1、2022年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的1（5分）全集UR，集合A2，3，5，7，9，B4，5，6，8，则阴影部分表示的集合是（）A2，3，5，7，9B2，3，4，5，6，7，8，9C4，6，8D52（5分）若sin=12，2，则sin(+3)的值是（）A32B-32C12D-123（5分）复数Za+（3a） i（aR，i为虚数单位），在复平面内所对应的点在y2x上，则|Z|（）A3B5C7D104（5分）若（x+ax）5的展开式中x的系数为15，则a（）A2B3C4D55（5分）地震震级
2、是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级ML是据震中100千米处的标准地震仪（周期0.8 s，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式：ML=lg(AmaxA0)，其中A0表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（）倍AeB10C100De26（5分）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则
3、X的数学期望是（）A1B32C2D527（5分）已知三角形的三边长为a、b、c，则三角形的面积为（海伦秦九韶公式）S=p(p-a)(p-b)(p-c)，p=a+b+c2，若ABC，AC8，BC+BA12，则ABC面积的最大值为（）A85B83C16D4108（5分）函数y2xx2的大致图象是（）ABCD9（5分）已知等比数列an的公比qN，前n项和为Sn，若a2+a536，a3+a424，则下列说法正确的是（）Aq3Ba481C数列lgan与数列lg（Sn+2）都是等差数列D数列lg（Sn2）是公差为lg2的等差数列10（5分）在直角ABC中，ABAC，ABAC2，以BC为直径的半圆上有一点M
4、，若AM=AB+AC，则+的最大值为（）A4B3C2D211（5分）已知正实数a，b，c满足a+3a3，b+2b2，c+log4c4，则a，b，c之间的大小关系为（）AbacBabcCacbDbca12（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（2x）f（x），当x0，1时，f（x）ax+b，f（1）+f（0）3，则函数g（x）f（x）+1在2，5的零点个数为（）A7B6C5D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足x-y+10x-y0x-10，则2yx的最小值是 14（5分）从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在50 kg80kg之间，现将测量体
5、重按照从低到高分成六组：50，55），55，60），75，80，如图是频率分布直方图的一部分（缺少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的人数为 15（5分）已知：f(x)=32sinx+12cosx(0)在区间t，t+1上至少存在两个不相等实数x1、x2满足f（x1）f（x2）1，则的最小整数为 16（5分）已知函数f(x)=(t2+1t2+2)lnx-x+1x，在曲线yf（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为
6、必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17（12分）在ABC中，b14，c16，sinC=437（1）求B；（2）求AB边上的高18（12分）已知函数f（x）1+xexsinx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，2上的最大值和最小值19（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1b4，_，b28，b13b34在以下三个条件中任选一个S530，S45a2，3a3a5b2，补充在上面横线上，并作答（1）求数列an，bn的通项公式；
7、（2）是否存在正整数k使得数列1Sn的前k项和Tk34？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由20（12分）如表是弹簧伸长的长度x（ cm）与拉力值y（ N）的对应数据：长度x（ cm）12345拉力值y（ N）3781012（1）求样本相关系数r（保留两位小数）；（2）通过样本相关系数r说明y与x是否线性相关；若是求出y与x的线性回归方程，若不是，请说明理由参考数据和公式：r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2，103.16，466.80，234.80线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-
8、bx，其中x，y为样本平均值21（12分）已知函数f（x）lnxax+2（aR）若f（x）有两个零点x1、x2（1）求a的取值范围；（2）若x23x1，证明：x13+x23843e6（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x=cosy=1+sin（为参数），现以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设M、N是曲线C上两个动点，且满足MON=3，求|OM|ON|的最大值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x+a
9、|+|xb|（a，bR+）（1）当a1，b2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若yf（x）最小值为3，求1a+2b的最小值2022年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的1（5分）全集UR，集合A2，3，5，7，9，B4，5，6，8，则阴影部分表示的集合是（）A2，3，5，7，9B2，3，4，5，6，7，8，9C4，6，8D5【解答】解：由图可知阴影部分所表示的集合为BUA，因为全集UR，集合A2，3，5，7，9，B4，5，6，8，所以BUA4，6，8，所以图中阴影部分所表示的
10、集合中元素的个数为3故选：C2（5分）若sin=12，2，则sin(+3)的值是（）A32B-32C12D-12【解答】解：sin=12，2，cos=-32，则sin(+3)=sincos3+cossin3=1212-3232=14-34=-12，故选：D3（5分）复数Za+（3a） i（aR，i为虚数单位），在复平面内所对应的点在y2x上，则|Z|（）A3B5C7D10【解答】解：Za+（3a） i（aR，i为虚数单位），2a3a，解得a1，Z1+2i，|Z|=12+22=5故选：B4（5分）若（x+ax）5的展开式中x的系数为15，则a（）A2B3C4D5【解答】解：（x+ax）5的展开式
11、通项公式Tk+1=C5k(x)5-k(ax)k=akC5kx5-3k2，令5-3k2=1，解得k1，aC51=15，则a3，故选：B5（5分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级ML是据震中100千米处的标准地震仪（周期0.8 s，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的里氏震级的计算公式：ML=lg(AmaxA0)，其中A0表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.
12、5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（）倍AeB10C100De2【解答】解：由于ML=lg(AmaxA0)，所以Amax=A010ML，所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为：A0106.5A0104.5=102=100故选：C6（5分）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是（）A1B32C2D52【解答】解：同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，每次两枚硬币均正面向上的概率p=1212=14，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则XB（4，14），X的数学期望是E（X）=414=1故选：A7（5分）已知三角形的三边长为a、b、c，
13、则三角形的面积为（海伦秦九韶公式）S=p(p-a)(p-b)(p-c)，p=a+b+c2，若ABC，AC8，BC+BA12，则ABC面积的最大值为（）A85B83C16D410【解答】解：在ABC中，AC8，BC+AB12，则：b8，a+c12，所以p=a+b+c2=10，所以SABC=p(p-a)(p-b)(p-c)=25(10-a)(10-c)2510-a+10-c2=85；当且仅当ac6时，等号成立；故ABC面积的最大值为85；故选：A8（5分）函数y2xx2的大致图象是（）ABCD【解答】解：函数y2xx2的零点有2，4；可知选项B，C错误，因为x时，y，所以A正确，D错误故选：A9（
14、5分）已知等比数列an的公比qN，前n项和为Sn，若a2+a536，a3+a424，则下列说法正确的是（）Aq3Ba481C数列lgan与数列lg（Sn+2）都是等差数列D数列lg（Sn2）是公差为lg2的等差数列【解答】解：因为等比数列an中qN，a2+a536，a3+a424，所以a1q+a1q4=36a1q2+a1q3=24，因为qN，解得q2或q=12（舍），A错误；所以a12，a4a1q316，B错误；ana1qn122n12n，Sn=2(1-2n)1-2=2n+12，lganlg2nnlg2，lg（Sn+2）lg（2n+12+2）lg2n+1（n+1）lg2，故数列数列lgan与数
15、列lg（Sn+2）都是等差数列，C正确；lg（Sn2）lg（2n+122）lg（2n+14），数列lg（Sn2）不是等差数列，D错误；故选：C10（5分）在直角ABC中，ABAC，ABAC2，以BC为直径的半圆上有一点M，若AM=AB+AC，则+的最大值为（）A4B3C2D2【解答】解：依题意在直角ABC中，ABAC，ABAC2，以A为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，所以C（0，2），B（2，0），设D是BC的中点，则D（1，1），|BC|=22，设M（x，y），满足(x-1)2+(y-1)2=(2)2，设x=1+2cosy=1+2sin，(为参数，-434)，依题意AM=AB+AC，即(
16、1+2cos，1+2sin)=(2，0)+(0，2)，(1+2cos，1+2sin)=(2，2)，=1+2cos2，+=1+2cos2+1+2sin2=2+2sin(+4)2=sin(+4)+1，所以当+4=2，=4时，+取得最大值为2故选：C11（5分）已知正实数a，b，c满足a+3a3，b+2b2，c+log4c4，则a，b，c之间的大小关系为（）AbacBabcCacbDbca【解答】解：由a+3a3，得1+3a4a，即1+13a=4a，则a为函数y1+13x与函数y4x交点的横坐标，由b+2b2，得2+2b4b，则b为函数y2+2x与函数y4x交点的横坐标，由c+log4c4，得log
17、4c4c，则c为函数ylog4x与函数y4x交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y4x，y1+13x，y2+2x，ylog4x的图象，如图所示，由图象可知，bac，故选：A12（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（2x）f（x），当x0，1时，f（x）ax+b，f（1）+f（0）3，则函数g（x）f（x）+1在2，5的零点个数为（）A7B6C5D4【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）0，当x0，1时，f（x）ax+b，f（1）+f（0）f（1）3，a0+b=0a1+b=3a=4b=-1，所以当x0，1时，f（x）4x1f（x）是奇函数，图象关于原点对称，由于f（2x）f
18、（x），所以f（x）图象关于直线x1对称，由此画出f（x）在区间2，5的图象如下图所示，由图可知f（x）1有4个解，也即g（x）f（x）+10有4个解，即g（x）有4个零点故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足x-y+10x-y0x-10，则2yx的最小值是 1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设t2yx，得y=12x+12t，平移直线y=12x+12t，由图象知当直线y=12x+12t经过点A时，直线y=12x+12t的截距最小，此时t最小，由x-1=0x-y=0得x=1y=1，即A（1，1），则t2yx211，故答案为：114（5分）从高三
19、年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在50 kg80kg之间，现将测量体重按照从低到高分成六组：50，55），55，60），75，80，如图是频率分布直方图的一部分（缺少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的人数为 5【解答】解：由频率分布直方图得：第一组50，55）的人数为：500.0255人，第二组55，60）的人数为：500.04510人，第三组60，65）的人数为：500.06515人，第四组有10人，第六组的人数和第一组的人数相同，有5人，第五组的人数为：50（5+10+15+10+5）5人故答案为：515（5分）已知：f(x)=32sin
20、x+12cosx(0)在区间t，t+1上至少存在两个不相等实数x1、x2满足f（x1）f（x2）1，则的最小整数为 7【解答】解：f（x）=32sinx+12cosxsin（x+6） （0）在区间t，t+1上，至少存在两个不相等实数x1、x2满足f（x1）f（x2）1，21，即2，则的最小整数为7，故答案为：716（5分）已知函数f(x)=(t2+1t2+2)lnx-x+1x，在曲线yf（x）上总存在两点P（x1，y1），Q（x2，y2），使得曲线在P，Q两点处的切线平行，则x1+x2的取值范围是 （8，+）【解答】解：函数f(x)=(t2+1t2+2)lnx-x+1x（x0）的导数为f（x）
21、（t2+1t2+2）1x-1-1x2，因为曲线在P，Q两点处的切线互相平行，可得f（x1）f（x2），即（t2+1t2+2）1x1-1-1x12=（t2+1t2+2）1x2-1-1x22（x1x2），可得（t2+1t2+2）（1x1-1x2）=1x12-1x22，化为t2+1t2+2=1x1+1x2=x1+x2x1x2，由x1x214（x1+x2）2，且x10，x20，x1x2，可得x1+x2x1x24x1+x2，即有x1+x24t2+1t2+2恒成立，由t2+1t2+2=（t2+2）+1t2+2-22+12-2=12，当且仅当t0时取得等号，所以x1+x28，即x1+x2的取值范围是（8，+
22、）故答案为：（8，+）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17（12分）在ABC中，b14，c16，sinC=437（1）求B；（2）求AB边上的高【解答】解：（1）ABC中，b14，c16，sinC=437，利用正弦定理：bsinB=csinC，整理得sinB=32，由于0B，bc，所以B=3（2）由余弦定理：b2a2+c22accosB，整理得142=a2+162-2a16cos3，化简为a216a+600，解得a6或a10利用
23、三角形的面积公式：12ch=12absinC，整理得h=absinCc=33或h5318（12分）已知函数f（x）1+xexsinx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，2上的最大值和最小值【解答】解：（1）f（0）1，f（x）1ex（cosx+sinx），f（0）1e0（cos0+sin0）0，f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为yf（0）f（0）（x0），即y1；（2）f（0）1，f（x）1ex（cosx+sinx），cosx+sinx=2sin（x+4），x0，2，1cosx+sinx2，ex1，x0，2，f（x）0，f（x）在0，2上单
24、调递减，当x0时，f（x）有最大值f（0）1，当x=2时，f（x）有最小值f（2）1+2-e219（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1b4，_，b28，b13b34在以下三个条件中任选一个S530，S45a2，3a3a5b2，补充在上面横线上，并作答（1）求数列an，bn的通项公式；（2）是否存在正整数k使得数列1Sn的前k项和Tk34？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设等比数列bn的公比为q，q0，则b1q=8b1-3bq2=4，解得q=12b1=16，所以bn16（12）n1，a1b416(12)3=2，设等差数列an的公
25、差为d，若选，则5a1+10d10+10d30，d2，an2+（n1）22n若选，则4a1+6d5（a1+d），8+6d5（2+d），d2，an2+（n1）22n若选，则3（a1+2d）（a1+4d）8，2a1+2d8，d2，an2+（n1）22n（2）由于a12，an2n，所以Sn=2+2n2nn（n+1），所以Tk1-12+12-13+1k-1k+1=1-1k+134，解得k3，所以正整数的最小值为420（12分）如表是弹簧伸长的长度x（ cm）与拉力值y（ N）的对应数据：长度x（ cm）12345拉力值y（ N）3781012（1）求样本相关系数r（保留两位小数）；（2）通过样本相关系
26、数r说明y与x是否线性相关；若是求出y与x的线性回归方程，若不是，请说明理由参考数据和公式：r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2，103.16，466.80，234.80线性回归方程y=bx+a中，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2，a=y-bx，其中x，y为样本平均值【解答】解：（1）依题意，x=1+2+3+4+55=3，y=3+7+8+10+125=8，i=15 (xi-x)2=22+12+02+12+22=10，i=15 (yi-y)2=52+12+02+22+42=46，i=15 (xi-x)(yi-y)=(-2)(
27、-5)+(-1)(-1)+00+12+24=21，所以样本相关系数r=i=15 (xi-x)(yi-y)i=15 (xi-x)2i=15 (yi-y)2=211046213.166.800.98（2）由（1）知，r0.98接近于1，说明y与x具有较强的线性相关关系，i=15 xiyi=13+27+38+410+512=141，i=15 xi2=12+22+32+42+52=55，b=i=15 xiyi-5xyi=15 xi2-5x2=141-53855-532=2.1，a=y-bx=8-2.13=1.7，所以y与x是线性相关，回归方程是y=2.1x+1.721（12分）已知函数f（x）lnxa
28、x+2（aR）若f（x）有两个零点x1、x2（1）求a的取值范围；（2）若x23x1，证明：x13+x23843e6【解答】解：（1）因为f（x）lnxax+2有两个零点，即方程lnxax+20有两个根，即a=lnx+2x，（x0），设g(x)=lnx+2x(x0)，则g(x)=-1-lnxx2，所以当x(0，1e)，g（x）0，g（x）单调递增，在x(1e，+)时，g（x）0，g（x）单调递减所以g(x)max=g(1e)=e，当x+，g（x）0且g（x）0，且g(1e2)=0，作出函数yg（x）的大致图象，如图所示，所以0ae，故实数a的取值范围为（0，e）；（2）证明：设t=x2x1，因
29、为x23x1，则t3，已知ag（x1）g（x2），因此lnx1+2x1=lnx2+2x2，所以x2x1=lnx2+1lnx1+2=ln(tx1)+2lnx1+2，所以t=lnt+lnx1+1lnx2+2，所以lnx1=lntt-1-2，所以x1=e-2t1t-1，所以x13+x23=(1+t3)x13=e-3t3t-1(1+t)3，设h(t)=lnt3t-1(1+t3)=3lntt-1+ln(1+t3)，t3，则h(x)=3(t-1)21-1t-lnt+t2(t-1)21+t3，设(t)=1-1t-lnt+t2(t-1)21+t3，则(t)=t-1t2(1+t3)2(t7+4t4-4t3-1)
30、=t-1t2(1+t3)(t7-1)+4t3(t-1)，当t（1，+）时，（t）0，所以（t）在（1，+）上单调递增，所以（t）（1）0，则h（t）0，所以h（t）在（1，+）上单调递增，又因为t3，所以h(t)h(3)=ln843，所以x13+x23e-6843（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x=cosy=1+sin（为参数），现以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设M、N是曲线C上两个动点，且满足MON=3，求
31、|OM|ON|的最大值【解答】解：（1）曲线C的方程为x=cosy=1+sin（为参数）转换为直角坐标方程为x2+（y1）21，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为2sin；（2）设M、N是曲线C上两个动点，且满足MON=3，所以设M（M，），N（N，+3），故|OM|ON|=4sinsin(+3)=4sin(12sin+32cos)=2sin2+23sincos=2sin(2-6)+1；当2-6=2，即=3时，最大值为3选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x+a|+|xb|（a，bR+）（1）当a1，b2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若yf（x）
32、最小值为3，求1a+2b的最小值【解答】解：（1）当a1，b2时，不等式f（x）5化为|x+1|+|x2|5，即x-1-x-1+2-x5，或-1x2x+1+2-x5，或x2x+1+x-25解得2x1，解得1x2，解得2x3，不等式f（x）4的解集为x|2x3；（2）证明：f（x）|x+a|+|xb|（x+a）（xb）|a+b|a+b（当且仅当x+a与xb不同号时取等号），故a+b3，又a，bR+，1a+2b=13(1a+2b)(a+b)=13(3+ba+2ab)13(3+2ba2ab)=13(3+22)当且仅当ba=2ab，即a=3(2-1)，b3（2-2）时等号成立1a+2b的最小值为13(3+22)第20页（共20页）
