1、1.31.3弧度制弧度制1.理解弧度制的定义,体会弧度也是度量角的单位.2.掌握角度与弧度的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会用弧长公式、扇形面积公式解决有关问题.1231.弧度制 (1)定义:以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制.(2)度量方法:在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.如图中的单位圆 AOB就是1弧度角.(3)记法:弧度的单位符号是rad,读作弧度.123【做一做1】 下列说法中正确的是()A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径
2、的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位解析:弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小.答案:D123123名师点拨角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应,如图.123A.30B.45C.60D.6答案:A【做一做2-2】 1 080=() 答案:D1233.弧度数与弧长公式(1)一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0.(2)如图,l,r,分别是弧长、半径和弧所对
3、的圆心角的弧度数.弧长公式:l=|r,这就是说,弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积.123123答案:A 123【做一做3-2】 已知扇形的周长为20 cm,则这个扇形面积的最大值为.解析:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则2r+l=20,即l=20-2r,故扇形的面积：故当r=5时,S有最大值25.故填25 cm2.答案:25 cm2题型一题型二题型三题型四(1)将1,2用弧度表示出来,并指出它们终边所在的象限;(2)将1,2用角度表示出来,并在-7200范围内找出与它们具有相同终边的所有角.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.
4、将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”,再利用 转化为弧度.2.以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少的形式.题型一题型二题型三题型四答案:A 题型一题型二题型三题型四【例2】 (1)将-1 485表示成2k+(kZ)的形式,且02;(2)用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界).分析:(1)-1 485k360+(kZ),0360的形式2k+(kZ),02的形式(2)先把角度化成弧度,再分析边界角的大小,写出阴影区域的不等关系,最后写成集合的形式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四
5、反思1.解答此类问题可以先化成角度表示终边相同的角,再转化为弧度;也可以直接化为弧度,再写成弧度制表示终边相同的角的形式.另外,要注意条件02.2.解答此类题目的关键在于正确识图,以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成的(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式,应正确给出角的不等关系),是否包含边界.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 用弧度制形式表示顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).题型一题型二题型三题型四解:(1)图中,终边落在射线OA上的所有角可表示为1=150+k360(kZ);终边落在射线OB上的所有角可表示为2=-45+k36
6、0(kZ).故适合题意的角的集合为|-45+k360150+k360,kZ.题型一题型二题型三题型四(2)图中,终边落在阴影部分内的角的集合可看成终边在x轴上方与x轴下方两部分的角的集合的并集.故适合题意的角的集合为题型一题型二题型三题型四【例3】 (1)已知半径为120 mm的圆上,有一条弧的长为144 mm,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值;(2)在直径为20 cm的圆中,求165的圆心角所对的弧长及扇形的面积.分析:(1)弧长公式逆用弧度数的绝对值(2)角度化为弧度弧长公式弧长面积题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 (1)已知扇形的面积为1 cm2,它的周长
7、为4 cm,求它的圆心角;(2)已知扇形的圆心角是72,半径等于20 cm,求扇形的面积.解:(1)设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=4-2r.题型一题型二题型三题型四易错点因混用角度制与弧度制而致误【例4】 把角-690化为2k+(02,kZ)的形式为.错解-690=-720+30=-4+30,故应填-4+30.错因分析上述解法中,表示一个角,既用了角度又用了弧度,这种混合用的写法是错误的.即表示一个角时,要么只用角度,要么只用弧度.123451.关于弧度制有下列说法:扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大;大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角;大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:只有说法是正确的.答案:B12345答案:C 12345答案:D 123454.已知扇形AOB的面积为4,圆心角的弧度数为2,则该扇形的弧长为.故扇形弧长l=|r=22=4.答案:4123455.如图,已知扇形AOB的圆心角为120,半径长为6,求弓形ACB的面积.
