1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 0 04 4 导导数与定数与定积分积分 1.(2019全国 2T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 【答案】C 【解析】当 x= 时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线 y=2sin x+cos x 上. y=2cos x-sin x, y|x=2cos -sin =-2. 曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程
2、为 y-(-1)=-2(x-),即 2x+y-2+1=0.故选 C. 2.(2019全国 3T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1,b=1 D.a=e-1,b=-1 【答案】D 【解析】y=ae x+ln x+1, k=y|x=1=ae+1=2, ae=1,a=e -1. 将点(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, b=-1. 3.(2018全国 1理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=
3、f(x)在点(0,0)处的 切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 【答案】D 【解析】因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x 3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x. 由 f(x)=3x 2+1,得曲线 y=f(x)在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x. 4.(2017全国 2理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e-3 D.1 【答案】A 【解析】
4、由题意可得, f(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 2 因为 x=-2 是函数 f(x)的极值点, 所以 f(-2)=0.所以 a=-1. 所以 f(x)=(x 2-x-1)ex-1. 所以 f(x)=(x 2+x-2)ex-1. 令 f(x)=0,解得 x1=-2,x2=1. 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 选 A. 5.(2017浙江T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函
5、数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 【答案】D 【解析】设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x11,00 时,令 F(x)=f(x) x ,则 F(x)=xf(x)-f(x) x2 0 时,F(x)=f(x) x 为减函数. f(x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0. 在区间(0,1)上,F(x)0; 在(1,+)上,F(x)1 时,f(x)0;当 x(-1,0)时,f(x)0 的解集为(-,-1)(0,1).故选 A. 10.(2015全国 1理 T12)设函数 f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中 a0 时,f(x)=3
6、ax 2-6x=3x(ax-2),易知函数 f(x)在(-,0)上单调递增. 又 f(0)=1,当 x-时,f(x)=x 2(ax-3)+1-,故不适合题意;当 a0 就满足题意. 由 f(2 a)0,得 8 a2 12 a2+10,解得 a2(舍去).故 a 1 4,解得 m2.故选 C. 16.(2014湖北理 T6)若函数 f(x),g(x)满足 1 -1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间-1,1上的一组 正交函数.给出三组函数: f(x)=sin 1 2x,g(x)=cos 1 2x; f(x)=x+1,g(x)=x-1; f(x)=x,g(x)=x 2. 其中
7、为区间-1,1上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】对于, 1 -1 (sin 1 2xcos 1 2x)dx= 1 -1 1 2 sin xdx= 1 2 1 -1 sin xdx= 1 2 (-cos x)|-1 1 = 1 2 -cos 1-cos(-1)=1 2(-cos 1+cos 1)=0. 故为一组正交函数; 7 对于, 1 -1 (x+1)(x-1)dx= 1 -1 (x 2-1)dx=(1 3x 3-x)| -1 1 = 1 3-1-(- 1 3 + 1) = 2 3-2=- 4 30, 故不是一组正交函数; 对于, 1 -1 xx
8、2dx=1 -1 x 3dx=(1 4x 4)| -1 1 =0. 故为一组正交函数,故选 C. 17.(2014山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 B.42 C.2 D.4 【答案】D 【解析】由y = 4x, y = x3,解得 x=-2 或 x=0 或 x=2, 所以直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形面积应为 S= 2 0 (4x-x 3)dx=(2x2-1 4x 4)| 0 2 = (2 22- 1 4 24)-0=4. 18.(2013北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点
9、且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( ) A.4 3 B.2 C.8 3 D.162 3 【答案】C 【解析】由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1), 所求面积 S=4-2 2 0 x2 4dx=4-2( x3 12)|0 2 = 8 3,故选 C. 19.(2013全国 2理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.x0R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-,x0)单调递减 D.若 x0是 f(x)的极值
10、点,则 f(x0)=0 【答案】C 【解析】x0是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图象大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故 C 不正确. 8 20.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 1+t(t 的单 位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln 11 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 【答案】C 【解析】由于 v(t)=7-3t+ 25 1+t,且汽车停止时速度为 0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4,即
11、汽车从刹车到停止共用 4 s.该汽车在此期间所行驶的距离 s= 4 0 (7-3t + 25 1+t)dt=7t- 3t2 2 + 25ln(t + 1)|0 4 =4+25ln 5(m). 21.(2012湖北理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( ) A.2 5 B.4 3 C.3 2 D. 2 【答案】B 【解析】 由图象可得二次函数的 【解析】 式为 f(x)=-x 2+1,则与 x 轴所围图形的面积 S=1 -1 (-x 2+1)dx=(-x3 3 + x)|-1 1 = 4 3. 22.(2011全国,理 9)由曲线 y=x,直线 y=
12、x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10 3 B.4 C.16 3 D.6 【答案】C 【解析】由题意知,所围成的面积 4 0 x-(x-2)dx=(2 3x 3 2- 1 2x 2 + 2x)| 0 4 = 2 3 4 3 2 1 24 2+24=16 3 . 23.(2010全国,理 3)曲线 y= x x+2在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 【答案】A 【解析】y= x+2-x (x+2)2 = 2 (x+2)2, 在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为 2 (-1+2)2=2. 切线方程为
13、y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 9 24.(2010全国文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 【答案】A 【解析】y|x=1=(3x 2-2)| x=1=1,因此曲线在(1,0)处的切线方程为 y=x-1. 25.(2019全国 1T13)曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 【答案】y=3x 【解析】由题意可知 y=3(2x+1)e x+3(x2+x)ex =3(x 2+3x+1)ex, k=y|x=0=3. 曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,
14、0)处的切线方程为 y=3x. 26.(2019天津文 T11)曲线 y=cos x-x 2在点(0,1)处的切线方程为 . 【答案】x+2y-2=0 【解析】y=-sin x-1 2,y|x=0=k=- 1 2. 切线方程为 y-1=-1 2x,即 x+2y-2=0. 27.(2019江苏,11)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=ln x 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点 (-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是 . 【答案】(e,1) 【解析】设点 A(x0,y0),则 y0=ln x0, 又 y=1 x,当 x=x0时,y= 1 x0,点 A 在曲线
15、 y=ln x 上的切线为 y-y0= 1 x0(x-x0),即 y-ln x0= x x0-1,代入点(-e,-1), 得-1-ln x0=-e x0-1, 即 x0ln x0=e,得 x0=e,y0=1,故点 A(e,1). 28.(2018天津文 T10)已知函数 f(x)=e xln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 . 【答案】e 【解析】f(x)=e xln x+ex x ,f(1)=eln 1+e 1=e. 29.(2018全国 2理 T13 )曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x 10 【解析】y= 2 x+1,当 x
16、=0 时,y=2, 曲线在(0,0)处的切线方程为 y=2x. 30.(2018全国 2文 T13)曲线 y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x-2 【解析】y=(2ln x)=2 x,当 x=1 时,y=2.切线方程为 y=2(x-1),即 y=2x-2. 31.(2018全国 3,理 14)直线 y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a= . 【答案】-3 【解析】设 f(x)=(ax+1)e x, f(x)=ae x+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex, f(x)=(ax+1)e x在(0,1)处的切线斜率 k=f(0)=a+1=-
17、2,a=-3. 32.(2018江苏T11)若函数 f(x)=2x 3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的 最大值与最小值的和为 . 【答案】-3 【解析】由 f(x)=6x 2-2ax=0,得 x=0 或 x=a 3.因为函数 f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,且 f(0)=1,所以 a 30,f( a 3)=0,因此 2( a 3) 3-a(a 3) 2+1=0,解得 a=3.从而函数 f(x)在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,所以 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4.故 f(x)max+f(x)min=1
18、-4=-3. 33.(2017全国 1,文 14)曲线 y=x 2+ 在点(1,2)处的切线方程为 . 【答案】y=x+1 【解析】设 y=f(x),则 f(x)=2x- 1 x2,所以 f(1)=2-1=1.所以曲线 y=x 2+1 x在点(1,2)处的切线方程为 y-2=1(x-1),即 y=x+1. 34.(2017天津,文 10)已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1,f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的 截距为 . 【答案】1 【解析】 f(x)=ax-ln x,f(x)=a-1 x,f(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x
19、-1),即y=(a-1)x+1, 则 l 在 y 轴上的截距为 1. 35.(2017山东理 T15)若函数 e xf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则 称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 . f(x)=2 -x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2 11 【答案】 【解析】对,设 g(x)=e x2-x, 则 g(x)=e x(2-x + 2-xln 1 2) =e x2-x(1 + ln1 2)0, g(x)在 R 上单调递增,具有 M 性质; 对,设 g(x)=e x3-x, 则 g(x
20、)=e x(3-x + 3-xln 1 3) =e x3-x(1 + ln1 3)0, g(x)0,g(x)在 R 上单调递增,具有 M 性质.故填. 36.(2017江苏 T11)已知函数 f(x)=x 3-2x+ex-1 ex,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a 2)0,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】*-1, 1 2+ 【 解 析 】 因 为f(-x)=(-x) 3-2(-x)+e-x-1 e-x =-f(x), 所 以f(x) 为 奇 函 数 . 因 为 f(x)=3x 2-2+ex+e-x3x2-2+2exe-x0(当且仅当 x=0 时等号成立),所以 f(
21、x)在 R 上单调递增,因为 f(a-1)+f(2a 2)0 可化为 f(2a2)-f(a-1),即 f(2a2)f(1-a),所以 2a21-a,2a2+a-10,解得-1a1 2, 故实数 a 的取值范围是*-1, 1 2+. 37.(2016全国 2 理 T16)若直线 y=kx+b是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 【答案】1-ln 2 【解析】设直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2 和 y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b),由导数的几何意 义,可得 k= 1 x1 = 1 x2+1,得 x1=
22、x2+1. 又切点也在各自曲线上,所以 12 kx1 + b = lnx1+ 2, kx2+ b = ln(x2+ 1),所以 k = 2, x1= 1 2, x2= - 1 2. 从而由 kx1+b=ln x1+2,代入解得 b=1-ln 2. 38.(2015全国 1文 T14)已知函数 f(x)=ax 3+x+1 的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a= . 【答案】1 【解析】f(x)=3ax 2+1,f(1)=3a+1, 即切线斜率 k=3a+1. 又 f(1)=a+2,已知点为(1,a+2). 而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a+2-7 1-2 =
23、5-a,5-a=3a+1,解得 a=1. 39.(2015全国 2 文 T16)已知曲线 y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax 2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 【答案】8 【解析】y=1+1 x,k=y|x=1=2, 切线方程为 y=2x-1. 由 y=2x-1 与 y=ax 2+(a+2)x+1 联立,得 ax2+ax+2=0,再由相切知 =a2-8a=0,解得 a=0 或 a=8. 当 a=0 时,y=ax 2+(a+2)x+1 并非曲线而是直线,a=0 舍去,故 a=8. 40.(2015陕西理 T15)设曲线 y=e x在点(0,1)处的切线与曲线 y=1
24、x (x0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐 标为 . 【答案】(1,1) 【解析】 曲线 y=e x在点(0,1)处的切线斜率 k=y=ex| x=0=1;由 y=1 x,可得 y=- 1 x2,因为曲线 y= 1 x(x0)在点 P 处的 切线与曲线 y=e x在点(0,1)处的切线垂直,故-1 xP 2=-1,解得 xP=1,由 y= 1 x,得 yP=1,故所求点 P 的坐标为(1,1). 41.(2015天津,理 11)曲线 y=x 2与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为_. 【答案】 1 6 【解析】 函数 y=x 2与 y=x 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面
25、积 为 S. 由y = x 2, y = x, 得x = 0, y = 0 或x = 1, y = 1. 故所求面积 S= 1 0 (x-x 2)dx=(1 2x 2-1 3x 3)| 0 1 = 1 6. 13 42.(2015陕西理 T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图 中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】 43.(2012上海理 T13)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B(1 2,5),C(1,0).函数 y=xf(x)(0x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为
26、_. 【答案】5 4 【解析】由题意 f(x)= 10x,0 x 1 2, -10x + 10, 1 2 0; 当 x(0, a 3)时,f(x)0. f(x)=- 3 4x + 1 21+x 15 =(1+x-2)(21+x+1) 4x1+x , 所以,函数 f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+). (2)由 f(1) 1 2a,得 00,f(x)单调递增. 因此,f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知 f(x0)0, 所以 f(x)=0 在区间(x0,+)内存在唯一根 x=. 由 x01 得1 0; 当 x(0, a 3)时,f(x)0. 从而,f(x)在区间(
27、0, 2+上没有零点. ()当x( 2 ,+时,f(x)0,f()1,所以 f(x)0; 当 x( 2 ,)时,g(x)0,g()=-2, 22 故 g(x)在(0,)存在唯一零点. 所以 f(x)在(0,)存在唯一零点. (2)解由题设知 f()a,f()=0,可得 a0. 由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为 x0,且当 x(0,x0)时,f(x)0;当 x(x0,)时,f(x)0,所以 f(x)在区间(0,1),(1,+)内单调递增. 因为 f(e)=1-e+1 e-10,所以 f(x)在区间(1,+)内有唯一零点 x 1,即 f(x1)=0. 又 0 1 x12. 【解析】
28、(1)由已知,f(x)的定义域为(0,+),且 f(x)=1 x-ae x+a(x-1)ex=1-ax2ex x . 23 因此当 a0 时,1-ax 2ex0,从而 f(x)0, 所以 f(x)在(0,+)内单调递增. (2)证明由(1)知,f(x)= 1-ax2ex x .令 g(x)=1-ax 2ex,由 01 时,ln xx01,故ex1-x0 x0 2(x1-1) x1-1 = x0 2,两边取对数,得 lnex1-x00 时,h(x)=ax(x-2)e -x. 当 x(0,2)时,h(x)0. 24 所以 h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增. 故 h(2)=1-4a
29、 e2是 h(x)在0,+)的最小值. 若 h(2)0,即 a0 时,e xx2,所以 h(4a)=1-16a 3 e4a =1- 16a3 (e2a)21- 16a3 (2a)4=1- 1 a0. 故 h(x)在(2,4a)有一个零点.因此 h(x)在(0,+)有两个零点. 综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e 2 4. 57.(2018全国 2文 T21 度)已知函数 f(x)=1 3x 3-a(x2+x+1). (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. 【解析】(1)当 a=3 时,f(x)=1 3x 3-3x2-3x-3,f(x)=x2
30、-6x-3. 令 f(x)=0,解得 x=3-23或 x=3+23. 当 x(-,3-23)(3+23,+)时,f(x)0; 当 x(3-23,3+23)时,f(x)0,所以 f(x)=0 等价于x3 x2+x+1-3a=0. 设 g(x)= x3 x2+x+1-3a,则 g(x)= x2(x2+2x+3) (x2+x+1)2 0,仅当 x=0 时 g(x)=0,所以 g(x)在(-,+)单调递增,故 g(x) 至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点. 又 f(3a-1)=-6a 2+2a-1 3=-6(a- 1 6) 2 1 60,故 f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点.
31、 58.(2018天津理 T20)已知函数 f(x)=a x,g(x)=log ax,其中 a1. (1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2) 处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-2lnlna lna ; 25 (3)证明当 ae 1 e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线. 【解析】(1)由已知,h(x)=a x-xln a,有 h(x)=axln a-ln a. 令 h(x)=0,解得 x=0. 由 a1,可知当 x 变化时,
32、h(x),h(x)的变化情况如下表: x (-,0) 0 (0,+) h(x) - 0 + h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+). (2)证明由 f(x)=a xln a,可得曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x1)处的切线斜率为ax1ln a.由 g(x)= 1 xlna,可得曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为 1 x2lna.因为这两条切线平行,故有a x1ln a= 1 x2lna,即 x2a x1(ln a)2=1.两边 取以 a 为底的对数,得 logax2+x1+2logaln a=0,所以 x1+g(x2)
33、=-2lnlna lna . (3)证明曲线 y=f(x)在点(x1,ax1)处的切线 l1:y-ax1= ax1ln a(x-x1).曲线 y=g(x)在点(x2,logax2)处的切 线 l2:y-logax2= 1 x2lna(x-x2). 要证明当 ae 1 e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线,只需证明当 ae 1 e时,存 在 x1(-,+),x2(0,+),使得 l1与 l2重合. 即只需证明当 ae 1 e时,方程组 ax1lna = 1 x2lna, ax1-x1ax1lna = logax2- 1 lna 有解. 由得 x2=
34、 1 1()2,代入,得 1-x11ln a+x1+ 1 + 2 =0. 因此,只需证明当 a 1 时,关于 x1的方程存在实数解. 设函数 u(x)=a x-xaxln a+x+1 + 2 ,即要证明当 a 1 时,函数 y=u(x)存在零点. u(x)=1-(ln a) 2xax, 可 知 当 x (-,0) 时 ,u(x)0; 当x (0,+) 时 ,u(x) 单 调 递 减 , 又 u(0)=10,u( 1 ()2)=1- 1 ()20,使得 u(x0)=0,即 1-(ln a)2x00=0.由此可得 u(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0+)上单调递减,u(x)在 x=x0处取得
35、极大值 u(x0). 因为 a 1 ,故 ln ln a-1,所以 u(x0)=0-x00ln a+x0+ 1 + 2 = 1 0()2+x 0+2 2+2 0. 26 下面证明存在实数 t,使得 u(t)1 时,有u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+ 1 + 2 =-(ln a) 2x2+x+1+1 + 2 , 所以存在实数 t,使得 u(t)1 时,令 g(x)=0,解得 x 1=- 2-1 3 ,x2= 2-1 3 . 易得,g(x)在(-,x1)上单调递增,在x1,x2上单调递减,在(x2,+)上单调递增. g(x)的极大值 g(x1)=g(- 2-1 3 ) = 23(
36、2-1) 3 2 9 +630. g(x)的极小值 g(x2)=g( 2-1 3 )=-23( 2-1)3 2 9 +63. 若 g(x2)0,由 g(x)的单调性可知函数 y=g(x)至多有两个零点,不合题意. 若g(x2)27, 也 就 是 |d| 10 , 此 时 |d|x2,g(|d|)=|d|+6 3 0, 且 -2|d|0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在 “S 点”,并说明理由. 【解析】(1)证明函数 f(x)=x,g(x)=x 2+2x-2, 则 f(x)=1,g(x)=2x+2. 由 f(x)=g(x),且 f(x)=g(x), 得x = x
37、 2 + 2x-2, 1 = 2x + 2, 此方程组无解, 因此,f(x)与 g(x)不存在“S 点”. (2)解函数 f(x)=ax 2-1,g(x)=ln x, 则 f(x)=2ax,g(x)=1 x. 设 x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”,由 f(x0)=g(x0),且 f(x0)=g(x0), 得 ax0 2-1 = lnx0, 2ax0= 1 x0 , 即ax0 2-1 = lnx0, 2ax0 2 = 1, (*) 得 ln x0=-1 2,即 x0=e -1 2,则 a= 1 2(e- 1 2)2 = e 2. 当 a=e 2时,x0=e -1 2满足方程组(*),即
38、x0为 f(x)与 g(x)的“S 点”. 因此,a 的值为e 2. (3)解对任意 a0,设 h(x)=x 3-3x2-ax+a. 因为 h(0)=a0,h(1)=1-3-a+a=-20. 函数 f(x)=-x 2+a,g(x)=bex x ,则 f(x)=-2x,g(x)=be x(x-1) x2 . 由 f(x)=g(x),且 f(x)=g(x), 得 -x2+ a = bex x , -2x = bex(x-1) x2 , 29 即 -x 2 + a = 2x0 3 ex0(1-x0) ex x , -2x = 2x0 3 ex0(1-x0) ex(x-1) x2 , (*) 此时,x
39、0满足方程组(*),即 x0是函数 f(x)与 g(x)在区间(0,1)内的一个“S 点”. 因此,对任意 a0,存在 b0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+)内存在“S 点”. 62.(2018全国 1理 T21)已知函数 f(x)=1 x-x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:f(x1)-f(x2) x1-x2 2,令 f(x)=0 得,x= a-a2-4 2 或 x= a+a2-4 2 . 当 x(0, a-a2-4 2 ) ( a+a2-4 2 , + )时,f(x)0. 所 以f(x) 在 (0, a-a2-4
40、 2 ),( a+a2-4 2 , + ) 单 调 递 减 , 在 ( a-a2-4 2 , a+a2-4 2 )单调递增. (2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当 a2. 由于 f(x)的两个极值点 x1,x2满足 x 2-ax+1=0,所以 x 1x2=1,不妨设 x11. 由于f(x1)-f(x2) x1-x2 =- 1 x1x2-1+a lnx1-lnx2 x1-x2 =-2+alnx1-lnx2 x1-x2 =-2+a-2lnx2 1 x2-x2 , 所以f(x1)-f(x2) x1-x2 0. 所以 f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增. (2)当 a1 e
41、时,f(x) ex e -ln x-1. 设 g(x)=e x e -ln x-1,则 g(x)=e x e 1 x. 当 00. 所以 x=1 是 g(x)的最小值点. 故当 x0 时,g(x)g(1)=0. 因此,当 a1 e时,f(x)0. 64.(2018全国 3理 T21)已知函数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x. (1)若 a=0,证明:当-10; (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a. 【解析】(1)当 a=0 时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f(x)=ln(1+x)- x 1+x, 设函数 g(x)=f(x)=ln(1+x)- x
42、1+x,则 g(x)= x (1+x)2, 当-10.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0, 且仅当 x=0 时,f(x)=0. 所以 f(x)在(-1,+)单调递增. 又 f(0)=0,故当-10. (2)若 a0,由(1)知,当 x0 时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与 x=0 是 f(x)的极大值点矛盾. 若 a0,则当 00,g(x)单调递增;所以 g(x)g(-1)=0. 因此 f(x)+e0. 66.(2018浙江T22)已知函数 f(x)=-ln x. (1)若 f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等
43、,证明:f(x1)+f(x2)8-8ln 2; (2)若 a3-4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点. 【解析】(1)函数 f(x)的导函数 f(x)= 1 2x 1 x, 由 f(x1)=f(x2),得 1 2x1 1 x1 = 1 2x2 1 x2, 因为 x1x2,所以 1 x1 + 1 x2 = 1 2. 由基本不等式,得1 2x1x2 =x1+x22x1x2 4 , 因为 x1x2,所以 x1x2256. 由题意得 f(x1)+f(x2)=x1-ln x1+x2-ln x2=1 2x1x2-ln(x1x2). 设 g(x)=1 2x-
44、ln x, 则 g(x)= 1 4x(x-4), 32 所以 x (0,16) 16 (16,+) g(x) - 0 + g(x) 2-4ln 2 所以 g(x)在256,+)上单调递增,故 g(x1x2)g(256)=8-8ln 2, 即 f(x1)+f(x2)8-8ln 2. (2)令 m=e -(|a|+k),n=(|a|+1 k ) 2 +1,则 f(m)-km-a|a|+k-k-a0, f(n)-kn-a0), 则年总产值为 4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ),*0, 2). 设 f()
45、=sin cos +cos ,*0, 2), 则 f()=cos 2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1). 令 f()=0,得= 6, 当(0, 6)时,f()0,所以 f()为增函数; 当( 6 , 2)时,f()0. 令 x=1+ 1 2n得 ln(1 + 1 2n) 1 2n. 从而 ln(1 + 1 2)+ln(1 + 1 22)+ln(1 + 1 2n) 1 2 + 1 22+ 1 2n=1- 1 2n0), 所以 g(x)在0,+)内单调递增,而 g(0)=0, 故 e xx+1. 当0ax0+1. 当 a0 时,取 x0=5-
46、1 2 ,则 x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0) 2=1ax 0+1. 综上,a 的取值范围是1,+). 70.(2017天津文 T19)设 a,bR,|a|1.已知函数 f(x)=x 3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x). (1)求 f(x)的单调区间; (2)已知函数 y=g(x)和 y=e x的图象在公共点(x 0,y0)处有相同的切线, 求证:f(x)在 x=x0处的导数等于 0; 若关于 x 的不等式 g(x)e x在区间x 0-1,x0+1上恒成立,求 b 的取值范围. 【解析】(1)解由 f(x)=x 3-6x2-3a(a-4)x+b, 可得 f(x)=3x 2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a). 令 f(x)=0,解得 x=a 或 x=4-a. 由|a|1,得 a0,可得 f(x)1. 又因为 f(x0)=1,f(x0)=0. 故 x0为 f(x)的极大值点,由(1)知 x0=a. 另一方面,由于|a|1,故 a+1H1(x0)=-f(x0)=0,可得 H1(m)0,即 h(m)0. 令函数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则 H2(
