=5g沿敏感沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴负向有引力加速度轴正向运动时，因沿敏感轴负向有引力加速度G=g，故质量块的相对位移量为故质量块的相对位移量为x=(5g-(-g)m/k=6mg/k.n当运载体垂直自由降落，即以当运载体垂直自由降落，即以a=-g沿敏感轴正向运沿敏感轴正向运动时，因沿敏感轴正向有引力加速度动
27、时，因沿敏感轴正向有引力加速度 G=-g，故质，故质量块的相对位移量为量块的相对位移量为x=(-g-(-g)m/k=0.INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在惯性技术中，通常把加速度计的输入在惯性技术中，通常把加速度计的输入 量量a-G称为称为“比力比力”。现在说明它的。现在说明它的物理意义物理意义 。n这里作用在质量块上的外力包括弹簧力这里作用在质量块上的外力包括弹簧力 F弹和引力弹和引力 mG，根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律，可以写出：可以写出：F弹弹+mG=man移项后得：移项后得：F弹弹=ma-mGn再将上式两边同除以质量再将上式两边同除以质量m，得到：，得到：
28、nF弹弹/m=a-GINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n令令f=F弹弹/m，则，则f=a-G.n称称f为比力，于是比力代表了作用在单位质量上的为比力，于是比力代表了作用在单位质量上的弹簧力。弹簧力。n比力的大小与弹簧变形量成正比，而加速度计输比力的大小与弹簧变形量成正比，而加速度计输出电压的大小正是与弹簧变形量成正比，所以加出电压的大小正是与弹簧变形量成正比，所以加速度计实际感测的量并非是运载速度计实际感测的量并非是运载 体的加速度，而体的加速度，而是比力。也因此，加速度计又称比力敏感器。是比力。也因此，加速度计又称比力敏感器。n作用在质量块上的弹簧力与惯性力和引力的合力作
29、用在质量块上的弹簧力与惯性力和引力的合力大小相等，方向相反。于是又可把大小相等，方向相反。于是又可把比力定义比力定义为为“作用在单位质量上惯性力与引力的合力作用在单位质量上惯性力与引力的合力 (或矢量或矢量和和)。n应该注意：比力具有与加速度相同的应该注意：比力具有与加速度相同的量纲量纲。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在在比力的表达式比力的表达式中，中，a 是运载体的绝对是运载体的绝对加速度，当运载体在地球表面运动时其加速度，当运载体在地球表面运动时其表达式已由前面的公式给出；而表达式已由前面的公式给出；而G是引是引力加速度力加速度 ，它是地球引力加速度，它是地球引力
30、加速度Ge、月球引力加速度月球引力加速度Gm、太阳引力加速度、太阳引力加速度Gs和其它天体引力加速度和其它天体引力加速度n即即31niiG31ni=-esmiG = G +G +G+GINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n所以，加速度计敏感到的比力为所以，加速度计敏感到的比力为n地球公转引起的向心加速度阳引力加速度地球公转引起的向心加速度阳引力加速度Gs的量的量值大致相等值大致相等, 即即d2Ro/dt2|i-Gs=0。n在地球表面附近，月球引力加速度的量值在地球表面附近，月球引力加速度的量值 Gm3.910-6Ge；太阳；太阳 系的行星中距地球最近的系的行星中距地球最近的金
31、星，其引力加速度约金星，其引力加速度约 为为 1.910-8Ge；太阳；太阳 系系的行星中质量最大的木星，其引力加速度约为的行星中质量最大的木星，其引力加速度约为 3.710-8Ge。至于太阳。至于太阳 系外的其它星系，因距地系外的其它星系，因距地球更远，其引力加速度更加微小球更远，其引力加速度更加微小 。22233222112()()nnoiieieieesmiiieieidddddtdtdtdtRRrrfGrGGGGINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n对于一般精度的惯性系统，对于一般精度的惯性系统， 月球及其它天体引月球及其它天体引力加速度的影响可以忽力加速度的影响可以
32、忽 略不计。考虑到上述这略不计。考虑到上述这些关系些关系 ，加速度计感测的比力加速度计感测的比力可写成：可写成：n上式中，上式中，dr/dt|e即为运载体相对地球的运动速即为运载体相对地球的运动速度，用度，用vep代表。同时注意到，地球引力加速度代表。同时注意到，地球引力加速度Ge与地球自转引起的向心加速度共同形成了地与地球自转引起的向心加速度共同形成了地球球重力加速度重力加速度，亦即，亦即g=Ge-ieieieier222()ieieieeeedddtdtrrfrGINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n在上述假设之下，加速度计所感测的比力可改写在上述假设之下，加速度计所感测
33、的比力可改写成成n在惯性系统中，在惯性系统中， 加速度计安装在运载加速度计安装在运载 体内的某一体内的某一测量坐标系测量坐标系中工作的，中工作的， 例如直接安装在与运载体例如直接安装在与运载体固连的运载体坐标系中固连的运载体坐标系中 (捷联式系统捷联式系统)， 或安装或安装 在在与平台固连的平台坐标中与平台固连的平台坐标中(平台式系统平台式系统)。n假设安装加速度计的测量坐标系为假设安装加速度计的测量坐标系为p系，它相对地系，它相对地球坐标系的转动角速度为球坐标系的转动角速度为ep， 则有则有 2epieepeddtvfvgepepepepepdddtdtvvvINS理论与应用理论与应用6.惯
34、导基本方程惯导基本方程n应用上述关系，加速度计所敏感的比力可应用上述关系，加速度计所敏感的比力可进一步写为进一步写为n或者进一步写作或者进一步写作2epepepieeppddtvfvvg2epepepieepfvvvg(2)epepieepfvvgINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上式就是运载体相对地球运动时加速度计所上式就是运载体相对地球运动时加速度计所敏感的比力表达式，通常称为敏感的比力表达式，通常称为比力方程比力方程。式。式中各项所代表的物理意义如下：中各项所代表的物理意义如下：nvep：运载体相对地球的运动速度；：运载体相对地球的运动速度； nepvep：测量坐标
35、系相对地球转动所引起：测量坐标系相对地球转动所引起的向心加速度，的向心加速度，nievep：运载体相对地球速度与地球自转：运载体相对地球速度与地球自转角速度的相互影响而形成的哥氏加速度；角速度的相互影响而形成的哥氏加速度；ng：地球重力加速度。：地球重力加速度。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n比力方程表明了加速度计所敏感的比力与运载体比力方程表明了加速度计所敏感的比力与运载体相对地球的加速度之间的关系，所以它是惯性系相对地球的加速度之间的关系，所以它是惯性系统的一个统的一个基本方程基本方程。不论惯性系统的具体方案和。不论惯性系统的具体方案和结构如何，该方程都是适用的。结
36、构如何，该方程都是适用的。n将等式右边除将等式右边除dvep/dt之外的量称为之外的量称为有害加速度有害加速度。n导航计算需要的是运载体相对地球的加速度。但导航计算需要的是运载体相对地球的加速度。但从上式看出，加速度计从上式看出，加速度计不能分辨不能分辨有害加速度和运有害加速度和运载体相对加速度。因此，必须从加速度计所测得载体相对加速度。因此，必须从加速度计所测得的比力中的比力中补偿补偿掉有害加速度的影响，才能得到运掉有害加速度的影响，才能得到运载体相对地球的加速度，经过数学运算进而获得载体相对地球的加速度，经过数学运算进而获得运载体相对地球的速度及位置等导航参数运载体相对地球的速度及位置等导
37、航参数 。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上述的比力方程是上述的比力方程是向量形式向量形式，也可以写，也可以写成沿平台坐标系的成沿平台坐标系的投影形式投影形式。n平台坐标系的取法不同，投影的形式也平台坐标系的取法不同，投影的形式也不同，我们先确定平台坐标系的不同，我们先确定平台坐标系的ozp轴轴的方向，的方向，oxp、oyp轴的方向确定在后面轴的方向确定在后面再讨论。再讨论。ozp轴的正方向选为重力加速轴的正方向选为重力加速度的度的反方向反方向，即指向天。，即指向天。INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n根据根据矢量叉乘矢量叉乘的公式，可以把惯导基本的
38、公式，可以把惯导基本方程写成如下的矩阵形式方程写成如下的矩阵形式0(2)2020(2)0(2)20pppppppxxiezepzieyepyxpppppppyyiezepziexepxypppppppzzieyepyiexepxzfVVfVVfVVgINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n4.惯导的高度通道惯导的高度通道n根据比力方程的矩阵形式，可以求出根据比力方程的矩阵形式，可以求出高度高度通道通道的表达式：的表达式：n令令 n上式可简化为上式可简化为 n而重力加速度与高度的而重力加速度与高度的关系式关系式为为 gVVfVpypepxpiexpxpepypieypzpz)2(
39、)2(pypepxpiexpxpepypieypzVVa)2()2(gafVpzpzpz)21 ()1 (020RhgRhggINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n根据上面两个公式，可以画出惯性高度通根据上面两个公式，可以画出惯性高度通道的道的方块图方块图。n由上图可得到由上图可得到传递函数传递函数RgsRgsssfshpz0202221) 1(2111)()(INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程n上述传递函数的上述传递函数的特征方程特征方程n特征根特征根为为n由于存在由于存在正特征根正特征根，故惯导系统高度通道，故惯导系统高度通道是是不稳定不稳定的。的。0
40、202RgsRgs02INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程zz可以计算高度通道的不稳定情况：假设加速度可以计算高度通道的不稳定情况：假设加速度计测量误差为零位偏置计测量误差为零位偏置 。单独考虑由单独考虑由 引起的高度误差。引起的高度误差。)211(2)(1)(002000sssssssssssshzz)2(4)2(2)(000022020tRgtRgztstszeegReesthINS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程gz410120/049.978scmg 设设，取，取R=6371000m，则，则mth5)(1mth630)(2mth87381)(3t1=1
41、00s，t2=1000s，t3=3600s，由此可见，纯惯导系统的高度通道是由此可见，纯惯导系统的高度通道是随时间发散随时间发散的。的。原因是系统无阻尼，出现了正的特征根。解决方法是原因是系统无阻尼，出现了正的特征根。解决方法是引入其它系统提供的高度信息使惯性通道具有阻尼。引入其它系统提供的高度信息使惯性通道具有阻尼。通常采用通常采用回路反馈法回路反馈法来实现。来实现。 INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程 可以采用可以采用二阶阻尼回路二阶阻尼回路的方法来解决纯惯导系统高度的方法来解决纯惯导系统高度通道发散的问题通道发散的问题 其他方式获得其他方式获得的高度信息的高度信息-
42、-INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程根据方框图可得：根据方框图可得：pzrpzpzahRgghhKfsV)2()(002)(1rpzhhKVsh即即pzrpzpzaghKfhRgKsV0202)2(rpzhKhKsV11)(将上述两式写成矩阵形式将上述两式写成矩阵形式rpzrpzpzhKaghKfhVKsRgKs10210212INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程系统的特征多项式为：系统的特征多项式为：RgKsKsKsRgKss0212102212)(根据设计指标的要求，可以确定根据设计指标的要求，可以确定K1、K2的值。的值。对照二阶系统特征多项式的标准形式对照二阶系统特征多项式的标准形式012022,22ngKKRgKR222nnss得得INS理论与应用理论与应用6.惯导基本方程惯导基本方程复习思考题复习思考题1.理解哥氏加速度形成的原因。理解哥氏加速度形成的原因。2.哥氏加速度的方向如何确定？哥氏加速度的方向如何确定？3.理解加速度合成定理。理解加速度合成定理。4.理解绝对加速度公式各项的物理意义。理解绝对加速度公式各项的物理意义。 5.理解比力的概念。理解比力的概念。6.理解比力方程的物理意义。理解比力方程的物理意义。7.理解惯导系统高度通道的特性。理解惯导系统高度通道的特性。
