1、1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【知识提炼知识提炼】1.1.终边相同的角的正、余弦函数终边相同的角的正、余弦函数(1)sin(x+k(1)sin(x+k2)=_;2)=_;(2)cos(x+k(2)cos(x+k2)=_,kZ.2)=_,kZ.sinxsinxcosxcosx2.2.周期性周期性(1)(1)条件条件: :对于函数对于函数f(xf(x) )存在存在_T;_T;对于定义域内的任意一个对于定义域内的任意一个x x值都有值都有f(x+Tf(x+T)= _.)= _.(2)(2)结论结论: :函数函数f(xf(x) )为周期函数为周期函数; ;_为函
2、数的周期为函数的周期. .非零常数非零常数f(xf(x) )T T3.3.正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性正、余弦函数都是以正、余弦函数都是以_(kZ,k0)_(kZ,k0)为周期的周期函数为周期的周期函数, ,最小正周最小正周期为期为_._.2k2k224.4.单位圆与正、余弦函数的性质单位圆与正、余弦函数的性质正弦函数正弦函数y=y=sinxsinx余弦函数余弦函数y=y=cosxcosx定义域定义域R R值域值域_周期周期_在在0,20,2上的单上的单调性调性在在 上是增加的上是增加的; ;在在 上是减少的上是减少的在在,2,2上是增加上是增加的的; ;在在0,0,上是减少的上是
3、减少的-1,1-1,12230,2 22，3,22【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)若存在非零常数若存在非零常数T,T,对于函数对于函数f(xf(x),),若存在若存在x x值有值有f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x),),则函则函数数f(xf(x) )是周期函数吗是周期函数吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,如函数如函数f(xf(x)=x)=x2 2, ,存在非零常数存在非零常数T=4,T=4,存在存在x=-2,x=-2,使得使得f(-2 f(-2 +4)=f(-2),+4)=f(-2),但是函数但是函数f(xf(x)=x)=x2 2不是周期函数不是周
4、期函数. .(2)(2)周期函数一定存在最小正周期吗周期函数一定存在最小正周期吗? ?提示提示: :不一定不一定. .如常数函数是周期函数如常数函数是周期函数, ,但是没有最小正周期但是没有最小正周期. .2.2.关于周期函数关于周期函数, ,下列说法正确的是下列说法正确的是_(_(填序号填序号).).周期函数的定义域可以是有限集周期函数的定义域可以是有限集; ;周期函数的周期只有唯一一个周期函数的周期只有唯一一个; ;周期函数的周期可以有无数多个周期函数的周期可以有无数多个; ;周期函数的周期可正可负周期函数的周期可正可负. .【解析解析】由周期函数的定义可得是错误的由周期函数的定义可得是错
5、误的, ,是正确的是正确的. .答案答案: :3.3.函数函数y=2sinxy=2sinx在区间在区间 上的值域是上的值域是_._.【解析解析】当当x x 时时, ,sinxsinx , ,所以所以2sinx2sinx , ,即函数即函数y=2sinxy=2sinx的值域是的值域是 . .答案答案: : 5,445,442,122,22,22,24.4.若若f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的函数的函数, ,且且f(1)= ,f(1)= ,则则f(-3)=_.f(-3)=_.【解析解析】因为因为f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的函数的函数, ,所以所以f(-3)=f(-3+4)f
6、(-3)=f(-3+4)=f(1)= .=f(1)= .答案答案: :121212【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 周期函数周期函数观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:周期函数的定义域有什么特点周期函数的定义域有什么特点? ?问题问题2:2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征周期函数的函数值、图像有什么样的特征? ?【总结提升总结提升】对于周期函数的四点认识对于周期函数的四点认识(1)(1)对于定义域内的任意对于定义域内的任意x,x,都有都有x+Tx+T属于定义域属于定义域; ;(2)(2)并不是每一个函数都是周期函数并不是每一个函数都是周期函数, ,若
7、函数具有周期性若函数具有周期性, ,不一定有最不一定有最小正周期小正周期; ;(3)(3)如果如果T T是函数的一个周期是函数的一个周期, ,则则nT(nZnT(nZ, ,且且n0)n0)也是函数的周期也是函数的周期. .(4)(4)每相隔周期的整数倍每相隔周期的整数倍, ,图像要重复出现图像要重复出现. .知识点知识点2 2 正弦、余弦函数的基本性质正弦、余弦函数的基本性质观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :正弦、余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系正弦、余弦函数的基本性质与其周期性有什么关系? ?【总结提升总结提升】对正弦、余弦函数性质的四点说明对正弦、余弦
8、函数性质的四点说明(1)(1)正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单位圆直正、余弦函数的性质是利用正弦、余弦函数的定义结合单位圆直观观察得来的观观察得来的. .(2)(2)这些性质适用于整个函数这些性质适用于整个函数, ,而不仅仅是在而不仅仅是在0,20,2上的性质上的性质. .(3)(3)对于正弦函数与余弦函数来说对于正弦函数与余弦函数来说, ,它们的定义域均是全体实数它们的定义域均是全体实数, ,但并但并不能说它们是增函数或减函数不能说它们是增函数或减函数, ,而只能说在某个区间内是增加的或减而只能说在某个区间内是增加的或减少的少的. .(4)(4)正弦函数的最值在单位圆与正弦
9、函数的最值在单位圆与y y轴的交点处取得轴的交点处取得, ,而余弦函数的最值而余弦函数的最值则在单位圆与则在单位圆与x x轴的交点处取得轴的交点处取得, ,要注意区分要注意区分. .【题型探究题型探究】类型一类型一 函数周期性的应用函数周期性的应用【典例典例】1.(20151.(2015南安高一检测南安高一检测) )coscos 1 110 1 110的值为的值为( () ) 2.2.已知某奇函数的周期为已知某奇函数的周期为3,3,且且f(-1)=10,f(-1)=10,则则f(10)=_.f(10)=_.3.3.若函数若函数f(xf(x) )满足满足f(x+1)=-f(x),f(1)= ,f
10、(x+1)=-f(x),f(1)= ,则则f(2015)=_.f(2015)=_.1313A. B. C. D.222232【解题探究解题探究】1.1.利用余弦函数的周期性利用余弦函数的周期性,1110,1110与哪一个角的终边相与哪一个角的终边相同同? ?提示提示: :因为因为3030=1110=1110-3-3360360, ,故故11101110与与3030的终边相同的终边相同. .2.2.由函数的周期为由函数的周期为3,3,则与则与f(10)f(10)相等的有哪些值相等的有哪些值? ?提示提示: :f(10)=f(7)=f(4)=f(1).f(10)=f(7)=f(4)=f(1).3.
11、3.由函数由函数f(xf(x) )满足满足f(x+1)=-f(x+1)=-f(xf(x),),则函数的周期是多少则函数的周期是多少? ?提示提示: :因为因为f(x+1)=-f(x+1)=-f(xf(x),),所以所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x+2)=-f(x+1)=f(xf(x),),因此周期为因此周期为2.2.【解析解析】1.1.选选A.A.因为余弦函数的周期为因为余弦函数的周期为360360, ,故故coscos 1 110 1 110. .=cos(1110=cos(1110-3-3360360)=)=coscos 30 30= .= .2.2.奇函数的周期为奇函数的周期为3
12、,3,故故f(10)=f(1)=-f(-1)=-10.f(10)=f(1)=-f(-1)=-10.答案答案: :-10-103.3.因为因为f(x+1)=-f(x+1)=-f(xf(x),),所以所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x+2)=-f(x+1)=f(xf(x),),因此周期为因此周期为2.2.故故f(2015)=f(1)= .f(2015)=f(1)= .答案答案: :123232【方法技巧方法技巧】常见周期函数的形式常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式周期函数除常见的定义式f(x+Tf(x+T)=)=f(xf(x) )外外, ,还有如下四种形式还有如下四种形式: :(1)f
13、(x+a)=-(1)f(x+a)=-f(xf(x).).(2)f(x+a)= .(2)f(x+a)= .(3)f(x-a)=- .(3)f(x-a)=- .(4)f(x-a)=(4)f(x-a)=f(x+af(x+a).).以上四种形式的函数都是以以上四种形式的函数都是以2a2a为周期的周期函数为周期的周期函数. . 1f x 1f x【变式训练变式训练】(2015(2015长春高一检测长春高一检测)sin )sin 的值是的值是( () ) 【解析解析】选选C. C. 1931133A. B. C. D.222219193sin sin6sin.3332 ()类型二类型二 正弦、余弦函数的基
14、本性质正弦、余弦函数的基本性质【典例典例】1.(20151.(2015济南高一检测济南高一检测) )函数函数y= y= 的定义域为的定义域为_._.2.2.函数函数y=y=cosxcosx在区间在区间 上的值域为上的值域为_._.2sin x12,33【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中开偶次方根时中开偶次方根时, ,对被开方数有什么要求对被开方数有什么要求? ?提示提示: :开偶次方根时要求被开方数为非负数开偶次方根时要求被开方数为非负数. .2.2.余弦函数在区间余弦函数在区间 上的单调性是怎样的上的单调性是怎样的? ?提示提示: :在区间在区间 上是减少的上是减少的. .2,332,
15、33【解析解析】1.1.要使要使 有意义有意义, ,则必须满足则必须满足2sinx+12sinx+10,0,即即结合单位圆结合单位圆( (如图所示如图所示) )知知x x的取值范围是的取值范围是 答案答案: : 2sin x11sin x2 ，72kx2k ,kZ.66 72k ,2k (kZ)662.2.函数函数y=y=cosxcosx在区间在区间 上是减少的上是减少的, ,故故 故故 故函数的值域为故函数的值域为 答案答案: :2,332cos ycos33，11y22，1 1, .2 21 1, 2 2【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )典例典例2 2中若区间改为中若区
16、间改为 则值域为则值域为_._.5,36【解析解析】函数函数y=y=cosxcosx在区间在区间 上是增加的上是增加的, ,故故在区间在区间 上是减少的上是减少的, ,故故- - y y1,1,故函数的值域为故函数的值域为 答案答案: :,031y12 ；50,6323,1.23,122.(2.(变换条件变换条件) )典例典例2 2中若函数改为中若函数改为y=y=sinxsinx, ,则值域为则值域为_._.【解析解析】由正弦函数的单调性可知由正弦函数的单调性可知,y=,y=sinxsinx的值域为的值域为 答案答案: :3,1.23,12【方法技巧方法技巧】利用正、余弦函数的单调性求值域利用
17、正、余弦函数的单调性求值域利用正、余弦函数的单调性求函数的值域时利用正、余弦函数的单调性求函数的值域时, ,不能直接代入端点值求不能直接代入端点值求值域值域, ,因为在已知区间上不一定是单调的因为在已知区间上不一定是单调的, ,所以应先根据正、余弦函数所以应先根据正、余弦函数的性质判断在已知区间上的单调性的性质判断在已知区间上的单调性, ,再求值域再求值域. .【补偿训练补偿训练】(2015(2015朝阳高一检测朝阳高一检测)sin1)sin1,sin1,sin,sin1,sin的大小顺的大小顺序是序是( () )A.sin1A.sin1sin1sin1sinsinB.sin1B.sin1 s
18、insinsin1sin1C.sinC.sinsin1sin1sin1sin1D.sin1sin1D.sin1sin1 sinsin【解析解析】选选B.B.因为因为1 1弧度弧度57.357.3,y=,y=sinxsinx, ,当当0 0 x90 x90时时, ,为增加的为增加的, ,且且1 1 1,1,所以所以sin1sin1 sinsinsin1.sin1.易错案例易错案例 正、余弦函数基本性质的应用正、余弦函数基本性质的应用【典例典例】若若x x是三角形的最小内角是三角形的最小内角, ,则正弦函数则正弦函数y=y=sinxsinx的值域为的值域为_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解
19、分析】分析上面的解析过程分析上面的解析过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :错误的根本原因是角的范围错误错误的根本原因是角的范围错误, ,忽视了忽视了“最小内角最小内角”对角范围对角范围的限制的限制. .【自我矫正自我矫正】因为因为x x是三角形的最小内角是三角形的最小内角, ,则则0 x ,0 x ,因为正弦函数在区间因为正弦函数在区间 上是增加的上是增加的, ,所以当所以当0 x 0 x 时时, ,则则00sinxsinx , ,即正弦函数即正弦函数y=y=sinxsinx的值域为的值域为 . .答案答案: : 33320,23(0,23(0,2【防范措施防范措施】
20、1.1.深入挖掘题目中的条件深入挖掘题目中的条件要重视对题目条件的挖掘和充分应用要重视对题目条件的挖掘和充分应用, ,一般情况下题目条件应用不充一般情况下题目条件应用不充分分, ,挖掘不透均会导致错误挖掘不透均会导致错误. .如本例中用到了三角形中的最小角如本例中用到了三角形中的最小角, ,需要需要在记住三角形内角和为在记住三角形内角和为的基础上的基础上, ,推导出最小角的范围推导出最小角的范围 . .2.2.图像的利用图像的利用在求解函数的值域时在求解函数的值域时, ,结合单位圆结合单位圆, ,能避免出错能避免出错, ,如本例中如本例中x x 时时, ,最大值与最小值的求解最大值与最小值的求解, ,作出单位圆后作出单位圆后, ,结果就很清晰了结果就很清晰了. .(03，(03，
