1、2023新高考数学压轴冲刺模拟卷（5）1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则实数的取值范围是A，BC，D2复数的虚部为ABCD3已知，则，的大小关系为ABCD4若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于ABCD5已知随机变量服从正态分布，若，则AB1CD26已知函数，部分图象如图所示，若对不同的，当时，总有，则A，B，C，D，7已知，则的最小值是A1BC2D8如图，三棱柱中，为中点，为上一点，为平面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为A1BCD22、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给
2、出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9关于多项式的展开式，下列结论正确的是A各项系数之和为1B二项式系数之和为C存在常数项D的系数为1210某高中积极响应国家“阳光体育运动的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图下列说法正确的是A估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时B估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C估计该校学
3、生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为D估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人11已知，且满足，下列正确的选项有A的最大值为B的最大值为C的取值可以为D的取值可以为412已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是A双曲线的方程为BCD点到轴的距离为3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点，处的切线方程为 14已知随机事件和相互独立，若，表示事件的对立事件），则（B）15所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角例如：正
4、四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为 16如图，平面凹四边形，其中，则四边形面积的最小值为4、 解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知锐角三角形的三个内角，所对的边分别为，三角形的面积为（1）求边上的高；（2）求18设数列的前项和为，若满足，且（1）证明：数列是等比数列；（2）判断
5、数列的前项和与的大小关系，并说明理由19如图，正四棱锥中，为棱上的动点（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，
6、7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下（）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和
7、小明同学谁的盈利多？请说明理由21已知椭圆的右焦点为，离心率为，经过且垂直于轴的直线交于第一象限的点，为坐标原点，且（）求椭圆的方程；（）设不经过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，关于原点对称的点分别是，试判断四边形的面积有没有最大值若有，请求出最大值；若没有，请说明理由22已知函数在点，（1）处的切线垂直于轴（）求的单调区间；（）若存在三个都为正数的零点，求证：任意两个零点的差小于22023新高考数学压轴冲刺模拟卷（5）答案1解：因为集合，又，所以故选：2解：复数的虚部为，故选：3解：，故选：4解：抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，可得，解得，所以抛物线方程为：，抛物线上的点，可得
8、，解得故选：5解：因为随机变量服从正态分布，对称轴为，又，而，所以，所以5和关于对称轴对称，则，故选：6解：根据函数，部分图象，可得，函数的周期为，故排除、对不同的，当时，总有，故，故选：7解：根据题意，则是曲线上的点，则是直线上的点；则可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方对函数求导得，令，得，所以，曲线上一点到直线上距离最小的点为，该点到直线的距离因此，的最小值为2；故选：8解：由题意得，在上取点，使，则且，所以四边形是平行四边形，所以在上取点，使，则，所以又，所以平面平面，所以点的轨迹就是线段，在中，由余弦定理得，故选：9解：对于多项式的展开式，令，可得各项系数之和为1，故正确；二项式
9、系数和为，故正确；根据它的通项公式为，当时，的幂指数等于零，故第四项为常数项，故正确；令展开式中的幂指数等于4，求得，可得展开式中的系数为，故错误，故选：10解：对于，估计该校学生每周平均体育运动时间为小时，故选项正确；对于，高一年级的总人数为人，由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为，所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为人，故选项正确；对于，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为，故选项错误；对于，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为人，故选项正确故选：11解：对于，：由，当且仅当时，等号成立，故正确，错误，对于，：
10、由，当且仅当时，等号成立，故的取值可以为，也可以为4，故，正确，故选：12解：渐近线的方程为，到的距离为，双曲线的标准方程为，即选项正确；，由角分线定理知，即选项正确；由双曲线的定义知，在等腰中，即选项正确；，即选项错误故选：13解：的导数为，可得曲线在点，处的切线的斜率为，则切线的方程为，即为故答案为：14解：随机事件和相互独立，表示事件的对立事件），（A），（B）故答案为：0.915解：由对称性可知，正八面体的内切球的球心为正方体的中心，设为，则到其中一个面的距离即为内切球的半径，设为，由正方体的棱长为1，可得，由，可得，可得该正八面体的内切球的表面积为故答案为：16解：连接，则，又，故，
11、在中，故，故，故，故四边形面积的最小值为，当且仅当时“”成立，故答案为：17解：（1）因为，三角形的面积为，解得，因为为锐角，可得，由余弦定理可得，设边上的高为，则，解得即边上的高为（2）因为，可得，所以18（1）证明：由可得：，两式相减得：，又当时，有，即也适合上式，又，数列是首项、公比均为3的等比数列；（2）解：由（1）可知，即，19（1）证明：连结交于点，则为的中点，连结，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为是正四棱锥，所以为顶点在底面的射影，故底面，且，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，则，所以，则，故异面直线与所成角的余弦值为20高解：（）设
12、这个小球掉入5号球槽为事件掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以（A）所以这个小球掉入5号球槽的概率为（4分）（）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，04812一次游戏付出的奖金，则小红的收益为（8分）小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9，的分布列为：0149一次游戏付出的奖金，则小明的收益为，小明的盈利多（12分）21解：（）由题意知，即，由，可得，联立，解得，则点，则，联立，解得，所以椭圆的方程为（）设直线的方程为，联立，得，所以，解得，则，则，原点到直线的距离为，显然四边形是平行四边形，所以，当且仅当，即时，取等号，所以四边形的面积存在最大值，且最大值为422解：（）的导数为，因为在点，（1）处的切线垂直于轴，所以（1），即，得，则，所以，时，；时，所以在区间、单调递增，在区间单调递减（）证明：设的三个正数的零点分别为，且则（a）（b）（c），由（）可得的极小值为（2），极大值为（2），则欲证明任意两个零点的差小于2，只需证明，即因为，且在上单调递增，只需要证明（a）（c）构造，所以在区间上单减，在上单增，现证明：令，则在上单调递减，所以（1），而，得证，所以，（c）（a），得证所以结论成立
