1、 - 1 - 高三月考数学试卷(文) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ) 1集合 A0, x e,B1,0,1,若 ABB,则x 2若复数(1 i)(1i)za(i 为虚数单位,a0)满足2z ,则a 3某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 45s,黄灯时间为 3s,绿灯时间为 60s,从西向东 行驶的一辆公交车通过该路口,遇到红灯的概率为 4函数( )sin3cosf xxx,x0,的单调减区间为 5执行如图所示的流程图,则输出 S 的值为 6设正ABC 的边长为 1,t为任意的实数,则ABACt的最小值为 7已知0x ,0y
2、 ,且 12 1 xy ,则xy的最小值为 8已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切若该球的体积为 4 3 ,则该三棱 柱的体积是 9在平面直角坐标系xOy中,已知圆 C: 22 810xyxm 与直线210xy 相交 于 A,B 两点若ABC 为等边三角形,则实数m的值为 10等差数列 n a的前n项和为 n S,已知 1 1a ,且数列 n S也为等差数列,则 10 a 11如图,已知抛物线 2 2(0)ypx p与双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)有相同的焦点 F, 双曲线的焦距为 2c,点 A 是两曲线的一个交点,若直线 AF 的斜率为3,则双曲线的离心 率为
3、 - 2 - 第 5 题 第 11 题 12在平面凸四边形 ABCD 中,AB2 2,CD3,点 E 满足DE2EC,且 AEBE2若 8 AE EC 5 ,则AD BC的值为 13在平面直角坐标系xOy中,已知圆 O: 22 1xy,圆 C: 22 (4)4xy,动点 P 在直线320xy上的两点 E,F 之间,过点 P 分別作圆 O,C 的切线,切点为 A,B, 若满足 PB2PA,则线段 EF 的长度为 14已知函数 2 ( ) 2 ln ,0 x xa f x e xxa , 若对任意实数k,总存在实数 0 x,使得 00 ()f xkx成 立,则实数a的取值集合为 二、解答题(本大题
4、共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 ) 15 (本小题满分 14 分) 在ABC 中,A 为锐角,且 sinA 3 5 (1)若 AC5,BC3,求 AB 的长; (2)若 tan(AB) 1 2 ,求 tanC 的值 16 (本小题满分 14 分) 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,ABAC,平面 BB1C1C底面 ABCD,点 M、F 分别是线段 AA1、BC 的中点 (1)求证:AFDD1; - 3 - (2)求证:AF平面 MBC1 17 (本小题满分 14 分) 为建设美丽乡村,政府欲将一块长 12 百米,宽 5
5、 百米的矩形空地 ABCD 建成生态休闲园, 园区内有一景观湖 EFG(图中阴影部分) 以 AB 所在直线为x轴,AB 的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系xOy(如图所示) 景观湖的边界曲线符合函数 1 (0)yxx x 模型园 区服务中心 P 在x轴正半轴上,PO 4 3 百米 (1)若在点 O 和景观湖边界曲线上一点 M 之间修建一条休闲长廊 OM,求 OM 的最短长度; (2)若在线段 DE 上设置一园区出口 Q,试确定 Q 的位置,使通道直线段 PQ 最短 18 (本小题满分 16 分) 如图, 已知椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 , 并且
6、椭圆经过点 P(1, 3 2 ), 直线l的方程为x4 (1)求椭圆的方程; (2)已知椭圆内一点 E(1,0),过点 E 作一条斜率为k的直线与椭圆交于 A,B 两点,交 直线l于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为k1,k2,k3问:是否存在常数,使得k1k2 k3?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 - 4 - 19 (本小题满分 16 分) 已知函数 2 1 ( )2ln() 2 f xxxax aR (1)当a3 时,求函数( )f x的单调区间; (2)若函数( )f x有两个极值点, 1 x, 2 x,且 12 xx, 1 x (0,1,求证: 12 ( )()f xf
7、 x 3 2 ln 2 2 ; (3)设( )( )lng xf xax,对于任意a(0,2)时,总存在x1,2,使 ( )(g xk a2)2成立,求实数k的取值范围 20 (本小题满分 16 分) 已知 n a为等差数列, n b为等比数列,公比为q(q1) 令 A kk k abkN , (1)设 A1,2,当 n an,求数列 n b的通项公式;设 1 0a ,q0,试比较 n a - 5 - 与 n b(n3)的大小?并证明你的结论 (2)问集合 A 中最多有多少个元素?并证明你的结论 参考答案 10 21 3 5 12 4 6 , 56480 6 3 2 732 2 86 3 91
8、1 1019 11 72 3 122 13 2 39 3 14e 15 (1)AB的长为 4; (2)tanC的值为11 2 16 (1)先由ABAC证AFBC,再由平面BB1C1C底面ABCD证AF平面BB1C1C,从而AF C1C,进而AFDD1; (2)取BC1中点N,连接MN、FN,先证FN 1 2 C1C,从而FN 1 2 A1A,进而FN AM,的 平面MNFA是平行四边形,从而AFMN,最后即可证明AF平面MBC1 17解: (1)设 1 , 2 Mx x ,则 2 2 22 2 11 222 22OMxxx xx , 当且仅当 2 2 1 2x x ,即 2 2 2 x 时取等
9、号, OM的最短距离为2 22. - 6 - (2)过P作函数 1 yx x 的切线l,设切线l的方程为 4 0 3 yk xk , 联立方程组 4 3 1 yk x yx x ,得 2 4 110 3 k k xx , 令 2 16 4 10 9 kk 得3k 或 3 4 k (舍) , 直线l的方程为 4 3 3 yx , 令5y 得 1 3 x , 117 6 33 DQ . 当 17 3 DQ 时,通道PQ最短。 18 (1)椭圆的方程为 2 2 1 4 x y; (2)存在,的值为 2 19解: 2 22 0 xax fxxax xx (1)当3a 时, 2 2132 xxxx fx
10、 xx , 令 001fxx或2x,令 012fxx , 所以 f x的递增区间为(0,1)和2,,递减区间为(1,2) (2)由于 f x有两个极值点 12 ,x x, 则 2 20xax在0,x上有两个不等的实根 12 ,x x, - 7 - 2 12 112 12 2 1 80 2 2 01 2 2 0 2 a a xxa xaxx x x a x x 22 12111222 11 2ln2ln 22 f xf xxxaxxxax 2 222 1212121211 11 112121 2 lnln2 lnln 2222 xxxxxxxxxx xx 2 1 11 2 1 2 4ln2ln2
11、 01 2 x xx x 设 2 2 2 4ln2ln2 01 2 x F xxx x , 所以 2 2 24 233 2 4444 0 x xx Fxx xxxx 所以 F x在0,1上递减,所以 3 12ln2 2 F xF即 12 3 2ln2 2 f xf x, (3)有题意知,只需 max 22gxk a成立即可,因为 2 1 lnln 2 g xxxaxa, 所以 1 gxxa x ,因为1,2x,所以 15 2, 2 x x ,而0,2a, 所以 0gx ,所以 g x在1,2x递减, 当2x时, max 2ln222lngxgaa , 所以ln222ln22aak a 在0,2
12、a上恒成立, 令 ln22ln24h aaak a,则 0h a 在0,2a上恒成立. 211 2 k a h ak aa ,又 20h 当20k 时, 0,h ah a在0,2a递减,当0a时, h a , 所以 20h ah,所以2k , 当220 即2k 时, 1 0 2 h aa k , 1 02 2k 即 5 2 k 时, h a在 1 ,2 2k 上递增, - 8 - 存在 1 2 a k ,使得 20h ah,不合, 1 2 2k 即 5 2 2 k 时, 0h a , h a在0,2a递减, 当0a时, h a ,所以 20h ah, 所以 5 2 2 k ,综上,实数k的取值范围为 5 , 2 . 20 (1) 1 2n n b ;当 21 aa时, n a n b(n3) ;当 21 aa时, n a n b(n3) ;当 21 aa时, n a n b(n3) (2)略