1、必修解答题综合题一、解答题1、在锐角三角形 ABC 中，A2B，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，求 a的取值范围 b2、在ABC 中，已知 a23，b6，A30，解三角形3、在ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a2，C，4cosB2 5，求ABC 的面积 S.254、ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b2ac 且 cosB3.411(1)求的值；tanAtanC3（2）设BABC=，求 a+c 的值.2a2b2sinAB5、在ABC 中，求证：.c2sinC6、如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为a，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B
2、，在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高hasinasinsin-aBa7、如图，为测量河对岸 A、 B 两点的距离，在河的这边测出 CD 的长为 3km，ADBCDB30，2ACD60，ACB45，求 A、B 两点间的距离8、如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.9、江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连成 30角，求两条船之间的距离10、轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120，
3、轮船 A 的航行速度是 25nmile/h，轮船 B 的航行速度是 15nmile/h，下午 2 时两船之间的距离是多少？111、在ABC 中，D为边 BC 上一点，BD2DC，ADB120，AD2.若ADC 的面积为 33，求BAC.12、如图，一艘船以 32.2nmile/h 的速度向正北航行在处看灯塔在船的北偏东20的方向，30min后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔 6.5nmile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？S北B西东20南A13、一架飞以 326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市 A 出发向城市 B 飞行，18min
4、 以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市 C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？14、在ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cosA4.5BC(1)求 sin2cos2A 的值；2(2)若 b2，ABC 的面积 S3，求 a.15、已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3a2，cosB.5(1)若 b4，求 sinA 的值；(2)若ABC 的面积 SABC4，求 b，c 的值16、已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若
5、mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C，求ABC 的面积317、如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交 AC 于 E，AB2.(1)求 cosCBE 的值；(2)求 AE.18、（本题满分 12 分）在ABC 中，BCa，ACb，a，b 是方程x223x20的两个根，且2cosAB。1求：(1)角 C 的度数；(2)AB 的长度。19、某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假
6、设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值20、在ABC 中，a 比 b 长 2，b 比 c 长 2，且最大角的正弦值是 3，求ABC 的面积221、已知an是首项为 19，公差为2 的等差数列，Sn为an的前 n 项和(1)求通项 an及 Sn；(2)设bnan是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的通项公式及前 n 项和 Tn.22、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c
7、，已知 cos2C1.4(1)求 sinC 的值；(2)当 a2,2sinAsinC 时，求 b 及 c 的长23、在ABC 中，设tantanA2cBbb,，求 A 的值。24、如图所示，我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45且距离为 12 海里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105的方向逃窜，我艇立即以 14 海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间25、设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a2bsinA.(1)求 B 的大小(2)若 a33，c5，求 b.26、如图，H、G、B 三点在同一条直线上，在 G、H 两点用测角仪器测得
8、 A 的仰角分别为，CDa，测角仪器的高是 h，用 a，h，表示建筑物高度 AB.27、半径为 1 的圆内接三角形的面积为 025，求此三角形三边长的乘积28、设数列a1，3231a满足1annan1，写出这个数列的前 5 项并归纳通项公式。nn29、在数列an中，a11，an112an1(n2，nN*)(1)求证：an3an；(2)求 a2011.130、设数列a满足11a，1an1n，写出这个数列的前 5 项。nan19nn131、已知 an10n有，说明理由(nN*)，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没nn1232、数列a中，已知an,nN。*n32（1）写出a1
9、0,an；（2）79是否是数列中的项？如果是，是第几项？1333、已知数列an满足 a11，且当 n1，nN*时，有，设 bn，an12an1115an12anannN*.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问 a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由34、若 sin，sin，cos成等差数列，sin，sin，cos成等比数列，求证：2cos2cos2.1135、已知 a0，求证：a2aa22a2.36、数列a满足an13an(nN*)，问是否存在适当的a1，使是等差数列？nn437、数列a满足a1n4(n2),，设4,anan11bnan2（1）判断数列b是等差
10、数列吗？试证明。n（2）求数列a的通项公式n38、在公差不为零的等差数列a1,a为方程0a中，x2axa的跟，求a的通项公式。n234n39、在等差数列a中，已知a510,a31,，求首项a与公差 dn12140、已知两个等差数列an：5,8,11，bn：3,7,11，都有 100 项，试问它们有多少个共同的项？41、设等差数列an满足 a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最大的序号 n 的值42、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，且 S120，S132，都有不等式 x2+ax+b（m+2）x-m-15 成立，求实数 m 的
11、取值范围。a2b2ab73、设 ab0，试比较与的大小 a2b2ab74、设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0 且 x1，试比较 f(x)与 g(x)的大小75、若不等式 ax2bxc0 的解集为1x|x23，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集2xy5076、已知，求 x2y2的最小值和最大值3xy50 x2y50 x3y1277、线性约束条件下，求 z2xy 的最大值和最小值 xy103xy1278、是否存在常数 c,使得不等式xyxyc2xyx2yx2y2xy对任意正数 x, y 恒成立？试证明你的结论.79、某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t
12、支援物资的任务该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元请为公司安排一下，应如何调配车辆，才 能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？80、预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍问：桌、椅各买多少才合适？81、已知：x2y2a,m2n2b(a,b0),求 mx+ny 的最大值.x382、利用平面区域求不等式组的整数解 y26x7y50
13、83、已知实数 x、y 满足2xy20 x2y40y1，试求 z的最大值和最小值x13xy3084、设 a、b、c 都是正数，求证：bccaababc.abc85、已知 a，b，c 为不等正实数，且 abc1.111求证：abc.abc86、（本小题满分 12 分）对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围。87、（本小题满分 12 分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为 5m 的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？喷水器喷水器88、（本小题满分 14 分
14、）已知函数f(x)x2axb。（1）若对任意的实数x，都有f(x)2xa，求b的取值范围；（2）当x1,1时，f(x)的最大值为 M，求证：Mb1；1a2（3）若a(0,)，求证：对于任意的x1,1，|f(x)|1的充要条件是1ba.2489、（本题满分 13 分）已知1lgxy2，2lgx2y3，求 lgx33y的取值范围。90、如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB3 米，AD2 米(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？(2)当 DN
15、 的长为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值91、已知 a，b，c(0，)abc1求证：()()().abbcca892、某商店预备在一个月内分批购买每张价值为 20 元的书桌共 36 台，每批都购入 x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费 4 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比， 若每批购入 4 台，则该月需用去运费和保管费共 52 元，现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管 费(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由ax93、（本小题满分
16、 13 分）已知a1，解关于x的不等式1x294、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电力(kwh)45200劳动力(个)310300利润(万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？95、（本小题满分 12 分）已知abc0，求证：abbcca0。96、设 aR，关于 x 的一元二次方程 7x2(a13)xa2a20 有两实根 x1，x2，且0 x11x22，求 a 的取值范围97、记等差数列an的前 n 项和
17、为 Sn，设 S312，且 2a1，a2，a31 成等比数列，求 Sn.98、在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 1tanA2ctanBb.(1)求角 A；(2)若 a3，试判断 bc 取得最大值时ABC 形状99、C 位于 A 城的南偏西 20的位置，B 位于 A 城的南偏东 40的位置，有一人距 C 为 31 千米的B 处正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 千米，问这人还要走多少千米才能到达 A 城？100、在ABC 中，A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且有 bcosCccosB2acosB.(1)求 B 的
18、大小；33(2)若ABC 的面积是，且 ac5，求 b.4以下是答案一、解答题1、解在锐角三角形 ABC 中，A，B，C90，B90，即30B45.2B90，1803B90，由正弦定理知：asinAsin2BbsinBsinB2cosB(2，3)，故 a的取值范围是(2，3)b2、解 a23，b6，ab，A30bsinA，所以本题有两解，由正弦定理得：bsinA6sin303sinB，故 B60或 120.a232当 B60时，C90，ca2b243；当 B120时，C30，ca23.所以 B60，C90，c43 或 B120，C30，c23.3、解 cosB2cos2B1，325 4故 B
19、为锐角，sinB.53B72所以 sinAsin(BC)sin4.10asinC10由正弦定理得 c，sinA7111048所以 SABCacsinB2.227574、解(1)由 cos B3，得 sin B14由 b2ac 及正弦定理得 sin2Bsin Asin C.11cos Acos C于是3427.4tan Atan Csin Asin CsinCcos AcosCsinAsinACsinAsinCsin2BsinB147sin2BsinB7.33(2)由BABC=得 cacosB=223由 cosB，可得 ca2，即 b22.4由余弦定理：b2a2c22accosB，得 a2c2b
20、22accosB5，(ac)2a2c22ac549，ac3.5、证明右边sinAcos BcosAsinBsinAsinCsinCsinCcosBcosAsinBaa2c2b2bb2c2a2a2c2b2b2c2a2a2b2左边c2acc2bc2c22c2c2a2b2sinAB所以.c2sinC6、在ABP中，ABP180+BPA180-ABP180-180+=-在ABP中，根据正弦定理，APABsinABPsinAPBAPsin180+sin-APsin-sin-所以山高为sinsin-hAPsinsin-7、解在BDC 中，CBD1803010545，BCCD由正弦定理得，sin30sin4
21、5CDsin306则 BC(km)sin454在ACD 中，CAD180606060，ACD 为正三角形ACCD3(km)2在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos453 624163 6 23，2428AB6(km)4答河对岸 A、B 两点间距离为6km.48、解在ABC 中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.ACBC根据正弦定理得：，sinABCsinBACACBC即，sin90sinBCcosACsinhcos.sin在 RtACD 中，CDACsinCADACsinhcossin.sinhcossin即山高 CD 为.sin9、解如图所示：CBD30，ADB3
22、0，ACB45AB30， BC30，30BDtan30303. 在BCD 中，CD2BC2BD22BCBDcos30900，CD30，即两船相距 30m.10、70nmile11、解：1如图所示，由 SADC33 和 SADCADDCsin60，得213 3 2DC2DC2( 31)1BD DC 31.23，2在ABD 中，AB2BD2AD22BDADcos120( 31)242( 31)2在ADC 中，AC2AD2DC22ADDCcos601222( 31)2222( 31)22412 3，AC 6( 31)AB2AC2BC2ABAC2在ABC 中，cosBAC12 6，AB 6.62412
23、 39312 6 63121 ，BAC.2312、答案：在ABS中，AB32.20.516.1nmile，ABS115，根据正弦定理，ASABsinsin 6520ABS，ABsin BASABsinABS216.1sin1152sin 6520，S到直线AB的距离是dAS（cm） sin2016.1sin1152sin207.06所以这艘船可以继续沿正北方向航行13、AE=326186097.8km，在ACD中，根据余弦定理：ACAD2CD22ADCDcos662257110257110cos66101.235根据正弦定理：ADACsinACDsinADC，ADsinADC57sin66si
24、nACD0.5144AC101.235，ACB13330.96102.04ACD30.96在ABC中，根据余弦定理：ABAC2BC22ACBCcosACB101.2352042101.235204cos102.0422245.93，cosBACABACBC2222ABAC245.93101.2352042222245.93101.2350.5847，BAC54.21在ACE中，根据余弦定理：CEAC2AE22ACAEcosEAC101.23597.82101.23597.80.54872290.75，cosAECAEECAC2222AEEC97.890.75101.235222297.890.
25、750.4254，AEC，64.82180AEC180757564.8210.18所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75kmBEADCBC1cosBC1cosA59cos2Acos2A14、解(1)sin22cos2A1.22250 43(2)cosA，sinA.55113由 SABCbcsinA，得 32c，解得 c5.225 由余弦定理 a2b2c22bccosA，可得4a242522513，a13.515、解(1)cosB30，且 0B，54sinB1cos2B.5ab由正弦定理得，sinAsinB42asinB25sinA.b54114(2)SABCacsin
26、B4，2c4，225 c5.3由余弦定理得 b2a2c22accosB225222517，b17.516、(1)证明mn，asinAbsinB，ab即 ab，2R2R其中 R 是ABC 外接圆半径，ab.ABC 为等腰三角形(2)解由题意知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40. ab4(舍去 ab1)，11SABCabsinC4sin3.22317、解(1)BCD9060150，CBACCD，CBE15.62cosCBEcos(4530).4(2)在ABE 中，AB2，AEAB由正弦定理得，sinABEsinAE
27、BAE2即，sin4515sin90152sin 30故 AEcos 15122 6 2.6 2418、解：1）cosCcosABcos ABC12012ab2（2）由题设：ab23AB2AC2BC22ACBCcosCa2b22abcos120a2bababab22322102AB1019、解(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图所示，设小艇与轮船在 C 处相遇在 RtOAC 中，OC20cos30103，AC20sin3010.又 AC30t，OCvt.101此时，轮船航行时间 t，303103v303.13即小艇以 303 海里/时的速度航
28、行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图所示，设小艇与轮船在 B 处相遇由题意，可得(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，400600化简，得 v2900t2t 13400()2675.t411由于 0t，即2，2t所以当 12 时，tv 取得最小值 1013，即小艇航行速度的最小值为 1013 海里/时20、解据题意知 ab2，bc2，3边长 a 最大，sinA，21cosA1sin2A.21a 最大，cosA.2又 ab2，cb2，b2c2a2cosA2bcb2b22b221，2bb22 解得b5，a7，c3，1SABCbcsinA21 532315 3.2421、解(
29、1)an是首项为 a119，公差为 d2 的等差数列，an192(n1)212n，1Sn19nn(n1)(2)20nn2.2(2)由题意得 bnan3n1，即 bnan3n1，bn3n12n21，3n1TnSn(133n1)n220n.222、解(1)cos2C12sin2C1，0C，410sinC.4ac(2)当 a2,2sinAsinC 时，由正弦定理，sinAsinC得 c4.1由 cos2C2cos2C1及 0C0)， 解得 b6 或 26，b 6，c4或b2 6，c4.23、tan A2cbsin AcosB2sinCsintan Bbcos Asin Bsin BBsinAcosB
30、sinBcosA2sinCcosAsin(AB)2sinCcos AcosA120AA324、解设我艇追上走私船所需时间为 t 小时，则BC10t，AC14t，在ABC 中，由ABC18045105120，根据余弦定理知：(14t)2(10t)212221210tcos120，t2.答我艇追上走私船所需的时间为 2 小时25、解(1)a2bsinA，sinA2sinBsinA，1sinB.0B0，998n当 n8 时，10n10，998n当 n9 时，10n10，9所以 a1a2a3a7a10a11a12，99故数列an存在最大项，最大项为 a8a9.10832、（1）a101093an1n2
31、3n31（2）是，第 15 项an2an1112an2an1133、(1)证明当 n1，nN*时，1an12ananan111111224bnbn14，且 b15.anananana111bn是等差数列，且公差为 4，首项为 5.(2)解由(1)知 bnb1(n1)d54(n1)4n1.11an，nN*.bn4n111111 a1，a2，a1a2.令 an，59454n145n11.即 a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第 11 项34、证明：由 sin，sin，cos成等差数列，得sincos2sin，则 12sincos4sin2，即 sin24sin21.由 sin，sin，c
32、os成等比数列，得 sincossin2，即 sin22sin2. 由得 4sin212sin2，所以 2(1cos2)11cos2，所以 2cos2cos2.1135、证明：要证 a22a2，aa211只需证 a22a2.2aa因为 a0，11故只需证(a22)aa22(a2)2，1111即证 a24a24a222(aaaaa2222)2，11从而只需证 2a22(a)，aa211只需证 4(a2)2(a222)，2aa1即证 a22，而此不等式显然成立2a故原不等式成立36、解：假设存在这样的a满足题目条件。1an2annNan2an12an1n131(*)n1由已知13an(nN*)an
33、可得an1an2annnan2a1a1a即2an1n12annnnn1an 1a，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的n21的等差数列。2a的值使数列a为公差为1n由已知条件an13an，令n1n1a23a1即13a1a，解得1123a1。411a37、解：（1）bnn 14aa22n1402nan4a1b1bnnaan242nn12数列b是公差为n12的等差数列。1111nb，（2）1bnn1a222221n12 n1an2a2nn注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列a的前几项，然后猜想通项公式，由于猜想n的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。38、an
34、2n39、a12,d340、解在数列an中，a15，公差 d1853.ana1(n1)d13n2.在数列bn中，b13，公差 d2734，bnb1(n1)d24n1.4m令 anbm，则 3n24m1，n1.3m、nN*，m3k(kN*)，又0m1000n100，解得0m75.03k75，00，22a111d0，42、解(1)根据题意，有：131213a1d0，2a12d12，整理得：a16d0，a12d12.解之得：24d3.7(2)d0，13a1a13而 S1313a70，a70，2a60.数列an的前 6 项和 S6最大43、解设等差数列an的公差为 d，1则 Snna1 n(n1)d，
35、27a121d7S77，S1575，15a1105d75，即a13d1a17d5，解得a12d1，Sa1(n1)d2(n1)，11nn22SnS11n，n1n2Sn1数列 n 是等差数列，其首项为2，公差为，2nn1119Tnn(2)n2n.2244ana1n1d，44、解由 nn1Snna1d，2a12n111，得 nn1na1235，2n5n7，解方程组得或a13a11.45、解：由已知可知1023,a2225a，aa15d2510222315d，解得d3。a1a9d5010ann。所以此数列的前 17 项均为正数，从第 18 项开始均为负数。353前 50 项的绝对值之和Sa1a2a3a
36、aaaaaaaan1n12317181950S17S2S244211752059SS5017175046、解：设数列a，公差为d，则a10，则235a的首项为1d1aaaa，n1234由于a成等比数列，所以2,a ,a37a3a a， 化简得3a1d2d20227所以2a13a d13d2d5解得20a1d520或a1d235所以数列a的通项公式为a或a3n5n。nn247、解设等比数列an的公比为 q，则 q0.a32a2，a4a3q2q，qq2202q.q31解得 q1，q23.31当 q时，a118，31an183n1233n.2当 q3 时，a1，92an3n123n3.91综上，当
37、q时，an233n；3当 q3 时，an23n3.48、证明设an、bn的公比分别为 p、q，p0，q0，pq，cnanbn.要证cn不是等比数列，只需证 c2c1c3成立即可事实上，c2(a1pb1q)2a12p2b12q22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2) a21p2b21q2a1b1(p2q2)由于 c1c3c2a1b1(pq)20，因此 c2c1c3，故cn不是等比数列49、解由等比数列的性质知 a1a6a3a4329132a1a1a1a61133 32 解得求321 a1a6a6a6933 1a13当时 q232a631an2n13243232a2a4，2a23
38、399924a2，a23，a4成等差数列，391an2n1332a1311当时 q，an26n1a623 324a2a42a23，39 不符合题意，1通项公式 an2n1.350、(1)证明an12an1，an112(an1)，an112.an1an1是等比数列，公比为 2，首项为 2.(2)解由(1)知an1是等比数列公比为 2，首项 a112. an1(a11)2n12n.an2n1.51、解设这四个数分别为 x，y,18y,21x，则由题意得y2x18y218yy21x，75x，4x3解得或.45y6y47545279故所求的四个数为 3,6,12,18 或，.444452、98+12+
39、（12+4）+（12+42）+12+（n1）450n53、165（20 x）+244x180054、解(1)由题意，Sn2n24，n2 时，anSnSn12n22n12n1，当 n1 时，a1S12344，也适合上式，数列an的通项公式为 an2n1，nN*.(2)bnanlog2an(n1)2n1，Tn222323424n2n(n1)2n1，2Tn223324425n2n1(n1)2n2.得，Tn232324252n1(n1)2n22312n123(n1)2n2122323(2n11)(n1)2n(n1)2n2232n21(n1)2n22n2n2n2.55、解甲方案 10 年中每年获利数组成
40、首项为 1，公比为 130%的等比数列，其和为1.31011(130%)(130%)2(130%)942.63(万元)，1.31到期时银行贷款的本息为10(10.1)10102.59425.94(万元)， 甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 426325.9416.7(万元)乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列，11.5(190.5)1015.5232.50(万元)，而贷款本利和为 111(110%)(110%)91.11011.117.53(万元)1.11乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 325017.5315.0(万元)， 比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利56、解分 x1 和 x1
41、两种情况nn1(1)当 x1 时，Sn123n.2(2)当 x1 时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，x1xn(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1.1xx1xnnxn1Sn.1x21x综上可得 Snnn12x1x1xnnxn11x21xx1 且 x0.57、解(1)设等差数列an的公差为 d，且 d0.a3a4a2a522，又 a3a4117，又公差 d0，a30，anan120.anan12.an是首项为 1，公差为 2 的等差数列an12(n1)2n1.60、解(1)由已知，当n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n
42、122n2)222(n1)1.3而 a12，符合上式，所以数列an的通项公式为 an22n1.(2)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而 22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，1即 Sn(3n1)22n12961、解(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.因为 a37，a5a726，所以a12d7，2a110d26，解得a13，d2.nn1所以 an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.2所以，an2n1，Snn22n.(2)由(1)知 an2n1，1111所以 bna2n12n1214nn1111nn1，411
43、1111所以 Tn(1)4223nn11(1)，1n4n14n1n即数列bn的前 n 项和 Tn.4n162、解(1)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an，bn.则有：a1a，n2 时：aaan(n2n2)(n1)2(n1)222 (n1)a.ana，n1，n1a，n2.bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)222 aa3a32a3n1 3223n1a，(nN*)(2)易知 bn3a，所以乙超市将被甲超市收购，211a1由 bn7，n7.即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购nn163、解设等差数列an的首项 a1a，公差为 d，则 Snnad，依题
44、意，有23243543ad4ad5ad1112222，34251332433ad4ad12243ad5d20，12，整理得 52ad2，212a1，d0 或 a4，d.53212an1 或 ann，553212 经检验，an1 和 ann 均合题意553212所求等差数列的通项公式为 an1 或 ann.5564、(1)证明由已知 an12an2n，an12an2nan得 bn11bn1.2n2n2n1bn1bn1，又 b1a11.bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列an(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann2n1.2n1Sn1221322n2n1两边乘以 2 得：2Sn121222(
45、n1)2n1n2n，两式相减得：Sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，Sn(n1)2n1.65、解(1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，nn1有 2n5n70，2整理得 n213n1400. 解之得 n7，n20(舍去)第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟(2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有nn12n5n370，2整理得 n213n4200. 解之得 n15，n28(舍去) 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟66、解由题意知 a52a1a17，即(a14d)2a1(a116d)d0，由此解得 2da1.a5a14d公比 q3.akna13n1.a1a1k
46、n1又 akna1(kn1)da1，21kn1a13na1.2a10，kn23n11，k1k2kn2(133n1)n3nn1.67、解设等差数列an的公差为 d，1bn1则bn2 an112 an12 an1an12d.1数列bn是等比数列，公比 q2d.11b1b2b3b23，b2.8217b1b31b128b18，解得或 1.1b3b1b3b32841b18当时，q216，q4(q40 舍去)b321此时，bnb1qn184n122n5.11由 bn252n2an，an52n.当b1218b311时，q2，q1641q 4y-40（当且仅当时等号成立）（当且仅当 x=3 且 y=6 时取得
47、）解法二（1 的替换）：x,yR+（当且仅当即 x=3 且 y=6 时，等号成立）（当且仅当 x=3 且 y=6 时取得）71、解：循着求解分式不等式的思路原不等式(x-2)(a-1)x-(a-2)0为确定两个因式的根的大小而讨论:注意到当 a-10 时，（1）当 a=1 时，原不等式 x-20 x2（2）当 a1 时若 0a1 时，a-11 时，a-10 且由得原不等式于是由（1）、（2）知当 0a1 时，原不等式解集为72、（1）当 a=-2,b=-8 时，所给不等式左边=x2+ax+b|=|x2-2x-8|2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|=右边此时所给不等式对一切 xR 成立
48、（2）注意到 2x2-4x-16=0 x2-2x-8=0(x+2)(x-4)=0 x=-2 或 x=4当 x=-2 或 x=4 时|2x2-4x-16|=0在不等式|x2+ax+b|2x2-4x-16|中分别取 x=-2，x=4 得又注意到（1）知当 a=-2，b=-8 时，所给不等式互对一切 xR 均成立。满足题意的实数 a,b 只能 a=-2,b=-8 一组（3）由已知不等式 x2-2x-8(m+2)x-m-15对一切 x2 成立 x2-4x+7m(x-1)对一切 x2 成立令则（1）mg(x)的最小值又当 x2 时，x-10（当且仅当时等号成立）g(x)的最小值为 6（当且仅当 x=3
49、时取得）由得 m2所求实数 m 的取值范围为（-，273、解方法一作差法a2b2ababa2b2aba2b2a2b2aba2b2ababab2a2b22ababa2b2ababa2b2ab0，ab0，ab0,2ab0.2ababa2b2ab0，.aba2b2a2b2ab方法二作商法a2b2abab0，0，0.a2b2ab a2b2a2b2ab2a2b22ab2ab11.aba2b2a2b2a2b2aba2b2ab.a2b2ab74、解 f(x)g(x)1logx32logx2logx3x，40 x1，x1，当 3x 或 3x1，01，4443x即 1x时，logx0，f(x)g(x)；34当
50、3x1，即 x时，logx0，即 f(x)g(x)；43x4340 x1，x1，当 3x 或 3x01，1，4443x即 0 x1，或 x时，logx0，即 f(x)g(x)344综上所述，当 1x时，f(x)g(x)；34当 x时，f(x)g(x)；34当 0 x1，或 x时，f(x)g(x)375、解由 ax2bxc0 的解集为1x|x23，1知 a0，且关于 x 的方程 ax2bxc0 的两个根分别为，2，31b23a52，ba，ca.12c33 3a所以不等式 cx2bxa0 可变形为25aa3x23xa0. 又因为 a0，所以 2x25x30，所以所求不等式的解集为1x|x32.76
