1、返回 特征值与特征向量特征值与特征向量一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念 定义定义 ,.n nnAPPP 设设 0 ,A若若A 则称为的一个则称为的一个特征值特征值，.A为对应于的一个特征向量为对应于的一个特征向量返回 1.0 ,.kAAk Akk 设则设则 112211222.1,2,.ssissiAkkkksAkik 设设则则特征向量的性质：特征向量的性质：返回 |,nARV 设设,.VVVkR kV 则则由由特特征征值值与与特特征征向向量量的的性性质质可可知知：.nVnRVA 故故是是 维维向向量量空空间间的的子子空空间间特特征征为为矩矩阵阵 的的子子空空间间称称VA
2、思考 ：的所有向量都是的特征向量吗 ？思考 ：的所有向量都是的特征向量吗 ？返回例例1122224,.242AA 求求 的的特特征征值值与与特特征征向向量量IA 227 . 7(221 二二重重），解：解：12, 的的特特征征向向量量 10IA X 12210201. 基础解系为：，基础解系为：， 1 12212,.kkk k 特征向量为：不全为零特征向量为：不全为零27 的的特特征征向向量量： 31 , 2 ,2 , 3330.kk 特征向量为特征向量为 20IA X 返回如如果果）iirank(EAnm , iim 叫叫做做的的几几何何重重数数.( )AA的所有特征值的全体，称为的所有特征
3、值的全体，称为A的谱，记为的谱，记为11| ()() rnnrEA 1riiinn , n其其中中叫叫做做代代数数重重数数称为称为A的特征多项式的特征多项式返回定义定义2 2设设nnAC, 如如 果果 存存 在在 可可 逆逆 矩矩 阵阵112rPA Pdiag(,) 则则矩矩阵阵叫叫做做A可可 对对 角角 化化 矩矩 阵阵 .使使 得得nnPC, 定理定理 1 112设设有有个个 不不 同同 的的 特特 征征 值值nnACr, 12重重 数数 分分 别别 为为则则 必必rn , n ,n ,111rrPA PJdiag( J (),J () 矩矩 阵阵叫叫 做做的的标标 准准 形形 。JAJo
4、rdan其其 代代 数数r, 存存 在在 可可 逆逆 矩矩 阵阵使使 得得nnPC, 返回Jordan矩阵的结构与几个结论矩阵的结构与几个结论:(1) Jordan块的个数块的个数 k是线性无关特征向量的个数是线性无关特征向量的个数;(2)矩阵可对角化矩阵可对角化,当且仅当当且仅当k=n;(3)相应于一个已知特征值的相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该块的个数是该特征值的几何重数特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数它是相应的特征子空间的维数,相应于一个已知特征值的所有相应于一个已知特征值的所有Jordan块的阶数之和块的阶数之和是该特征值的代数重数是该特征值的代数重数.(4)
5、特征值的几何重数特征值的几何重数代数重数代数重数(5)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.返回定理定理 2设设n nAC, 则下列命题等价：则下列命题等价：(1)是是可可对对角角化化矩矩阵阵A;(2)存存在在由由 的的特特征征值值向向量量构构成成的的一一组组基基底底。nCA(3) A 的的Jordan标准形中的标准形中的 Jordan块都是一阶的。块都是一阶的。(4)1 2iimn(i,r )二、特征值和特征向量的几何性质二、特征值和特征向量的几何性质 1. 线性变换线性变换线性空间到自身的映射线性空间到自身的映射 称为称为变换变换。返回设设 是是线线性性
6、空空间间的的一一个个线线性性变变换换，如如果果存存在在nTV (C )则则叫叫做做 的的特特T 特特征征向向量量。1定义定义和和非非零零向向量量使使得得nCV (C ),T, 征值，叫做 的属于特征值的征值，叫做 的属于特征值的T 3. 线性变换的特征值线性变换的特征值2. 线性变换：线性变换：T为为V的变换且满足的变换且满足nP1), ()( )( )V TTT nDf (t )f (t ), f (t )P 则称则称T为为V的线性变换的线性变换例例:在线性空间在线性空间 中中 ,求微分是一线性变换求微分是一线性变换 , 即即 2), ()( ), kP T kkT返回 2. 线性变换与矩阵
7、线性变换与矩阵V为为n维线性空间维线性空间, 11n,为基为基, T为为V上的线性变换上的线性变换1122111nnniiiininiiiiTa,Ta,Ta则有则有 1212 nnT,T,T,T 矩阵矩阵A称为称为线性变换线性变换T在基在基 下的矩阵下的矩阵. 11n, 1112121222121212nnnnnnnnaaaaaa,Aaaa 返回1211 n,TA故故 121 nTiinix,xx ,x ,x,T即得即得 xAx 3. 线性变换与矩阵特征值关系线性变换与矩阵特征值关系 1211121 nniiniiiiniinix,xTTxx T,Ax 返回三、广义特征值问题三、广义特征值问题
8、设设 、如如果果存存在在和和非非零零向向量量使使得得n nnABC,CxC , (1-12) AxBx 广义特征向量广义特征向量。则称 为矩阵 与 确定的则称 为矩阵 与 确定的AB 称为与 对应的称为与 对应的x 广广义义特特征征值值，返回(1) 如果如果B 可逆时，式可逆时，式(1-12)可化为可化为1(1-13) B Axx (2) 当当A、B 都是都是Hermite矩阵，即矩阵，即、HHAABB且且 B 正定时，有正定时，有且正定且正定HBB 存在可逆矩阵存在可逆矩阵PHBP P 则则(1-12)式化为式化为HAxP Px 11() HQPAP11()HPAPyy Qyy HQQ1广广
9、义义特特征征值值都都是是实实数数n, nyy,1存在标准正交基Hijijy y iiyPxHHHijijijijyy( Px )( Px )x PPxx Bxijijx Bx 返回12121212101 2234设矩阵，且 正定，与 共扼设矩阵，且 正定，与 共扼向量系具有以下性质，向量系具有以下性质，（ ）（ ）（ ）线性无关（ ）线性无关（ ） 与 满足方程（ ） 与 满足方程（ ）若令（ ）若令HHniniiiiinHHnnnAA , BBBBx , x ,xx(i,n) ;x , x ,x;xAxBx ;X( x , x ,x ) ,X BXE, XAXdiag(,) 6定定理理12当，称为当，称为Hijijnx Bxx , x ,x 共共扼扼向向量量系系B.
