1、习题课函数的基本性质 类型一利用奇偶性求函数解析式类型一利用奇偶性求函数解析式【典例【典例1 1】(1)(1)若函数若函数f(xf(x) )是奇函数是奇函数,g(x,g(x) )是偶函数是偶函数, ,且且f(x)-g(xf(x)-g(x)= ,)= ,则则f(xf(x)=_.)=_.(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0 x0时时, ,f(xf(x)=x)=x2 2-2x+1,-2x+1,求求f(xf(x) )的解析式的解析式. .11x【解题指南【解题指南】(1)(1)根据根据f(x),g(xf(x),g(x) )的奇偶性的奇偶性,
2、 ,以以-x-x代替代替x x列方程组求解列方程组求解. .(2)(2)由由x0 x0时时,f(x,f(x)=x)=x2 2-2x+1,-2x+1,当当x0 x0,-x0代入解析式代入解析式, ,再利用奇函数的定义求出再利用奇函数的定义求出x0 x0的解析式的解析式, ,由由f(0)=0,f(0)=0,得出得出f(xf(x) )在在R R上的解析式上的解析式. .【解析【解析】(1)(1)因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数,g(x,g(x) )是偶函数是偶函数, ,f(x)-g(xf(x)-g(x)= ,)= ,所以所以f(-x)-g(-xf(-x)-g(-x)= ,)= ,所以所以
3、解得解得f(xf(x)= .)= .答案答案: : 11x11x 1f xg x,1x1f xg x,1x2xx12xx1(2)(2)当当x0 x0,f(-x)=(-x),-x0,f(-x)=(-x)2 2-2(-x)+1=x-2(-x)+1=x2 2+2x+1,+2x+1,因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,所以所以f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x),),所以所以x0 x0 x0时时, ,f(xf(x)=-2x)=-2x2 2+3x+1,+3x+1,求求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【解题指南【解题指南】当当x0 x0,-x0,代入解析式代入解析式, ,再利用再
4、利用f(xf(x) )为奇函数为奇函数, ,求得解析式求得解析式. .【解析【解析】当当x0 x0,-x0,则则f(-xf(-x)=-2(-x)=-2(-x)2 2+3(-x)+1=+3(-x)+1=-2x-2x2 2-3x+1,-3x+1,由于由于f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,故故f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),所以所以f(xf(x)=2x)=2x2 2+3x-1,+3x-1,即当即当x0 x0,x0,则则-x0,-x”连接连接) )(2)(2017(2)(2017长春高一检测长春高一检测)f(x)f(x)=(m-1)x)=(m-1)x2 2+2mx+3+2mx+3
5、是偶函是偶函数数, ,则则f(-1),f(- ),f( )f(-1),f(- ),f( )的大小关系为的大小关系为_.(_.(用用“”连接连接) )23【解题指南【解题指南】(1)(1)利用利用f(xf(x) )为偶函数为偶函数, ,将自变量转化到将自变量转化到同一单调区间判断同一单调区间判断. .(2)(2)先由先由f(xf(x)=(m-1)x)=(m-1)x2 2+2mx+3+2mx+3是偶函数是偶函数, ,确定确定m m的值的值, ,从从而得出而得出f(xf(x) )的解析式的解析式, ,再根据再根据f(xf(x) )的单调性比较三个值的单调性比较三个值的大小的大小. .【解析【解析】(
6、1)(1)因为因为f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,则则f(-2)=f(2),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),f(-3)=f(3),又当又当x x0 0时时,f(x,f(x) )是增函数是增函数, ,所以所以f(2)f(3)f(f(2)f(3)f(),),从而从而f(-2)f(-3)f(f(-2)f(-3)f(-3)f(-2)f(-3)f(-2)(2)(2)因为因为f(xf(x)=(m-1)x)=(m-1)x2 2+2mx+3+2mx+3是偶函数是偶函数, ,所以有所以有f(-xf(-x)=)=f(xf(x),),即即(m-1)(-x)(m-1)(-x)2 2+2m(-x)+
7、3=(m-1)x+2m(-x)+3=(m-1)x2 2+2mx+3,+2mx+3,所以所以4mx=04mx=0恒成立恒成立, ,所以所以m=0,m=0,因此因此f(xf(x)=-x)=-x2 2+3,+3,又又f(xf(x)=-x)=-x2 2+3+3在在(-,0(-,0上为增函数上为增函数, ,故故f(- )f(- )f(-1),f(- )f(- )f(-1),又又f( )=f(- ).f( )=f(- ).所以所以f( )f(- )f(-1).f( )f(- )f(-1).答案答案: :f( )f(- )f(-1)f( )f(- )f(-1)33322323【方法总结【方法总结】利用奇偶性
8、和单调性比较大小的三个步利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤骤(1)(1)判断判断: :判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单调性调性. .(2)(2)转化转化: :根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调区间内区间内. .(3)(3)确定确定: :根据函数的单调性根据函数的单调性, ,比较函数值的大小比较函数值的大小. .【巩固训练【巩固训练】1.(20171.(2017武汉高一检测武汉高一检测) )函数函数f(xf(x) )是定是定义在义在R R上的偶函数上的偶函数, ,当当x0 x0时时,f(x,f(x) )单调递
9、减单调递减. .则下列各则下列各式成立的是式成立的是( () )A.f(1)f(-3)A.f(1)f(2)B.f(3)f(2)C.f(-2)f(3)C.f(-2)f(3)D.f(2)f(0)D.f(2)f(0)【解析【解析】选选C.C.函数函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,所以所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),当当x0 x0时时,f(x,f(x) )单调递单调递减减, ,所以所以f(0)f(2),f(1)f(3),f(2)f(3),f(0)f(2),f(1)f(3),f(2)f(3),所以所以f(-2
10、) f(-2) f(3).f(3).2.2.设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上单调递减的奇函数上单调递减的奇函数, ,若若x x1 1+x+x2 20,x0,x2 2+x+x3 30,x0,x3 3+x+x1 10,0,则则( () )A.f(xA.f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)+f(x)+f(x3 3)0)0B.f(xB.f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)+f(x)+f(x3 3)0)f(x)f(x3 3) )【解析【解析】选选B.B.因为因为x x1 1+x+x2 20,0,所以所以x x1 1-x-x2 2, ,又因为又因为f(xf(x) )是定义在是定义在R
11、 R上单调递减的奇函数上单调递减的奇函数, ,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2),),所以所以f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)0,)0,同理同理, ,可得可得f(xf(x2 2)+f(x)+f(x3 3)0,f(x)0,f(x1 1)+f(x)+f(x3 3)0,)0,所以所以2f(x2f(x1 1)+2f(x)+2f(x2 2)+2f(x)+2f(x3 3)0,)0,所以所以f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)+f(x)+f(x3 3)0.)0.【补偿训练【补偿训练】若函数若函数f(xf(x) )是是R R上的偶函数上的偶函数, ,且在且在0,+)
12、0,+)上是减函数上是减函数, ,则满足则满足f()f(af()f(a) )的实数的实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】若若a a0,f(x)0,f(x)在在0,+0,+) )上是减函数上是减函数, ,且且f(f()f(a)f(a),),得得0 0aa. .若若a0,a0,因为因为f()=f(-f()=f(-),),则由则由f(xf(x) )在在0,+)0,+)上是减上是减函数函数, ,得知得知f(xf(x) )在在(-,0(-,0上是增函数上是增函数. .由于由于f(-)f(af(-)-,a-,即即-a0.-a0.由上述两种情况知由上述两种情况知a(-,a(-,).).答
13、案答案: :(-(-, ,) )类型三利用奇偶性和单调性解不等式类型三利用奇偶性和单调性解不等式【典例【典例3 3】(2017(2017岳阳高一检测岳阳高一检测) )若定义域为若定义域为R R的偶函的偶函数数f(xf(x) )在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,且且f(1)=0,f(1)=0,求不等式求不等式f(x)0f(x)0的解集的解集. .【解题指南【解题指南】由由f(xf(x) )为偶函数为偶函数, ,且在且在0,+)0,+)上是增函上是增函数数, ,可得可得f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),且且f(xf(x) )在在(-,0(-,0上是减函数上是减函数, ,最最后
14、利用单调性解不等式后利用单调性解不等式. .【解析【解析】若定义域为若定义域为R R的偶函数的偶函数f(xf(x) )在在0,+)0,+)上是增上是增函数函数, ,则则f(xf(x) )在在(-,0(-,0上是减函数上是减函数, ,且且f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),因因为为f(1)=0,f(1)=0,所以所以f(-1)=f(1)=0,f(-1)=f(1)=0,综上当综上当x-1x-1或或x1x1时时,f(x)0,f(x)0,即即f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|x-1,x|x-1,或或x1.x1.【延伸探究【延伸探究】1.1.若本例中的若本例中的“偶函数偶函数”改为改为“奇
15、函数奇函数”,“f(1)=0”,“f(1)=0”改为改为“f(1-m)f(mf(1-m)f(m)”,)”,求求m m的取值范围的取值范围. .【解析【解析】因为因为f(xf(x) )是奇函数且在是奇函数且在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以f(xf(x) )在在(-,0)(-,0)上也是增函数上也是增函数, ,故由故由f(1-m)f(mf(1-m)f(m),),得得1-mm,1-m .m .122.2.本例中条件不变本例中条件不变, ,求求x xf(x)0f(x)0的解集的解集. .【解析【解析】因为因为f(xf(x) )为为R R上的偶函数上的偶函数, ,所以所以f(-1)=
16、f(1)=0,f(-1)=f(1)=0,又又f(xf(x) )在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以f(xf(x) )在在(-,0(-,0上为上为减函数减函数.x.xf(x)0f(x)0 即即 所以所以x-1x-1或或0 x1.0 x1.所以不等式所以不等式x xf(x)0f(x)0的解集为的解集为x|x-1,x|x-1,或或0 x1.0 x1. x0,x0,f x0,f x0,或 x0,x0,f xf1f xf 1 .或【方法总结【方法总结】利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤个步骤(1)(1)转化转化: :利用奇偶性转化成利用奇偶性转化
17、成f(M)f(Nf(M)f(N) )的形式的形式. .(2)(2)确定确定: :确定函数的单调性确定函数的单调性. .(3)(3)去去“f”:f”:去掉去掉“f”,f”,转化为转化为MNMN或或MNMN的形式的形式. .(4)(4)求解求解: :解不等式解不等式( (组组).).提醒提醒: :在利用单调性解不等式时在利用单调性解不等式时, ,要注意定义域的限制要注意定义域的限制, ,以保证转化的等价性以保证转化的等价性. .【补偿训练【补偿训练】1.1.设定义在设定义在-2,2-2,2上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )在区在区间间0,20,2上是减函数上是减函数, ,若若f(1-m)f(m
18、f(1-m)f(m),),求实数求实数m m的取值范的取值范围围. .【解析【解析】因为因为f(xf(x) )是奇函数且是奇函数且f(xf(x) )在在0,20,2上是减函数上是减函数, ,所以所以f(xf(x) )在在-2,2-2,2上是减函数上是减函数, ,所以不等式所以不等式f(1-m)f(mf(1-m)f(m) )等价于等价于 解得解得-1m .-1m .1 mm,2m2,21 m2, 122.2.已知函数已知函数f(xf(x) )是定义在是定义在-1,1-1,1上的奇函数上的奇函数, ,且单调递且单调递减减, ,若若a a满足满足f(1+a)+f(2+3a)0,f(1+a)+f(2+3a)0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解析【解析】因为定义域为因为定义域为-1,1,-1,1,所以所以 解得解得 即即-1a- .-1a- .因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,且且a a满足满足f(1+a)+f(2+3a)0,f(1+a)+f(2+3a)0,所以所以f(1+a)-f(2+3a)=f(-2-3a).f(1+a)-2-3a,1+a-2-3a,即即a- a- 由得由得- a- .- a- .343413
