1、中考数学第二轮总复习精讲精练专题16 几何模型“瓜豆”模型考点归纳知识梳理 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.010203知识点知识点如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,连接QM
2、,PO,任意时刻,QM:PO=AQ:AP=1:2.则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,AQPOM知识点一知识归纳如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQAP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.当APAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM.OAPQM知识点一知识归纳如图,APQ是直角三角形,PAQ=90且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨
3、迹是？考虑APAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM,且相似比为2.OAPQM知识点一知识归纳为了便于区分动点P,Q,可称点P为,点Q为.此类问题的必要条件：两个定量主动点,从动点与定点连线的夹角是定量(PAQ是定值)；主动点,从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,
4、Q与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：.“种”圆得圆,“种”线得线，谓之.OAPQM知识点一知识归纳如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边APQ.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?Q点满足(1)PAQ=60；(2)AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：1)当PAQ=60,可得Q点轨迹圆圆心M满足MAO=60；2)当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有APOAQM可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.OAPQM知识点一知识归纳如图,P是圆O上一个动点
5、,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角APQ.当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹？Q点满足(1)PAQ=45；(2)AP:AQ= :1,故Q点轨迹是个圆.连接AO,构造OAM=45且AO:AM= :1.M点即为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有AOPAMQ.即可确定点Q的轨迹圆.22OAPQM知识点一知识归纳如图,已知P是O外一点,Q是O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是() A.0 B.1 C.2 D.3PQMON知识点一典例精讲如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是
6、MB的中点,则AC的最小值是_.M点为主动点,C点为从动点,B点为定点.考虑C是BM中点,可知C点轨迹：取BP中点N,以N为圆心,NC为半径作圆,即为点C轨迹.yxOBAPCMNMC知识点一针对训练010203知识点知识点如图,A为直线BC外一定点,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线. 分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.NCBPQAM知识点二知识归纳如图,APQ是等腰直角三角形,PAQ=90且A
7、P=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形. 当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.CB PQAQ2P2P1Q1知识点二知识归纳:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ(当PAQ90时，PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由ABCAMN,可得AP:AQ=BC:MN)CBPAMQNCBANM知识点二知识归纳如
8、图,在等边ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是_.根据DPF是等边三角形,所以可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.ADFPECB知识点二典例精讲1.如图,ABC是边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,点E为线段AD上一动点,连接EF,CE,将CE绕点C逆时针旋转60得到线段CF,连接DF.CEF的周长的最小值为_,DF的最小值是_.GADEFCB知识点二针对训练连接BF,可得CFBCAE,CBF=CAE=30
9、,点F在射线BF上，当DFBF时，DF最短，取AC的中点G,连接EG,可得CFDCEG,DF=EG,由垂线段最短得:当GEAD时GE最短,即DF最短。如图,AOB=60,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边ACD,连接BD,则BD与OA的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直如图,等边AOB的边长为4cm,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边作等边ACD.在点C从点O开始移动至点B的过程中,求点D移动的路径长.连接BD,得出AOCABD, BD=OC=OB=4cm。知识点二针对训练如图,等边ABC的边长为8,点D为A
10、B边上一动点,DE始终平行于BC,MN为ADE的中位线,现将点D开始沿AB方向移动,移动到点B处停止,在整个移动过程中线段MN扫过的面积是_.34AMDECBN知识点二针对训练 双动点的运动问题中,的运动轨迹如果是,通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的如：平行、垂直等,或者是某一条特殊直线(或直线上的一部分)如中位线、平分线等.010203知识点知识点 所谓“瓜豆原理”,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性,根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是知识点三知识归纳MNyOxACB如图,在反比例函数
11、 的图像上有一动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数 的图像上运动,若tanCAB=2,则k的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8 xy2-=xky=AOC=90且AO:OC=1:2,点C的轨迹也是一条双曲线,分别作AM、CN垂直x轴,垂足分别为M、N,连接OC,易证AMOONC,CN=2OM,ON=2AM,ONCN=4AMOM,故k=42=8. 若将条件“tanCAB=2”改为“ABC是等边三角形”，k会是多少? 知识点三典例精讲1.如图,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是ABC边上一动点,连接OP
12、,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角OPQ,当点P在ABC边上运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为_. 根据OPQ是等腰直角三角形可得：点Q的运动轨迹与点P的轨迹形状相同，根据OP:OQ= ,可得点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为 ，故面积比为2:1,ABC面积为0.534=6，故点Q的轨迹形成的封闭图形面积为3.根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图. yOxQPCBA1 :21:2知识点三针对训练2.如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为_.固定AB不变,AC=2,则点C的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,以BC为斜边作等腰直角BCD,则点D的轨迹是以点M为圆心、 为半径的圆.AP=2AD,故点P轨迹是以N为圆心， 为半径的圆，即可求出PB的取值范围.222ACDPBMN知识点三针对训练
