十年(2010-2019) 高考数学真题分类汇编（ Word解析版）：三角函数.docx下载_163文库

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1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学专题专题 0 05 5 三角函数三角函数 1.(2019全国 2理 T10 文 T11)已知 0, 2 ,2sin 2=cos 2+1,则 sin =( ) A.1 5 B.5 5 C.3 3 D.25 5 【答案】B 【解析】2sin 2=cos 2+1, 4sin cos =2cos 2. （0, 2 ）,cos 0,sin 0, 2sin =cos . 又 sin 2+cos2=1, 5sin 2=1,即 sin2=1 5. sin 0,sin =5 5 . 故选 B. 2.(2019全国 2文 T

4、0)个单位长度得到点 P.若 P位于函数 y=sin 2x 的图象上,则( ) A.t=1 2,s 的最小值为 6 B.t=3 2 ,s 的最小值为 6 11 C.t=1 2,s 的最小值为 3 D.t=3 2 ,s 的最小值为 3 【答案】A 【解析】设P(x,y).由题意得t=sin(2 4 - 3) = 1 2,且 P的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=1 2.又 P在函数 y=sin 2x的图象上,则 sin 2x=1 2,故点 P的横坐标x= 12+k(kZ)或 5 12+k(kZ),结合题意可得 s的最小值为 4 12 = 6. 33.(2016全国 2文 T11)函数 f(x)=c

5、os 2x+6cos ( 2 -x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】因为f(x)=1-2sin 2x+6sin x=-2 sin x-3 2 2+11 2 ,而 sin x-1,1,所以当 sin x=1 时,f(x)取最大值 5,故选 B. 34.(2015福建文 T6)若 sin =- 5 13,且为第四象限角,则 tan 的值等于( ) A.12 5 B.-12 5 C. 5 12 D.- 5 12 【答案】D 【解析】sin =- 5 13,且为第四象限角, cos =1-sin2 = 12 13.tan = sin cos=- 5 12.

6、35.(2015全国 1理 T2,)sin 20cos 10-cos 160sin 10=( ) A.-3 2 B.3 2 C.-1 2 D.1 2 【答案】D 【解析】sin 20cos 10-cos 160sin 10=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(10+20)=sin 30=1 2. 36.(2015重庆理 T9)若 tan =2tan 5,则 cos(-3 10) sin(- 5) =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】因为 tan =2tan 5, 12 所以 cos(-3 10) sin(- 5) = sin(-3 10+ 2)

7、 sin(- 5) = sin(+ 5) sin(- 5) = sincos 5+cossin 5 sincos 5-cossin 5 = tan+tan 5 tan-tan 5 = 3tan 5 tan 5 =3. 37.(2015重庆文 T6)若 tan =1 3,tan(+)= 1 2,则 tan =( ) A.1 7 B.1 6 C.5 7 D.5 6 【答案】A 【解析】tan =tan(+)-= tan(+)-tan 1+tan(+)tan = 1 2- 1 3 1+1 2 1 3 = 1 7. 38.(2015安徽理 T10)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)

8、的最小正周期为 ,当x=2 3 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)f(2). 再比较 0,-2 与对称轴x= 6距离的大小. -2- 6 -0- 6 =5 6 -2- 6 = 2 3 -20, f(0)f(-2),即f(0)f(-2), 综上,f(0)f(-2)f(2).故选 A. 39.(2015全国 1T8)函数 f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( ) A.(k- 1 4,k + 3 4),kZ 13 B.(2k- 1 4,2k + 3 4),kZ C.(k- 1 4,k + 3 4),kZ D.(2k- 1 4,2

9、k + 3 4),kZ 【答案】D 【解析】不妨设0,由函数图象可知,其周期为T=2(5 4- 1 4)=2,所以 2 =2,解得=. 所以f(x)=cos(x+). 由图象可知,当x=1 2( 1 4 + 5 4) = 3 4时,f(x)取得最小值,即 f(3 4)=cos( 3 4 + )=-1, 解得3 4 +=2k+(kZ),解得=2k+ 4(kZ). 令k=0,得= 4,所以 f(x)=cos( + 4). 令 2kx+ 42k+(kZ), 解得 2k-1 4x2k+ 3 4(kZ). 所以函数f(x)=cos( + 4)的单调递减区间为*2- 1 4,2 + 3 4+(kZ).结合

10、选项知选 D. 40.(2015陕西理 T3 文 T14)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin ( 6 x + )+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】因为 sin( 6 + )-1,1, 所以函数y=3sin( 6 + )+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知k-3=2,解得k=5. 所以y的最大值为k+3=5+3=8.故选 C. 41.(2015山东理 T3 文 T4)要得到函数 y=sin(4x- 3)的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( ) A.向左

11、平移 12个单位 B.向右平移 12个单位 14 C.向左平移 3个单位 D.向右平移 3个单位【答案】B 【解析】y=sin(4- 3)=sin*4(- 12)+,只需将函数 y=sin 4x的图象向右平移 12个单位即可. 42.(2014全国 1T 文 2)若 tan 0,则( ) A.sin 0 B.cos 0 C.sin 20 D.cos 20 【答案】C 【解析】由 tan 0 知角是第一或第三象限角,当是第一象限角时,sin 2=2sin cos 0;当是第三象限角时,sin c B.bca C.cba D.cab 【答案】C 【解析】a=sin 33,b=cos 55=si

13、(2014全国 1理 T6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在 0,的图象大致为( ) 【答案】C 【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM|sin x|=|sin xcos x|=1 2|sin 2x|,由此可知 C 项中图符合.故选 C. 48.(2014浙江理 T4)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y=2cos 3x 的图象 ( ) A.

14、向右平移 4个单位 B.向左平移 4个单位 C.向右平移 12个单位 D.向左平移 12个单位【答案】C 【解析】y=sin 3x+cos 3x=2cos(3- 4) = 2cos*3(- 12)+,因此需将函数 y=2cos 3x的图象向右平移 12个单位.故选 C. 16 49.(2013浙江理 T6)已知 R,sin +2cos =10 2 ,则 tan 2=( ) A.4 3 B.3 4 C.-3 4 D.-4 3 【答案】C 【解析】由 sin +2cos =10 2 ,得 sin =10 2 -2cos . 把式代入 sin 2+cos2=1 中可解出 cos =10 10 或

15、 cos =310 10 , 当 cos =10 10 时,sin =310 10 ; 当 cos =310 10 时,sin =-10 10 . tan =3 或 tan =-1 3,tan 2=- 3 4. 50.(2013大纲全国文 T2)已知是第二象限角,sin = 5 13,则 cos =( ) A.-12 13 B.- 5 13 C. 5 13 D.12 13 【答案】A 【解析】是第二象限角,cos =-1-sin2=-1-( 5 13) 2 =-12 13.故选 A. 51.(2013广东文 T4)已知 sin(5 2 + ) = 1 5,那么 cos =( ) A.-2 5

16、 B.-1 5 C.1 5 D.2 5 【答案】C 【解析】sin(5 2 + )=sin( 2 + )=cos =1 5, cos =1 5. 52.(2013全国 2文 T6)已知 sin 2=2 3,则 cos 2( + 4)=( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 【答案】A 【解析】由降幂公式变形,可得 cos 2( + 4) = 1+cos(2+ 2) 2 = 1-sin2 2 = 1-2 3 2 = 1 6. 17 53.(2012全国理 T9)已知 0,函数 f(x)=sin(x + 4)在( 2 ,)单调递减,则的取值范围是 ( ) A.*1 2, 5 4+

17、 B.*1 2, 3 4+ C.(0, 1 2+ D.(0,2 【答案】A 【解析】结合y=si n x的图象可知y=sin x在* 2, 3 2+单调递减,而 y=sin（x+ 4）=sin（x+ 4）, 可知y=sin x的图象向左平移 4个单位之后可得 y=sin( + 4)的图象,故 y=sin( + 4)在* 4, 5 4+单调递减,故应有* 2 ,+ * 4, 5 4+,解得 1 2 5 4. 54.(2012全国文T9)已知 0,00,当 k=0 时, 取得最小值2 3. 21 66.(2018全国 3理 T15)函数 f(x)=cos (3x + 6)在0,的零点个数为 .

18、【答案】3 【解析】令 f(x)=cos(3x + 6)=0,得 3x+ 6 = 2+k,kZ,x= 9 + k 3 = (3k+1) 9 ,kZ.则在0,的零点有 9 , 4 9 , 7 9 .故有 3 个. 67.(2018全国 1理 T16)已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 . 【答案】33 2 【解析】由题意可得T=2是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在0,2) 上的值域. 由 f(x)=2sin x+sin 2x,得 f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2.

19、令 f(x)=0,可得 cos x=1 2或 cos x=-1,x0,2)时,解得 x= 3或 x= 5 3 或 x=. 因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x= 3 ,x= 5 3 ,x=或x=0时取到 , 且f ( 3) = 33 2 ,f(5 3 )=-33 2 ,f()=0,f(0)=0,所以函数 f(x)的最小值为-33 2 . 68.(2018江苏T7)已知函数 y=sin(2x+) - 20),xR.若函数 f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则的值为 . 【答案】 2 【解析】f(x)=sin

20、x+cos x= 2sin x+ 4 , 因为f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数图象关于直线x=对称, 所以f()必为一个周期上的最大值,所以有+ 4=2k+ 2,kZ,所以 2= 4+2k,kZ. 又-(-) 2 2 ,即 2 2,所以 = 2 . 84.(2015湖南文 T15)已知 0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为 23,则 =_. 【答案】 2 【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin x与y=2cos x的图象,A,B为符合条件的两交点. 则A( 4,2),B(- 3 4,-2), 由|AB|=

21、23,得( ) 2 + (22)2=23, 解得 =2,即 = 2. 85.(2014全国 2理 T14)函数 f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为 . 25 【答案】1 【解析】f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+) =sin(x+)+-2sin cos(x+) =sin(x+)cos+cos(x+)sin -2sin cos(x+) =sin(x+)cos-cos(x+)sin =sin(x+)-=sin x. f(x)max=1. 86.(2014全国 2文 T14)函数 f(x)=sin(x+)-2sin cos x 的最大值为 . 【答案】1

22、【解析】f(x)=sin(x+)-2sin cos x =sin xcos +cos xsin -2sin cos x =sin xcos -cos xsin =sin(x-), f(x)max=1. 87.(2014重庆文T13)将函数f(x)=sin(x+)( 0,- 2 2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 6个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f( 6)=_. 【答案】2 2 【解析】本题可逆推,将y=sin x的图象向左平移 6个单位长度得到 y=sin( + 6)的图象,再保持纵坐标不变, 横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(1

23、2 + 6)的图象.所以 f( 6)=sin( 12 + 6)=sin 4 = 2 2 . 88.(2014全国 2理 T14)函数 f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为 . 【答案】1 【解析】f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+) =sin(x+)+-2sin cos(x+) =sin(x+)cos+cos(x+)sin -2sin cos(x+) =sin(x+)cos-cos(x+)sin =sin(x+)-=sin x. f(x)max=1. 89.(2014全国 2文 T14)函数 f(x)=sin(x+)-2sin cos x 的最大值为

24、. 【答案】1 26 【解析】f(x)=sin(x+)-2sin cos x =sin xcos +cos xsin -2sin cos x =sin xcos -cos xsin =sin(x-), f(x)max=1. 90.(2013全国 2理 T15)设为第二象限角,若 tan( + 4) = 1 2,则 sin +cos = . 【答案】-10 5 【解析】由 tan( + 4) = 1+tan 1-tan = 1 2,得 tan =- 1 3,即 sin =- 1 3cos .将其代入 sin 2+cos2=1,得10 9 cos2=1.因为为第二象限角,所以 cos =-

25、310 10 ,sin =10 10 ,sin +cos =-10 5 . 91.(2013全国 2文 T16)函数 y=cos(2x+)(- 0,| 0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象的一个对称中心为(5 12 ,0),求的最小值. 【解析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- . 数据补全如下表: x+ 0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 Asin(x+) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin(2- 6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2- 6),得 g(x)=5sin(2 + 2- 6). 因

26、为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ. 令 2x+2- 6=k,kZ,解得 x= 2 + 12-,kZ. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5 12 ,0)成中心对称,令 2 + 12-= 5 12,kZ,解得 = 2 3,kZ. 由0 可知,当k=1 时,取得最小值 6. 107.(2014江苏理 T15)已知 ( 2 ,),sin =5 5 . (1)求 sin( 4 + )的值; (2)求 cos(5 6 -2)的值. 108.(2014天津理 T15)已知函数 f(x)=cos xsin(x + 3) 3cos 2x+3 4 ,xR. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求

27、 f(x)在闭区间*- 4 , 4+上的最大值和最小值. 【解析】(1)因为( 2 ,),sin =5 5 , 所以 cos =-1-sin2=-25 5 . 34 故 sin( 4 + )=sin 4cos +cos 4sin = 2 2 (- 25 5 ) + 2 2 5 5 =-10 10 . (2)由(1)知 sin 2=2sin cos =25 5 (- 25 5 )=-4 5,cos 2=1-2sin 2=1-2(5 5 ) 2 = 3 5, 所以 cos(5 6 -2)=cos5 6 cos 2+sin5 6 sin 2=(- 3 2 ) 3 5 + 1 2 (- 4 5)=-

28、4+33 10 . 109.(2014江西理 T16)已知函数 f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中 aR,(- 2 , 2). (1)当 a=2,= 4时,求 f(x)在区间0,上的最大值与最小值; (2)若 f( 2)=0,f()=1,求 a, 的值. 【解析】(1)f(x)=sin( + 4) + 2cos( + 2) =2 2 (sin x+cos x)-2sin x=2 2 cos x-2 2 sin x =sin( 4 -), 因为x0,从而 4-x*- 3 4 , 4+. 故f(x)在0,上的最大值为2 2 ,最小值为-1. (2)由( 2) = 0, () = 1

29、, 得cos(1-2sin) = 0, 2sin2-sin- = 1, 又(- 2 , 2),知 cos 0,解得 = -1, = - 6 . 110.(2014山东理 T16)已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=ab,且 y=f(x)的图象过点 ( 12,3)和点( 2 3 ,-2). (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各最高点到点 (0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由题意知f(x)=ab=msin 2x+nc

30、os 2x. 因为y=f(x)的图象过点( 12,3)和( 2 3 ,-2), 所以 3 = sin 6 + cos 6 , -2 = sin 4 3 + cos 4 3 , 35 即3 = 1 2 + 3 2 , -2 = - 3 2 - 1 2, 解得m=3,n=1. (2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin(2 + 6). 由题意知g(x)=f(x+)=2sin(2 + 2 + 6). 设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知0 2+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). 将其代入y=g(x)得 si

31、n(2 + 6)=1, 因为 0 0,- 2 2)的图象关于直线x= 3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)求和的值; (2)若 f( 2) = 3 4 ( 6 2 3 ),求 cos( + 3 2 )的值. 【解析】(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以f(x)的最小正周期T=,从而=2 =2. 又因f(x)的图象关于直线x= 3对称, 所以 2 3+=k+ 2,k=0,1,2,. 由- 2 2得 k=0,所以= 2 2 3 =- 6. (2)由(1)得f( 2) = 3sin(2 2 - 6) = 3 4 , 所以 sin(- 6) = 1 4. 由 6

32、 2 3 得 0- 6 2, 36 所以 cos(- 6) = 1-sin 2(- 6) =1-(1 4) 2 = 15 4 . 因此 cos( + 3 2 )=sin =sin*(- 6) + 6+ =sin(- 6)cos 6+cos(- 6)sin 6 =1 4 3 2 + 15 4 1 2 = 3+15 8 . 112.(2014四川理 T16 文 T17)已知函数 f(x)=sin(3x + 4). (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若是第二象限角,f( 3) = 4 5cos( + 4)cos 2,求 cos -sin 的值. 【解析】(1)因为函数y=sin x的单调递

33、增区间为*- 2+2k, 2 + 2+,kZ, 由- 2+2k3x+ 4 2+2k,kZ,得- 4 + 2 3 x 12 + 2 3 ,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为 *- 4 + 2 3 , 12 + 2 3 +,kZ. (2)由已知,有 sin( + 4) = 4 5cos( + 4)(cos 2-sin2),所以 sin cos 4+cos sin 4 = 4 5 （cos cos 4-sin sin 4）(cos 2-sin2), 即 sin +cos =4 5(cos -sin ) 2(sin +cos ). 当 sin +cos =0 时,由是第二象限角,知=3 4 +2k,kZ.此时,cos -sin =-2. 当 sin +cos 0 时,有(cos -sin ) 2=5 4. 由是第二象限角,知 cos -sin 0,0 2.y=f(x)的部分图象如图所示,P,Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及的值; (2)若点 R 的坐标为(1,0),PRQ=2 3 ,求 A 的值. 【解析】(1)由题意,得T=2 3 =6. 因为P(1,A)在y=Asin( 3 + )的图象上, 所以 sin( 3 + )=1.又因为 00,所以A= 3 . 38

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