1、17.1 勾股定理第十七章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 勾股定理情境引入学习目标1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点） 导入新课导入新课算一算：地板中的数学问题 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：毕达哥拉斯ABC穿越毕达哥拉斯做客现场问题1 试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=ABC 问题问题2 2 你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？一直角边2另一直角边2斜边2+=看似平淡无奇的现象
2、有时却隐藏着深刻的道理图图1-2问题3 图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图、中A、B、C的面积，看看能得出什么结论？图图图图ABABCCA的面积B的面积C的面积图图图图169254913网格中的发现正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+= 问题问题4 4 图中的这个直角三角形有三边有什么样的数量关系呢？一直角边2另一直角边2斜边2+=讲授新课讲授新课 猜一猜 一般直角三角形三边还有这样的数量关系（即a2+b2=c2)吗？abc勾股定理一赵爽赵爽 拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.勾股定理的验证二abbc cabcc2b2a2= =+ +这种
3、用拼图的验证勾股定理的方法叫做弦图法aabcS大正方形c2S小正方形（b-a）S大正方形4S三角形S小正方形赵爽弦图b-a证明：u证一证 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 赵爽所用的这种方法是我国古代常用的“出入相补法”.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.建议同
4、学们课外认真阅读P30勾股定理的证明.归纳总结在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.u公式变形：222222-acbbcacab,勾勾股股弦弦即：勾2+股2=弦2u勾股定理 例1 在RtABC中， C=90典例精析 （1）已知a=b=5,求c; （2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)据勾股定理得222255505 2;cab(2)据勾股定理得2222213;bca（3）已知a：b=1：2 ，c=5,求a;（4）已知b=15，A=30,求a,c. 在RtABC中， C=90解：(3
5、)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得5x 5 .a(4)30 ,15,Ab2.ca因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得5 3 .x 5 310 3 .ac，例2 已知：RtABC中，AB，AC,则BC= .5 或或 74 43 3ACB4 43 3CAB 温馨提示 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.当堂练习当堂练习1.如图所示，字母B所代表的正方形的面积是（ ） A.12 B.13 C.144 D.194C2.下列说法中
6、正确的是（ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2C3.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 .25或74.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为 .60135. 在ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.ABCD作ADBC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD根据勾股定理，利用AD作
7、为“桥梁”建立方程模型求出x利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：如图，在ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,故152-x2=132-(14-x)2, 解之得，x=9.AD=12.1114 1284.22ABCSBC AD课堂小结课堂小结勾股定理内容在RtABC中， C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论见本课时练习课后作业课后作业情景情景引入引入
8、合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练17.1 17.1 勾股定理勾股定理第十七章 勾股定理 第第1 1课时课时 勾股定理勾股定理学习目标学习目标1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明 .2.会用勾股定理进行简单的计算会用勾股定理进行简单的计算 . 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数面积之间的数量关系量关系进而发现进而发现直角三角形三边的某种数量关系直角三角形三边的某种数量关系毕达哥拉斯毕达哥拉斯
9、ABC看似平淡看似平淡无奇的现无奇的现象有时却象有时却隐藏着深隐藏着深刻的道理刻的道理情景引入情景引入首页首页ABC发现发现: : 以等腰直角三角形两直角边为以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积斜边为边长的正方形的面积. .即我们惊即我们惊奇地发现，等腰直角三角形的三边之奇地发现，等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和于两直角边的平方和. . 思考：思考：你能发现图中的你能发现图中的等腰直角三角形有什么性等腰直角三角形有什么性质吗？质吗？合作探究合作探
10、究活动：探究活动：探究勾股定理的探索发现、验证及简单应勾股定理的探索发现、验证及简单应用用首页首页一般直角三角形也有上述性质吗？一般直角三角形也有上述性质吗？ABC图图1-1ABC图图1-2图中每个小方格的面积均为图中每个小方格的面积均为1，请分别计算出图、中请分别计算出图、中A、B、C的面积，看看能得出什的面积，看看能得出什么结论么结论.图图图图ABABCCA的的面积面积B的的面积面积C的的面积面积图图图图169254913正方形面积间的关系：正方形面积间的关系：SA+ +SB= =SC怎样得到正方形怎样得到正方形C的面的面积？与同伴交流交流积？与同伴交流交流ABC图图1-1图图ABCabc
11、正方形面积间的关系：正方形面积间的关系：SA+ +SB= =SC猜想：直角三角形三边之猜想：直角三角形三边之间的关系，即：间的关系，即：两直角边两直角边的平方和等于斜边的平方的平方和等于斜边的平方. 设：直角三角形的设：直角三角形的三边长分别是三边长分别是a、b、cSA+ +SB= =SCa2+ +b2= =c2 命题命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a,b, ,斜边长为斜边长为c c, ,那么那么a2+ +b2= =c2.abc 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形的直角三角形如下拼成一
12、个中空的正方形.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实赵爽赵爽请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！请同学们拿出已准备的四个全等直角三角形动手拼一拼！ababc cabcc2b2a2= =+ +这种用拼图的这种用拼图的验证勾股定理验证勾股定理的方法叫做的方法叫做弦弦图法图法温馨提示：温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用上述这种验证勾股定理的方法是用面积法面积法 “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国
13、际数学大会的会徽年在北京召开的国际数学大会的会徽.abcS大正方形大正方形c2S小正方形小正方形（b-a）S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形小正方形赵爽弦图赵爽弦图证明：证明：b-a在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理百牛定理. .(a、b、c为正数为正数)勾股定理勾股定理 如果如果直角三角形直角三角形的两直角边的两直角边长分别为长分别为a,b,斜边长为斜边长为c,那么那么a2+b2=c2.公式变形：公式变形：222222-acbbcacab,勾勾股股弦弦即：勾即：勾2 2+ +股股2 2= =弦弦2 2前提条前提条
14、件件知识要点知识要点 例例1 1 求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :8x171620 x125x温馨提示：温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时，已知直角三角形的两边长，求第三边长时，应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！x= =15x= =12x= =13 例例2 2 已知：已知：RtBC中，中，AB，ACAC, ,则则BC= . . 5 或或 43ACB43CAB温馨提示：温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边
15、，也可能是斜边，或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解这种情况下，一定要进行分类讨论，否则容易丢解.是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400400多种，今多种，今天我们用了什么方法？天我们用了什么方法？4.4.运用勾股定理应注意哪些事项？运用勾股定理应注意哪些事项？不是不是由特殊到一般由特殊到一般面积法面积法（1）前提条件是在直角三角形中；）前提条件是在直角三角形中；（2）弄清哪个角是直角；）弄清哪个角是直角；（3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；课堂小结课堂小结首页首页见本课时练习见本课时练习随堂训练随堂训练首页首页
