1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 0 06 6 平面向平面向量量 1.(2019全国 2文 T3)已知向量 a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( ) A.2 B.2 C.52 D.50 【答案】A 【解析】由题意,得 a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+ 12= 2,故选 A. 2.(2019全国1 理 T7 文 T8)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 【答案】B 【解析】因为(a-b)b, 所以(a-b
2、)b=ab-b 2=0, 所以 ab=b 2. 所以 cos= ab |a|b| = |b|2 2|b|2 = 1 2, 所以 a 与 b 的夹角为 3,故选 B. 3.(2018全国 1理 T6 文 T7)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则EB =( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB + 1 4AC D.1 4AB + 3 4AC 【答案】A 【解析】如图,EB =-BE =-1 2(BA + BD ) =1 2AB 1 4BC =1 2AB 1 4(AC AB ) =3 4AB 1 4AC . 4.(2018全国 2
3、T4)已知向量 a,b 满足|a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B 2 【解析】a(2a-b)=2a 2-ab=2-(-1)=3. 5.(2018北京理 T6)设 a,b 均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b) 2=(3a+b)2. a,b 均为单位向量,1-6ab+9=9+6ab+1. ab=0,故 ab,反之也成立.故选 C. 6.(2018浙江T9)已知
4、a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为 3,向量 b 满足 b 2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3 【答案】A 【解析】b 2-4eb+3=0,(b-2e)2=1,|b-2e|=1. 如图所示,平移 a,b,e,使它们有相同的起点 O,以 O 为原点,向量 e 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 b 的终点在以点(2,0)为圆心,半径为 1 的圆上,|a-b|就是线段 AB 的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点 到定直线的距离的最小值,也就是圆心 M 到直线 OA 的距离减去圆的半径长,因
5、此|a-b|的最小值为-1. 7.(2018天津理 T8)如图,在平面四边形 ABCD 中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点 E 为边 CD 上的动点,则 A.21 16 B.3 2 C.25 16 D.3 3 【答案】A 【解析】如图,以 D 为坐标原点建立直角坐标系.连接 AC,由题意知CAD=CAB=60,ACD=ACB=30, 则 D(0,0),A(1,0),B（ 3 2, 3 2 ）,C(0,3).设 E(0,y)(0y3),则AE =(-1,y),BE =（-3 2,y- 3 2 ）, AE BE = 3 2+y 2-3 2 y=（y-3 4 ） 2+21
6、16,当 y= 3 4 时,AE BE 有最小值21 16. 8.(2018天津文 T8)在如图的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,MON=120,BM =2MA ,CN =2NA ,则BC OM 的 值为( ) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 【答案】C 【解析】连接 MN,BM =2MA ,CN =2NA ,AC =3AN ,AB =3AM .MNBC,且MN BC = 1 3,BC =3MN =3(ON OM ), BC OM =3(ON OM )OM =3(ON OM -|OM |2)=3*2 1 (-1 2)-1+=-6. 9.(2017全国 2理 T12)已知ABC 是
7、边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则PA (PB + PC )的最 小值是( ) A.-2 B.-3 2 C.-4 3 D.-1 【答案】B 【解析】以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图. 4 可知 A(0,3),B(-1,0),C(1,0). 设 P(x,y),则PA =(-x,3-y),PB =(-1-x,-y),PC =(1-x,-y). 所以PB + PC =(-2x,-2y). 所以PA (PB + PC )=2x2-2y(3-y)=2x2+2(y- 3 2 ) 2 3 2- 3 2. 当点
8、P 的坐标为(0, 3 2 )时,PA (PB + PC )取得最小值为-3 2,故选 10.(2017全国 3理 T12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP =AB +AD ,则 + 的最大值为( ) A.3 B.22 C.5 D.2 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设 P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得 r=|BC|CD| |BD| = 21 5 = 25 5 ,即圆的方程是(x-2) 2+y2=4 5. 易知AP =(x,y-1),AB =(
9、0,-1),AD =(2,0). 由AP =AB +AD , 得x = 2, y-1 = -,所以 = x 2,=1-y, 所以 +=1 2x-y+1. 设 z=1 2x-y+1,即 1 2x-y+1-z=0. 因为点 P(x,y)在圆(x-2) 2+y2=4 5上, 所以圆心 C 到直线1 2x-y+1-z=0 的距离 dr, 即|2-z| 1 4+1 25 5 ,解得 1z3, 11.(2017全国 2文 T4)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) 5 A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b| 【答案】A 【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得 a 2+
10、2ab+b2=a2-2ab+b2,即 ab=0.又 a,b 为非零向量,故 ab,故选 A. 12.(2016四川文 T9)已知正三角形 ABC 的边长为 23,平面 ABC 内的动点 P,M 满足|AP |=1,PM = MC ,则 |BM |2的最大值是( ) A.43 4 B.49 4 C.37+63 4 D.37+233 4 【答案】B 【解析】设ABC 的外心为 D,则|DA |=|DB |=|DC |=2. 以 D 为原点,直线 DA 为 x 轴,过 D 点的 DA 的垂线 为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(2,0),B(-1,-3),C(-1,3). 设 P(x,y),由
11、已知|AP |=1,得(x-2)2+y2=1, PM = MC ,M(x-1 2 , y+3 2 ). BM = (x+1 2 , y+33 2 ). BM 2= (x+1)2+(y+33)2 4 , 它 表 示 圆 (x-2) 2+y2=1 上 点 (x,y) 与 点 (-1,-33)距离平方的1 4, (|BM |2)max=1 43 2+ (0 + 33)2+12=49 4 , 故选 B. 13.(2016天津文 T7)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F,使得 DE=2EF,则AF BC 的值为 ( ) A.-5
12、 8 B.1 8 C.1 4 D.11 8 【答案】B 【解析】方法 1(基向量法):如图所示,选取AB ,AC 为基底,则AF = AB + BE + EF = AB + 1 2BC + 1 2DE = AB + 1 2(AC AB )+1 2 1 2AC = 1 2AB + 3 4AC ,BC = AC AB . 6 故AF BC =（1 2AB + 3 4AC ）(AC AB ) =3 4AC 2 1 4AC AB 1 2AB 2 = 3 4 1 411 1 2 1 2 = 1 8. 14.(2016全国 2理 T3)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则 m=(
13、 ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由题意可知,向量 a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得 43+(m-2)(-2)=0,解得 m=8.故选 D. 15.(2015全国 2文 T4)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 【解析】由已知 2a+b=(1,0), 所以(2a+b)a=11+0(-1)=1.故选 C. 16.(2015福建文 T7)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 bc,则实数 k 的值等于( ) A.-3 2 B.-5 3 C.5 3 D.3 2 【答案】
14、A 【解析】a=(1,2),b=(1,1),c=(1+k,2+k). bc,bc=1+k+2+k=0.k=-3 2 17.(2015广东文 T9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB =(1,-2),AD =(2,1), 则AD AC =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】AC = AB + AD =(3,-1), 所以AD AC =(2,1)(3,-1)=23+1(-1)=5. 18.(2015山东理 T4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC=60,则BD CD =( ) A.-3 2a 2 B.-3 4a 2 C.3 4a 2
15、 D.3 2a 2 【答案】D 7 【解析】如图,设BA =a,BC =b. 则BD CD =(BA + BC )BA =(a+b)a=a2+ab=a2+aacos 60=a2+1 2a 2=3 2a 2. 19.(2015四川理 T7)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB |=6,|AD |=4.若点 M,N 满足BM =3MC ,DN =2NC ,则 AM NM =( ) A.20 B.15 C.9 D.6 【答案】C 【解析】如图所示,AM = AB + BM = AB + 3 4AD ,NM = 1 3AB 1 4AD , 所以AM NM =(AB + 3 4AD )（1 3AB
16、1 4AD ） =1 3|AB |2- 3 16|AD |2+1 4AB AD 1 4AB AD =1 336- 3 1616=9. 20.(2015福建理 T9)已知AB AC ,|AB |=1 t,|AC |=t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点,且AP = AB |AB |+ 4AC |AC |,则PB PC 的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21 【答案】A 【解析】以点 A 为原点,AB ,AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则 A(0,0),B(1 t ,0),C(0,t), AB |AB |=(1,0), AC |AC |=(0
17、,1). AP = AB |AB |+ 4AC |AC |=(1,0)+4(0,1)=(1,4). 点 P 的坐标为(1,4),PB = (1 t -1,-4),PC =(-1,t-4). PB PC =1-1 t-4t+16=-( 1 t + 4t)+17-4+17=13,当且仅当1 t=4t,即 t= 1 2时 取“=”. PB PC 的最大值为 13. 8 21.(2015全国 1文 T2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC =(-4,-3),则向量BC =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 【答案】A 【解析】AB = OB OA =
18、(3,1),AC =(-4,-3), BC = AC AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 22.(2015重庆理 T6)若非零向量 a,b 满足|a|=22 3 |b|,且(a-b)(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 4 B. 2 C.3 4 D. 【答案】A 【解析】由(a-b)(3a+2b)知(a-b)(3a+2b)=0,即 3|a| 2-ab-2|b|2=0.设 a 与 b 的夹角为 ,则 3|a| 2-|a|b|cos -2|b|2=0,即 3(22 3 |b|) 2 22 3 |b| 2cos -2|b|2=0,整理,得 cos =2 2 .故
19、= 4. 23.(2015重庆文 T7)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( ) A. 3 B. 2 C.2 3 D.5 6 【答案】C 【解析】因为 a(2a+b),所以 a(2a+b)=0, 即 2|a| 2+ab=0. 设 a 与 b 的夹角为 ,则有 2|a| 2+|a|b|cos =0. 又|b|=4|a|,所以 2|a| 2+4|a|2cos =0, 则 cos =-1 2,从而 = 2 3 . 24.(2015全国 1理 T7)设 D 为ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( ) A.AD =-1 3AB + 4 3A
20、C B.AD = 1 3AB 4 3AC C.AD = 4 3AB + 1 3AC D.AD = 4 3AB 1 3AC 【答案】A 【解析】如图, 9 AD = AB + BD ,BC =3CD , AD = AB + 4 3BC = AB + 4 3(AC AB ) =-1 3AB + 4 3AC . 25.(2014全国 1文 T6)设 D,E,F 分别为ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB + FC =( ) A.AD B.1 2AD C.BC D.1 2BC 【答案】A 【 解 析 】 EB + FC =- 1 2(BA + BC )- 1 2(CA + CB )=- 1
21、 2(BA + CA )= 1 2(AB + AC )=1 22AD = AD ,故选 A. 26.(2014山东文 T7)已知向量 a=(1,3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为 6,则实数 m=( ) A.23 B.3 C.0 D.-3 【答案】B 【解析】cos= ab |a|b|, cos 6 = 3+3m 232+m2 ,解得 m=3. 27.(2014北京文 T3)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【答案】A 【解析】2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选 A.
22、28.(2014广东文 T3)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 【答案】B 【解析】由题意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选 B. 29.(2014福建理 T8)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 10 【答案】B 【解析】对于 A,C,D,都有 e1e2,故选 B. 30.(2014全
23、国 2理 T3 文 T4)设向量 a,b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则 ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A 【解析】|a+b|=10,(a+b) 2=10. |a| 2+|b|2+2ab=10, |a-b|=6,(a-b) 2=6, |a| 2+|b|2-2ab=6, 由-得 ab=1,故选 A. 31.(2014大纲全国文 T6)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60,则(2a-b)b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】由已知得|a|=|b|=1,=60, (2a-b)b=2ab-b 2=2|a|b|cos-|b|2 =211c
24、os 60-1 2=0,故选 B. 32.(2014大纲全国理 T4)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=( ) A.2 B.2 C.1 D.2 2 【答案】B 【解析】(a+b)a,|a|=1, (a+b)a=0.|a| 2+ab=0.ab=-1. 又(2a+b)b,(2a+b)b=0.2ab+|b| 2=0. |b| 2=2.|b|=2.故选 B. 33.(2014重庆理 T4)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数 k=( ) A.-9 2 B.0 C.3 D.15 2 【答案】C 【解析】由已知(2a-
25、3b)c,可得(2a-3b)c=0, 即(2k-3,-6)(2,1)=0,展开化简,得 4k-12=0, 所以 k=3.故选 C. 11 34.(2012陕西文 T7)设向量 a=(1,cos )与 b=(-1,2cos )垂直,则 cos 2 等于( ) A.2 2 B.1 2 C.0 D.-1 【答案】C 【解析】ab,ab=0, -1+2cos 2=0,即 cos 2=0. 35.(2012重庆理 T6)设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则|a+b|= ( ) A.5 B.10 C.25 D.10 【答案】B 【 解 析 】 由a c,
26、 得ac=2x-4=0, 解 得x=2. 由b c得 1 2 = y -4 , 解 得y=-2, 所 以 a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=10.故选 B. 36.(2010全国文 T2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于( ) A. 8 65 B.- 8 65 C.16 65 D.-16 65 【答案】C 【解析】b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12), 因此 cos= ab |a|b| = 16 513 = 16 65. 37.(2019全国 3文 T13)已知向量 a=
27、(2,2),b=(-8,6),则 cos= . 【答案】 2 10 【解析】cos= ab |a|b| = 2(-8)+26 22+22(-8)2+62 = -4 2210=- 2 10. 38.(2019北京文 T9)已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 ab,则 m= . 【答案】8 【解析】a=(-4,3),b=(6,m),ab, ab=0,即-46+3m=0,即 m=8. 39.(2019天津T14)在四边形 ABCD 中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=BE,则BD AE = . 【答案】-1 【解析】ADBC,且DAB
28、=30,ABE=30. EA=EB,EAB=30. 12 AEB=120. 在AEB 中,EA=EB=2, BD AE =(BA + AD )(AB BE ) =-BA 2+ BA BE + AD AB + AD BE =-12+232cos 30+523cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1. 40.(2019全国 3理 T13)已知 a,b 为单位向量,且 ab=0,若 c=2a-5b,则 cos= . 【答案】2 3 【解析】a,b 为单位向量, |a|=|b|=1. 又 ab=0,c=2a-5b, |c| 2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3. 又 a
29、c=2|a| 2-5ab=2, cos= ac |a|c| = 2 13 = 2 3. 41.(2019 浙 江 T17) 已 知 正 方 形ABCD的 边 长 为1. 当 每 个i(i=1,2,3,4,5,6) 取 遍 1 时,|1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD |的最小值是 ,最大值是 . 【答案】0 25 【解析】(基向量处理) 1AB +2BC +3CD +4 DA +5AC +6BD =(1-3+5-6) AB +(2-4+5+6) AD , 要 使 |1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD |的最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+
30、6|=0, 此时只需要取 1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1,此时|1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD |min=0, 由于 5AC +6BD =2AB 或2AD ,取其中的一种 5AC +6BD =2AB 讨论(其他三种类同),此时 1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD =(1-3+2) AB +(2-4) AD , 要 使 |1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD | 的 最 大 , 只 需 要 使 |1-3+2|,|2-4| 最 大 , 取 1=1,2=1,3=-1,4=-1,此时|1AB +2BC +3CD +4
31、DA +5AC +6BD |=|4AB +2AD |=25,综合几种情 况可得|1AB +2BC +3CD +4DA +5AC +6BD |max=25. 13 42.(2019江苏T12)如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O.若AB AC =6AO EC ,则AB AC的值是 . 【答案】3 【解析】如图,过点 D 作 DFCE,交 AB 于点 F, 由 BE=2EA,D 为 BC 中点,知 BF=FE=EA,AO=OD. 又AB AC =6AO EC =3AD (AC AE ) =3 2(AB + AC )(AC -1 3A
32、B ) =3 2（AB AC 1 3AB 2+ AC 2 1 3AB AC ） =3 2（ 2 3AB AC 1 3AB 2+ AC 2） =AB AC 1 2AB 2+ 3 2AC 2, 得1 2AB 2= 3 2AC 2,即|AB |=3|AC |,故AB AC = 3. 43.(2018北京文 T9)设向量 a=(1,0),b=(-1,m).若 a(ma-b),则 m= . 【答案】-1 【解析】由题意,得 ma-b=(m+1,-m). a(ma-b),a(ma-b)=0,即 m+1=0, m=-1. 44.(2018上海T8)在平面直角坐标系中,已知点 A(-1,0),B(2,0),E
33、,F 是 y 轴上的两个动点,且|EF |=2,则 AE BF 的最小值为 . 【答案】-3 【解析】依题意,设 E(0,a),F(0,b),不妨设 ab,则 a-b=2,AE =(1,a),BF =(-2,b),a=b+2, 所以AE BF =(1,a)(-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3, 故所求最小值为-3. 14 45.(2018江苏 T2)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB 为直径 的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若AB CD =0,则点 A 的横坐标为 . 【答案】3 【
34、解析】设 A(a,2a)(a0),则由圆心 C 为 AB 的中点得 C(a+5 2 ,a),C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与 y=2x 联立解得xD=1,D(1,2).因为AB =(5-a,-2a),CD = (1-a+5 2 ,2-a),AB CD =0,所以 (5-a)(1- a+5 2 )+(-2a)(2-a)=0,即 a 2-2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1. 因为 a0,所以 a=3. 46.(2018全国 3T13)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若 c(2a+b),则 = . 【答案】1 2 【解析】2a+b=(4,2),c=
35、(1,), 由 c(2a+b),得 4-2=0,得 =1 2. 47.(2017全国 1文 T13)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1),若向量 a+b 与 a 垂直,则 m= . 【答案】7 【解析】因为 a=(-1,2),b=(m,1), 所以 a+b=(m-1,3). 因为 a+b 与 a 垂直,所以(a+b)a=0,即-(m-1)+23=0,解得 m=7. 48.(2017山东文 T11)已知向量 a=(2,6),b=(-1,).若 ab,则 = . 【答案】-3 【解析】ab,2-6(-1)=0,=-3. 49.(2017全国 1理 T13)已知向量 a,b 的夹角为 60,|
36、a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 【答案】2 【解析】因为|a+2b| 2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos 60+4|b|2=22+4211 2+41=12, 所以|a+2b|=12=23. 50.(2017天津,理 13 文 14)在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若BD =2DC ,AE =AC AB (R),且 AD AE =-4,则 的值为 . 【答案】 3 11 【解析】由题意,知|AB |=3,|AC |=2, 15 AB AC =32cos 60=3, AD = AB + BD = AB + 2 3BC = AB + 2 3(AC AB )=1
37、3AB + 2 3AC , 所以AD AE =（1 3AB + 2 3AC ）(AC AB ) =-2 3 AB AC 1 3AB 2+ 2 3 AC 2 =-2 3 3-1 33 2+2 3 2 2 =11 3 -5=-4,解得 = 3 11. 51.(2017江苏T12)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为 1,1,2,OA 与OC 的夹角为 ,且 tan =7,OB 与OC 的夹角为 45.若OC =mOA +nOB (m,nR),则 m+n= . 【答案】3 【解析】由 tan =7 可得 cos = 1 52,sin = 7 52, 则 1 52 = OA OC
38、 |OA |OC | = m+nOA OB 2 , 由 cosBOC=2 2 可得2 2 = OB OC |OB |OC | = mOA OB +n 2 , 因为 cos AOB=cos (+45)=cos cos 45-sin sin 45= 1 52 2 2 7 52 2 2 =-3 5,所以OA OB =-3 5,所以 m- 3 5n= 1 5,- 3 5m+n=1, 所以2 5m+ 2 5n= 6 5,所以 m+n=3. 52.(2017山东理 T12)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量,若3 e1-e2与 e1+e2的夹角为 60,则实数 的值是 . 【答案】3 3 【解析】e1,e2是互相垂直的单位向量, 可设 a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,). 则=60. cos=cos 60= ab |a|b| = 3- 22+1 = 1 2, 即3-=2+ 1,解得 =3 3 . 53.(2017江苏 理T13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x 2+y2=50上.若PA PB 20, 则点 P 的横坐标的取值范围是 . 16 【答案】-52,1 【解析】 设 P(x,y),由PA PB 20,易得 x2+y2+12x-6y20.把 x2+y2=50 代入
