1、中考专题攻略之解圆十七招圆圆与圆有关的概念与圆有关的概念与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形与圆正多边形与圆弧长与扇形面积弧长与扇形面积第 一 部 分 与 圆 有 关 的 概 念垂径定理垂径定理直径所对的圆周角直径所对的圆周角弦、弧与圆心角的关系弦、弧与圆心角的关系圆周角定理圆周角定理OA AB BC CD DMM一、一、垂径定理垂径定理定理定理：垂直于弦的直径平分弦：垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分并且平分弦所的两条弧弦所的两条弧. .知二推三知二推三如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O
2、 O的半径的半径O OA AB BE E解：解：答：答：O O的半径为的半径为5cm.5cm.展示展示练习练习方法总结方法总结对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d d、圆半径、圆半径r r、弓形高、弓形高h h，这四个量中，只，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：外两个量，如图有：d + h = rd + h = r222)2(adrhda2OA AB BC CP P如图，如图，ABAB是是OO的任意一条弦，的任意一条弦，OCABOCAB，垂足为垂足为P P，若，若 CP=7cmCP=7cm
3、，AB=28cm AB=28cm ，你，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？能帮老师求出这面镜子的半径吗？O O7 71414综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径展示展示练习练习弓形的弦长为弓形的弦长为6cm6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为. . D C A B O134cm展示练习展示练习半径、弦心距、弦长的一半构建半径、弦心距、弦长的一半构建直角三角形中：直角三角形中：1 1、知二求一，勾股定理直接求；、知二求一，勾股定理直接求；2 2、知一求一，勾股定理列方程。、知一求一，勾股定理列方程。第一招第
4、一招OA AB BD DA A1 1B B1 1D D1 1圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、 弦心距的关系弦心距的关系 AB = A AB = A1 1B B1 1 AOB = AAOB = A1 1OBOB1 1OD =ODOD =OD1 1二、四组量定理二、四组量定理知一推三知一推三教师提示注意前提条件：在同圆或等圆中。教师提示注意前提条件：在同圆或等圆中。如图，如图，ABAB是是O O 的直径，的直径， COD=COD=3535，求，求AOE AOE 的度数的度数A AO OB BC CD DE E解：解：= DECD=BC= DECD=BC 展示练习展示练习弦等弦等弧等弧等角等角等弦心
5、距等弦心距等第二招P A R T 0 1在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。都等于这条弧所对的圆心角的一半。三、圆周角定理三、圆周角定理如图，点如图，点A A、B B、C C、D D在同一个圆上，在同一个圆上，四边形四边形ABCDABCD的对角线把的对角线把4 4个内角分成个内角分成8 8个角，这些角中哪些是相等的角？个角，这些角中哪些是相等的角？D D1 12 23 34 45 56 67 78 8A AB BC C1 14 42 27 73 36 65 58 8解：解：展示练习展示练习1 1、如图，在、如图，在OO中，
6、中，ABC=50ABC=50，则，则AOCAOC等于（等于（ ）A A、5050； B B、8080；C C、9090； D D、100100A AC CB BO OD D2 2、如图，、如图，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，动点动点P P在圆周的劣弧在圆周的劣弧ABAB上，且上，且不与不与A A、B B重合，则重合，则BPCBPC等于等于（ ）A A、3030； B B、6060；C C、9090； D D、4545C CA AB BP PB B展示练习展示练习求圆周角求圆周角找圆心角找圆心角第三招第三招C CA AB BO直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是直角，直角圆周角所直角，
7、直角圆周角所对的弦是直径。对的弦是直径。四、直径所对的圆周角是直角四、直径所对的圆周角是直角如图，如图，O O直径直径ABAB为为10cm10cm，弦，弦ACAC为为6cm6cm，ACBACB的平分线交的平分线交O O于于D D，求，求BCBC、ADAD、BDBD的长的长又在又在RtRtABDABD中，中，ADAD2 2+ +BDBD2 2=AB=AB2 2，解：解：ABAB是直径，是直径， ACBACB= = ADBADB=90=90在在RtRtABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB，AD=BDAD=BD. .OABCD 展示练习展示练习看直径，连圆周角看直径，连圆周角看直角，找直
8、径看直角，找直径第四招第四招五、圆内接四边形对角互补五、圆内接四边形对角互补小技巧：圆内接四边形任何一个小技巧：圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对角。外角都等于它的内对角。定理：定理： 圆的内接四边形的对角互补。圆的内接四边形的对角互补。如图如图, ,四边形四边形ABDCABDC为为OO的内的内接四边形接四边形, ,已知已知BOCBOC为为100100, ,求求BACBAC及及BDCBDC的度数。的度数。 解：解：BAC=50BAC=50, , BDC=130 BDC=130展示练习展示练习第五招第五招四边形，找对角四边形，找对角练一练练一练: :求下列各图中的角求下列各图中的角A AC
9、CO O.E EB BD D8080A AD DC CO OB B4040.=100=100=160=160=25=25=138=138圆周角圆周角弧弧圆心圆心角角圆周角圆周角弧弧圆心角圆心角圆的内接四边形外角等圆的内接四边形外角等于内对角于内对角圆周角圆周角弧弧圆周角圆周角直径所对的圆周角为直角直径所对的圆周角为直角圆心角圆心角弧弧圆周角圆周角圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补E EB BA AC CD DO O.2525=42=42C CD D.O OB BA AE E4242由弧到角由弧到角, ,由角看弧由角看弧 展示练习展示练习方法总结方法总结求角七计求角七计1 1、平行线性
10、质、平行线性质2 2、多边形内角和、多边形内角和3 3、多边形外角、多边形外角4 4、余角、补角、余角、补角5 5、全等三角形、全等三角形6 6、与圆有关的角、与圆有关的角7 7、相似、旋转、相似、旋转第 二 部 分 与 圆 有 关 的 位 置 关 系点与圆的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系切线切线圆圆的的切切线线切线长切线长.p.p.o.or r.o.o.p.p.o.o.p.pOpOpr r 点点p p在在oo内内Op=r Op=r 点点p p在在oo上上OpOpr r 点点p p在在oo外外六、点与圆的位置关系六、点与圆的位置关系例例1 1、OO的半径的半径10
11、cm10cm，A A、B B、C C三点到圆心三点到圆心的距离分别为的距离分别为8cm8cm、10cm10cm、12cm12cm，则点，则点A A、B B、C C与与OO的位置关系是：点的位置关系是：点A A在在 ；点点B B在在 ；点；点C C在在 。 例例2 2、OO的半径的半径6cm6cm，当，当OP=6OP=6时，点时，点A A在在 ；当；当OPOP 时点时点P P在圆内；当在圆内；当OPOP 时，点时，点P P不在圆不在圆外。外。圆内圆内圆上圆上圆外圆外圆上圆上6 666展示练习展示练习第六招第六招点与圆，两点距离比半径点与圆，两点距离比半径1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d
12、 r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.OO相交相交O相切相切相离相离r rr rr rd dd dd d 七、直线与圆的位置关系七、直线与圆的位置关系在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=3cmAC=3cm，BC=4cmBC=4cm，以，以C C为圆心，为圆心，r r为半径的圆与为半径的圆与ABAB有有怎样的位置关系？为什么？怎样的位置关系？为什么？B BC CA A4 43 3D D（1 1）r=2cmr=2cm；（2 2）r=2.4cm r=2.4cm (3) r=3cm (3) r=3cm展示练
13、习展示练习解：过解：过C C作作CDABCDAB，垂足为，垂足为D D在在ABCABC中，中，AB=AB=5 5根据三角形的面积公式有根据三角形的面积公式有即圆心即圆心C C到到ABAB的距离的距离d=2.4cmd=2.4cm所以所以 (1)(1)当当r=2cmr=2cm时时, , 有有dr,dr,因此因此CC和和ABAB相离。相离。B BC CA A4 43 3D D（2 2）当）当r=2.4cmr=2.4cm时时, , 有有d=r,d=r,因此因此CC和和ABAB相切。相切。（3 3）当）当r=3cmr=3cm时，时， 有有drd R + rd R + rd = R + rd = R +
14、rR-r d R+ rR-r d R+ rd = R - rd = R - rd R - rd R - r九、圆与圆的位置关系九、圆与圆的位置关系判断正误：判断正误：1 1、若两圆只有一个交点、若两圆只有一个交点, ,则这两圆外切则这两圆外切. . （ ）2 2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离离. .（ ）3 3、当、当O O1 1O O2 2=0=0时时, ,两圆位置关系是同心圆两圆位置关系是同心圆. .（ ）举例举例圆心距对比半径差、半径和圆心距对比半径差、半径和第九招第九招1.1.若半径为若半径为7 7和和9 9的两圆相切的两圆相切,
15、 ,则这两圆的圆心距长一定为则这两圆的圆心距长一定为( )( )A.16 B.2 C.2A.16 B.2 C.2或或16 D.16 D.以上均不对以上均不对2.2.若半径为若半径为1 1和和5 5的两圆相交的两圆相交, ,则圆心距则圆心距d d的取值范围为的取值范围为( )( )A.dA.d6 B. 46 B. 4 d d 6 C.4d6 D.16 C.4d6 D.1d d5 53.3.若两圆半径为若两圆半径为6cm6cm和和4cm,4cm,圆心距为圆心距为10cm,10cm,那么这两圆的位那么这两圆的位置关系为置关系为( )( )A.A.内切内切 B.B.相交相交 C.C.外切外切 D.D.
16、外离外离C CB BC C试试身手试试身手第第 三三 部部 分分圆圆 与与 三三 角角 形形切线长定理切线长定理外接圆外接圆内切圆内切圆怎样要将一个怎样要将一个如图所示的如图所示的破破镜重圆镜重圆？十、三点确定一个圆十、三点确定一个圆外接圆作法要记牢外接圆作法要记牢第九招第九招3 3以以I I为圆心，为圆心，IDID为半径作为半径作I.I. I I就是所求的圆。就是所求的圆。 作三角形内切圆的方法：作三角形内切圆的方法： A AB BC C1 1、作、作BB、CC的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点，交点为为I I。 I2 2过点过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D D。 D
17、 DM MN N十、三角形的内切圆十、三角形的内切圆内切圆作法要记牢内切圆作法要记牢第十招第十招A AB BC CO OD DE EF FA AB BC COOD DE EF F.21cbarS.2cbar直角三角形的内切直角三角形的内切圆半径与三边关系圆半径与三边关系. .三角形的内切圆三角形的内切圆半径与圆面积半径与圆面积. .实质实质性质性质三角形的三角形的外心外心三角形的三角形的内心内心三角形三边垂直平三角形三边垂直平分线的交点分线的交点三角形三内角角平三角形三内角角平分线的交点分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶到三角形各顶点的距离相等点的距离相等十一、
18、十一、三角形的内心、外心三角形的内心、外心锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中斜边中点点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .A AB BC CO OA AB BC CC CA AB BO OO O三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？115100问题一问题一: :当点当点O O为为ABCABC的外心时，的外心时， BOC=BOC=问题二问题二: :当点当点O O为为ABCABC的内心时，的内心时， BOC=BOC= 4.4.已知已知, ,
19、如如图图, ,锐角三角形锐角三角形ABCABC中中, ,点点O O为形内为形内一定点一定点. . A=50A=50O.ABC当点当点O O为外心时，为外心时，则则 A A与与 BOC BOC为为圆周角与圆心角的圆周角与圆心角的关系。如图。所以关系。如图。所以 BOC=100 BOC=100若点若点O O为内心，则应为内心，则应用公式用公式 BOC= BOC= 90+ 0.5 A90+ 0.5 A，可得，可得 BOC=115 BOC=115展示练习展示练习外心外心内心内心角平分线角平分线垂直平分线垂直平分线圆心角与圆心角圆心角与圆心角三角形内角和三角形内角和第十一招第十一招从圆外一点向圆所从圆外
20、一点向圆所引的两条切线长相引的两条切线长相等等; ;并且这一点和圆并且这一点和圆心的连线平分两条心的连线平分两条切线的夹角切线的夹角. .A AB BP PO O1 12 2PA,PBPA,PB切切OO于于A,B A,B PA=PB PA=PB ， 1=21=2十二、切线长定理十二、切线长定理O OB BA AD DP PE EC C 如图，从如图，从OO外一点引圆的两条切线外一点引圆的两条切线PAPA、PBPB，切点分别为，切点分别为A A、B B，若，若PA=8PA=8，C C为为ABAB上的一个动点（不与上的一个动点（不与A A、B B两点两点重合），过点重合），过点C C作作OO的切线
21、，分别交的切线，分别交PAPA、PBPB于点于点D D、E E，则，则PDFPDF的周长为的周长为 分析：分析： 根据切线长定理可知，根据切线长定理可知，PA=PBPA=PB，而，而DEDE切切OO于于C C，所以又有，所以又有DA=DCDA=DC，EC=EBEC=EB，从而，从而PDEPDE的周长的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB =PD+DC+CE+PE=PA+PB 解：解：PAPA、PBPB、DE DE 为的为的切线，切点为切线，切点为A A、B B、C C，则则PA=PBPA=PB；DA=DCDA=DC；EC=EBEC=EB。 PDEPDE的周长的周长=PA+PB=16 =PA
22、+PB=16 1616 展示练习展示练习勾股定理计算勾股定理计算数量代换数量代换两切线长相等两切线长相等第十二招第十二招第第 四四 部部 分分弧弧 长长 与与 扇扇 形形 面面 积积圆锥展开图圆锥展开图弧长弧长扇形面积扇形面积扇形面积的计算公式为扇形面积的计算公式为S= S= 或或 S= S= r r3602rn21l弧长的计算公式为：弧长的计算公式为： = =360n180rn2 2r r=l十三、弧长和扇形面积十三、弧长和扇形面积1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半，半径为径为6 6，则这个扇形的弧长是，则这个扇形的弧长是_. . 2 2、已知扇形的弧长是、已知扇
23、形的弧长是44，圆心角，圆心角是是6060，那么它的面积是，那么它的面积是 442424展示练习展示练习弧长、扇形公式直接代或解方程弧长、扇形公式直接代或解方程第十三招第十三招 如图，水平放置的圆柱形排水管如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是道的截面半径是6m6m，其中水面高，其中水面高3m3m。求截面上有水部分的面积？求截面上有水部分的面积？弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇- S- S十四、阴影部分的面积十四、阴影部分的面积变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是的截面半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm0.9c
24、m，求截面上有水部分的面积。（精确到求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm0.01cm）。）。0 0A AB BD DC CE E弓形的面积弓形的面积 = = S S扇扇+ S+ S 展示练习展示练习如图：如图：ABAB是半圆的直径，是半圆的直径，AB=2, AB=2, C C、D D是半圆的三等分点，求阴影是半圆的三等分点，求阴影部分的面积。部分的面积。 弓形面积是代表弓形面积是代表第十四招第十四招阴影面积切、割、拼阴影面积切、割、拼O OP PA AB Br rh hl l222rhl圆锥中圆锥中:S:S侧侧= =圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积十五、圆锥侧面展开图十五、圆锥
25、侧面展开图圆锥的母线与底面直径都等于圆锥的母线与底面直径都等于8cm8cm，则，则圆锥的侧面积是圆锥的侧面积是 。S S侧侧rlrlS S全全rl+rrl+r2 2举例举例注重侧面积注重侧面积第十五招第十五招对应展开图对应展开图圆锥母线对应扇形半径圆锥母线对应扇形半径圆锥底面圆周长对应扇形弧长圆锥底面圆周长对应扇形弧长如图，已知如图，已知OO的弦的弦 ABAB所对的圆心角等所对的圆心角等于于140140o o，则弦，则弦ABAB所对的圆周角的度数为所对的圆周角的度数为_._. OAB7070o o或或110110o oCC错解错解: : 70 70 错因错因: :忽视了弦所忽视了弦所对的圆周角
26、有两对的圆周角有两类。类。. .正解：正解：当圆周角在优弧当圆周角在优弧上时，圆周角为上时，圆周角为140 140 的一半的一半7070；当圆周角；当圆周角在劣弧上时，则与在劣弧上时，则与7070互补，为互补，为110110。十六、分类讨论问题十六、分类讨论问题已知、是已知、是的两条平行弦，的两条平行弦，的半径是，的半径是，。求、的距离。求、的距离. .B BA AO OD DC CF FE EO OD DC CB BA AF FE E答案：答案：7cm7cm或或1cm1cm展示练习展示练习圆周角隔心相望圆周角隔心相望第十六招第十六招平行弦或挨或隔平行弦或挨或隔已知已知:P:P是是OO内的一点
27、内的一点,PO=3,O,PO=3,O的半径的半径等于等于5 5求过点求过点P P的最短弦的长度的最短弦的长度. .过点过点P P的最长弦是直径的最长弦是直径, ,最短最短弦是垂直于过点弦是垂直于过点P P的直径的弦的直径的弦. .P POD DB BA A十七、最短路径问题十七、最短路径问题已知如图已知如图(1)(1)，圆锥的母线长为，圆锥的母线长为4 4，底面圆半径，底面圆半径为为1 1，若一小虫，若一小虫P P从点从点A A开始绕着圆锥表面爬行一开始绕着圆锥表面爬行一圈到圈到SASA的中点的中点C C，求小虫爬行的最短距离，求小虫爬行的最短距离. .(1)(1)(2)(2)本题是将圆锥侧本
28、题是将圆锥侧面展开，得一扇面展开，得一扇形，先求一圆心形，先求一圆心角。得解。角。得解。 221= ,n=901= ,n=90SA=4SA=4，SC=2SC=2AC=2 .AC=2 .即小虫爬行的最短距离为即小虫爬行的最短距离为2 .2 .解：侧面展开图如图解：侧面展开图如图(2)(2)展展示示练练习习直径最长弦最短直径最长弦最短第十七招第十七招路径问题摊开算路径问题摊开算基本图形（重要结论）基本图形（重要结论）关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常线段，这是一条非常重要的辅助线。重要的辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三径、弦长构成直角三角形，便将问题转化角形，便将问题转化为直角三角形的问题。为直角三角形的问题。OPAB辅助线一辅助线一 在遇到与直径有在遇到与直径有关的问题时，应关的问题时，应考虑作出直径或考虑作出直径或直径所对的圆周直径所对的圆周角。这也是圆中角。这也是圆中的另一的另一 种辅助线种辅助线添法。添法。辅助线二辅助线二CAB.O 当遇到已知切线当遇到已知切线和切点时，要注和切点时，要注意连接圆心和切意连接圆心和切点，以便得到直点，以便得到直角去帮助解题。角去帮助解题。辅助线三辅助线三OA.今今 天天 ，你你 学学 到到 了了 什什 么么 ？
