1、1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义【知识提炼知识提炼】1.1.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数v vu u全体实数全体实数全体实数全体实数2.2.任意角的正弦函数、余弦函数任意角的正弦函数、余弦函数(1)(1)前提前提: :设角设角的顶点是坐标系的原点的顶点是坐标系的原点, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,角角终边上任一点终边上任一点Q(x,yQ(x,y).).(2)(2)结论结论:OQ:OQ的长度为的长度为 22rxy ,sin_cos_. 且，yrxr3.3.任意角的正、余
2、弦三角函数任意角的正、余弦三角函数(1)(1)前提前提: :用用x x表示自变量表示自变量, ,即即x_x_的大小的大小, ,用用y y表示函数值表示函数值. .(2)(2)结论结论: :任意角的正、余弦三角函数可以表示为任意角的正、余弦三角函数可以表示为y=y=sinxsinx和和y=y=cosxcosx, ,它它们的定义域为们的定义域为_._.表示角表示角全体实数全体实数【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)正弦函数、余弦函数的定义是否适用于单位圆与坐标轴的交点正弦函数、余弦函数的定义是否适用于单位圆与坐标轴的交点? ?提示提示: :适用适用. .如单位圆与如单位
3、圆与y y轴交点的坐标为轴交点的坐标为(0,1),(0,1),则可得到则可得到sin 90sin 90 =1,cos 90=1,cos 90=0.=0.(2)(2)利用角利用角终边上的点表示正弦、余弦时终边上的点表示正弦、余弦时, ,与所取点的位置是否有关与所取点的位置是否有关? ?提示提示: :没有关系没有关系. .根据三角形相似的知识根据三角形相似的知识 1212h.rrl2.2.在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,点点A A是单位圆是单位圆O O与与x x轴正半轴的交点轴正半轴的交点, ,射线射线OPOP交单交单位圆位圆O O于点于点P,P,若若AOP=,AOP=,则点则点P
4、P的坐标是的坐标是( () )A.(cos,sinA.(cos,sin) B.(-) B.(-cos,sincos,sin) )C.(sin,cosC.(sin,cos) D.(-) D.(-sin,cossin,cos) )【解析解析】选选A.A.由正余弦函数在单位圆中的定义知点由正余弦函数在单位圆中的定义知点P P的坐标是的坐标是( (coscos, , sinsin).).3.3.已知角已知角终边经过点终边经过点( ,1),( ,1),则角则角的最小正值是的最小正值是_._.【解析解析】 所以所以的最小正值为的最小正值为 . .答案答案: :322y1r312sin,r2 ，664.4.
5、当角当角=0=0时时, ,sinsin=_;=_;若角若角=-3,=-3,则则sinsin的符号为的符号为_(_(填填“正正”或或“负负”).).【解析解析】当角当角=0=0时时, ,sinsin=0;=0;若角若角=-3,=-3,则角则角是第三象限角是第三象限角, ,所以所以sinsin0.0,cos0,cos0,故点故点P P在第四象限在第四象限. .答案答案: :四四【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )典例典例2 2中条件改为若角中条件改为若角在第四象限在第四象限, ,则判断点则判断点P P在第几在第几象限象限? ?【解析解析】因为角因为角是第四象限角是第四象限角, ,
6、则则sinsin0,0,故点故点P P在第二象限在第二象限. .2.(2.(变换条件变换条件) )典例典例2 2中条件改为若中条件改为若sincossincos0,0,则判断角则判断角在第几象在第几象限限? ?【解析解析】若若sinsincoscos0,0,则则sinsin0,cos0,cos00或或sinsin0,cos0,cos0,0,故角故角为第一或第三象限角为第一或第三象限角. .【方法技巧方法技巧】正余弦函数符号的确定正余弦函数符号的确定(1)(1)终边在坐标轴上的角终边在坐标轴上的角终边在坐标轴上的角可以利用单位圆终边在坐标轴上的角可以利用单位圆, ,如终边在如终边在x x轴负半轴
7、上的角与单轴负半轴上的角与单位圆的交点为位圆的交点为(-1,0),(-1,0),故故sinsin=0,cos0.=0,cos0,cos0,cos0,0,故角故角位于第二位于第二象限象限. .sin cos0,2cos0易错案例易错案例 正、余弦函数定义的应用正、余弦函数定义的应用【典例典例】(2015(2015泉州高一检测泉州高一检测) )已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(m,4),P(m,4),且且coscos=- ,=- ,则则m m等于等于( )( ) 3599A. B.3 C. D.322【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析上面的解析过程分析上面的解析过程, ,你知道错在
8、哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :出错的根本原因是未利用余弦函数小于零确定角所在的象限出错的根本原因是未利用余弦函数小于零确定角所在的象限, ,从从而无法确定而无法确定m m的符号的符号. .【自我矫正自我矫正】选选D.D.因为因为coscos=- 0,=- 0,所以所以为第二象限或第三象限的角为第二象限或第三象限的角, ,又由角又由角的终边经过点的终边经过点P(m,4),P(m,4),故故为第二象限的角为第二象限的角, ,即即m0,m0,则则coscos= = 解得解得m=-3,m=-3,或或m=3(m=3(舍去舍去).).35223m,5m4【防范措施防范措施】充分挖掘条件充分挖掘条件, ,确定角的范围确定角的范围( (象限象限) )与正、余弦函数相关的求值问题往往要涉及确定角的范围与正、余弦函数相关的求值问题往往要涉及确定角的范围( (象限象限),),除除了利用已知条件外了利用已知条件外, ,还要挖掘题目的隐含条件还要挖掘题目的隐含条件. .例如例如, ,利用正、余弦函利用正、余弦函数的符号确定角所在的象限等数的符号确定角所在的象限等. .本题中就是利用余弦函数小于零时角本题中就是利用余弦函数小于零时角是第二或第三象限的角是第二或第三象限的角, ,排除错误答案排除错误答案3.3.
