1、高二数学期末试题第 1 页 共 6 页宁德市 2021-2022 学年度第一学期期末高一质量检测数学试题数学试题本试卷有第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟 ，满分150 分.注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第第 I 卷（
2、选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、单项选择题一、单项选择题: : 本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. 在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只选项中，只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的.1已知集合1,2,3A ，|2BxN x，则ABU=（）A1，2B2，3C1，2，3D0，1，2，3答案：D解析：0,1,2B ，0,1,2,3AB故选 D2命题“(0,)sin2xxx ，”的否定是（）A(0,)sin2xxx ，B(0,)sin2xxx ，C(0,)sin2xxx ，D(0,)sin2xxx ，答案：D解析
3、:“(0,)sin2xxx ，”条件 P 是:“(0,)2x”，结论 q 是:“sinxxx，在定义域恒成立”，命题的否定是否定其结论，即 P :“(0,)2x”，q: “000sinxxx，使得在定义域有解”故选 D3已知弧长为3的弧所对的圆心角为6，则该弧所在的扇形面积为（）A3B13C23D43高二数学期末试题第 2 页 共 6 页答案：B解析:326lr123Slr，故选 B4,xR 不等式2410axx 恒成立，则a的取值范围为（）A4a B4a 或0a C4a D40a 答案：解析:由20440aa 得4a ，故选5已知0.50.5,ln5,logaebce，则（）AcabBcba
4、CbacDabc答案：解析:0.50.501,1ln5,log0ee故选6已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，( )(4)f xf x，且( 1)1f ，则(2020)(2021)ff（）A1B0C1D2答案：解析:(0)0,4,fT(2020)(0)0,(2021)(4 505 1)(1)1fffff(2020)(2021)1ff故选 C7 已知函数( )xf xex，( )lng xxx，( )sinf xxx的零点分别为, , ,a b c则, ,a b c的大小顺序为（ ）AcbaBbacCacbDcab答案：解析: 如图：acb，故选8已知函数( )sinf xAx的图象的一部
5、分如图 1 所示，则图 2 中的函数图象对应的函数解析式为：高二数学期末试题第 3 页 共 6 页A1(2)2yfxB(21)yfxC1()22xyfD(1)2xyf答案：B解析:由（）得( )sinf xx，由（）得3( )sin2 ()sin(23 )2g xxx所以()sin()sin()sin(23 )fxxxx 所以2,32 , k kZ，即1k ，B 选项满足题意，故选 B二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共共 20 分分. 在每小题给出的选项在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得中有多项符合题目要求，全部选对的
6、得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的分，有选错的得得 0 分）分）9下列函数中，既是偶函数又在区间0,上是增函数的是 （）A21yxB3yxC23yxD3xy答案：AC解析:Ayx2+1Byx3为奇函数C23yxD3xy在0,上单调递减.故选 AC10若110ab，则下列不等式正确的是 ()AabBababab2baab图 1图 2高二数学期末试题第 4 页 共 6 页答案： BCD解析:1100baab由得,A选项错误;B.ababba 成立，该选项正确；C.0abab,该选项正确；D.0,2baababab且方法2.特殊值检验，取1,2ab ，排除A.故选BCD.11
7、若函数( )tan(2)3f xx，则下列选项正确的是（）A最小正周期是B图象关于点(,0)3对称C在区间7(,)12 12上单调递增D图象关于直线12x对称答案：BC解析：( )tan(2)3f xxA最小正周期是2,故 A 错；B图象的对称点横坐标0 x满足02,32kxkZ，得046kx，当023kx时，所以图象的对称点为(,0)3，故 B 正确；C令2,232kxkkZ即5,122122kkxkZ故，当1k 时，( )tan(2)3f xx在区间7(,)12 12上单调递增，故 C 正确;D正切函数图象无对称轴，故 D 错.综上，选 BC.12设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则
8、yx称为高斯函数，也叫取整函数.令 22f xxx，以下结论正确的是（）A1.10.8f B fx为偶函数高二数学期末试题第 5 页 共 6 页C f x最小正周期为12D fx的值域为0,1答案：AC解析：A1.12.22.22.2( 3)0.8f ，故 A 正确;B存在1.12.22.22.2(2)0.2f,1.11.1ff且1.11.1ff 故函数为非奇非偶函数，故 B错误；C0,( )Tf xTf x使得22fxTxTxTnN 22xTxT使得=222xTxn=22222( )xxTnxxf x此时，122nT ，故 f x最小正周期为12，故 C 正确;D设2,0,1)xnm nZ
9、m，则函数 22f xxxnmnm=nmnm0,1)故 f x的值域为0,1，故 D错误.法 2：由 C 选项知 12fxf x 121,0212 ,02121,12xxf xxxxxKK所以 0,1f x 法 3：如图所示综上，选 AC.高二数学期末试题第 6 页 共 6 页第 II卷（非选择题共 90分）三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 把答案填在答题卡的相把答案填在答题卡的相应位置）应位置）1325( 4)log 25答案：6解析：2255( 4)log 254log 56.14请写出一个同时满足下列两个条件的函数：
10、.（1）12xxR，若12xx则12()()f xf x（2）121212,()() ()x xR f xxf xf x答案：( )2 ,3 ,.xxxf xe选其中一个函数.解析：条件（1）表示函数( )f xR在 上单调递增，条件（2）表示（乘性）柯西函数方程( ),xf xa(1)fa，故可取( ),1xf xaa如：( )2 ,3 ,.xxxf xe选其中一个函数.15在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为35，45 则的终边与单位圆交点的纵坐标为.答案：1解析：35Py 得45Px 45Qy 得35Qx sin
11、()sincoscossin=33445555=1.16已知函数 2log,042cos,428xxf xxx，,tR f xt使方程有 4 个不同的解：1234,x x x x，则1234x x x x的取值范围是;1234xxxx的取值范围是.(本小题第一个空 3 分，第二个空 2 分)答案：32,35；6514,4高二数学期末试题第 7 页 共 6 页解析：如图，02t 时，方程存在 4 个不同根，当2t 时，14x ，1311,454xx2log xt时，1222loglogxx得1222loglogxx即21211,1xx xx由正弦函数对称性知3412xx2123434333312
12、636,45x x x xx xxxxx 233()636f xx 在4,5上单调递增，所以12343235x x x x；123411112xxxxxx1111()12f xxx在1,14上单调递减，所以123465144xxxx四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤.17. （本小题满分 10 分）设集合UR，|1327xAx，|12Bx mxm （I）3m ，求UAC B；（II）若“xB”是“xA”的充分条件，求m的取值范围参考解析：|03Axx.1 分（I）当3m 时，
13、|26Bxx.2 分得|26UC Bx xx或.3 分所以UAC B|02xx.4 分（II）由“xB”是“xA”的充分条件知，BA，若B ，则12mm 得1m .5 分若B ，则121023mmmm 得312m.9 分综上所述：1m 或312m.10 分高二数学期末试题第 8 页 共 6 页18. （本小题满分 12 分）已知 21xbfxa是R上的奇函数，且 113f（I）求( )f x的解析式；（II）判断( )f x的单调性，并根据定义证明参考解析：（I）由 (0)0113ff.2 分得02133baba解得12ab.4 分所以2( )121xf x .5 分（II）( )f x在R上
14、单调性递增（备注：只判断没有证明给 1 分）证明：1221,Rx xxx且.6 分则2212()()121xf xf x12121x.7 分12222121xx21122 222121xxxx.8 分由21xx得2122xx，即21220 xx.9 分又1221210 xx.10 分所以21()()0f xf x，即21()()f xf x高二数学期末试题第 9 页 共 6 页所以( )f x在R上单调性递增.12 分19. （本小题满分 12 分）已知函数2( )f xaxbxc，, ,a b cR只能同时满足下列三个条件中的两个：( )0f x 的解集为( 1,3)；1a ；( )f x最
15、小值为4（I）请写出这两个条件的序号，求( )f x的解析式；（II）求关于x的不等式2( )(2)23,f xmxmmR的解集参考解析：选.1 分由( )0f x 的解集为( 1,3)可知( )0f x 的根为121,3xx ( )1f xx 且对称轴，故顶点14（， ）.2 分法一：设2( )(1)4f xa x将（3，0）代入上式.4 分得044a解得1a .5 分所以2( )(1)4f xx.6 分法二：前述分值同法一设( )(1)(3)f xa xx将14（， ）代入上式4 分得44a 解得1a .5 分所以( )(1)(3)f xxx.6 分法三：由21 33444bacaacba
16、 .3 分得123abc 所以2( )23f xxx.6 分法四：由09304abcabcabc .3 分高二数学期末试题第 10 页 共 6 页得123abc 所以2( )23f xxx.6 分（II）2( )(2)23f xmxm化简得2220 xmxm.7 分即20 xmxm，对应方程的根为12,2xm xm .8 分若2mm，即0m 时，解集为R.9 分若2mm，即0m 时，解集为|2x xmxm 或10 分若2mm，即0m 时，解集为|2x xmxm 或11分综上，0m 时，解集为R；0m 时，解集为|2x xmxm 或；0m 时，解集为|2x xmxm 或.12 分20.（本小题满
17、分 12 分）已知( )4cos()cos13f xxx（I）设,6 3x ，求( )f x的值域；（II）设2()2123f，求5cos(2 )3的值参考解析：（I）13( )4( cossin )cos123f xxxx.1 分22cos2 3sin cos1xxxcos23sin2xx.3 分2sin(2)6x.4 分令6tx，由,6 3x ，5,66t .5 分可知1sin,12t ，所以( ) 1,2f x .6 分（II）解法 1.2()2sin()2sin()2126633f7 分高二数学期末试题第 11 页 共 6 页得1sin()33.8 分由522()33.9 分得5cos
18、(2 )cos(2()33.10 分cos2()3 .11分27(1 2sin ()39 .12 分解法 2.2()2sin()2sin()2126633f7 分得1sin()33.8 分1cos()63.9 分由5cos(2 )cos(22 )33.10 分cos(2)3.11分272cos () 169 .12 分21. (本小题满分 12 分)闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关如果刚泡好的茶水温度是1C，空气的温度是0C，那么t分钟后茶水的温度（单位：C）可由公式 010ktte求得，其中k是一个物体与空气的接触状况而定的正常数现有某种
19、刚泡好的红茶水温度是80 C，放在20 C的空气中自然冷却，10 分钟以后茶水的温度是50 C（I）求k的值；（II）经验表明，温度为80 C的该红茶水放在20 C的空气中自然冷却至60 C时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1，附：参考值ln20.7,ln31.1）参考解析：高二数学期末试题第 12 页 共 6 页（I）依题意，1050，0120,801020802050ke.1 分化简，1012ke.2 分得，110ln2k.3 分即，ln20.70.071010k （ln210k 不扣分）.4 分（II）由（I）得 ln2102060tt
20、e.5 分 60t令，即ln210206060te，.6 分化简，ln21032te，.7 分3ln2ln210t .8 分得310 ln10ln3ln2101.1 0.74025.7ln2ln20.77t11分所以，刚泡好的茶水大约需要静置 5.7 分钟才能达到最佳饮用口感. 12 分22.（本小题满分 12 分）已知函数 ln ,f xx xxg xee（I）若0,1x ， g xf a成立，求实数a的取值范围;（II）证明： ( )sin2h xf xxe有且只有一个零点0 x，且03sin22xge参考解析：（I）由xe在xR上单调递增，xe在xR上单调递减，知 xxg xee在xR上
21、单调递增.1 分( )g x在0,1x上最小值为min( )(0)0gxg.2 分由0,1x ， g xf a成立知 mingxf a3 分得 0f a ，即ln0,1aa.4 分（II） lnsin2h xxxe高二数学期末试题第 13 页 共 6 页当xe时， lnsin1 sin022h xxxxee 在,xe恒成立.5 分当0 xe时，ln ,sin2xxe在0,xe上单调递增，所以 lnsin2h xxxe在0,xe上单调递增，6 分又 1sin02he，211 sin02hee 7 分（备注：比如111( )lnsinln2ln022422ehe 也得分）可知存在唯一01,1xe使00h x8 分即00lnsin02xxe00sin( ln)2xggxe.9 分00lnlnxxee001xx.10 分由111( )lnsinln2ln022422ehe （备注：直接判断1( )02h也得分）可知01,12x.11分0001sin2xgxex由001xx在1,12上单调递减，所以001302xx所以00013sin22xgxex.12 分
